Сдвиг. Расчеты на срез и смятие.

Деформация сдвига характеризуется тем, что из всех силовых факторов в сечении отлична от нуля только поперечная сила Q. Практически деформацию сдвига в чистом виде получить трудно, так как она сопровождается другими видами деформаций. Однако условный (упрощенный) расчет на чистый сдвиг часто выполняется для деталей, в которых наибольшее влияние на прочность оказывают касательные напряжения, например при расчетах болтов, шпонок и других деталей. Для таких деталей, как правило, является характерным разрушение срезом, по сечению (поверхности) в котором действуют максимальные касательные напряжения. Поверхность, по которой может произойти срез, называют поверхностью (сечением) среза. Связь между касательными напряжениями и поперечной силой , где площадь сечения (поверхности) среза. В практических расчетах обычно считается, что касательные напряжения по сечению среза распределяются равномерно, на основании чего легко определить величину касательных напряжений: . (Допущение о равномерности распределения касательных напряжений является условным и не соответствует действительности, однако широко используется на практике).

Условия прочности при срезе записываются следующим образом: , где - допускаемое напряжение на срез, определяемое экспериментально. При отсутствии экспериментальных данных, допускаемое напряжение ориентировочно может быть определено как:  - для пластичных;  - для хрупких материалов, где  - допускаемое для материала напряжение на растяжение.

При выполнении расчетов на срез следует учитывать, что нагрузка к поверхности среза передается через поверхность рассматриваемой детали. Помимо среза может произойти смятие контактирующих поверхностей деталей.

Под смятием понимают пластическую деформацию поверхностей контакта. Считается, что нагрузка всегда направлена по нормали к поверхности контакта, то есть на поверхности контактирующих деталей действуют только нормальное напряжение смятия - . Расчет на смятие проводят приближенно, так как закон распределения давления (напряжения смятия) по поверхности контакта точно неизвестен и в практических расчетах законом распределения задаются априорно.

Например, в случае плоских поверхностей контакта часто принимают равномерное распределение давлений - , где  - сила, действующая на поверхность смятия,  - реальная площадь поверхности смятия.

В случае плотного контакта цилиндрических поверхностей смятия максимальные напряжения смятия рассчитываются по формуле , где - площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость. Площадь , где  – диаметр контактной поверхности,   - длина поверхности смятия.

Условие прочности при смятии имеет вид: . Допускаемое по смятию напряжения определяется опытным путем, для ориентировочных расчетов принимают , где  - допускаемое напряжение на сжатие.

Кручение.

 

Под кручением стержня понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях возникает только крутящий момент . В поперечных сечениях возникают только касательные напряжения - .  

Валом называется– стержень, работающий на кручение. При расчете стержня (вала) на кручение требуется решить две основные задачи: прочности и жесткости. Если система является статически неопределимой, то необходимо раскрыть статическую неопределимость.

Для крутящего момента, независимо от формы сечения, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент  направленным против часовой стрелки, то момент считается положительным.

Кручение стержней круглого и кольцевого поперечных сечений. Наиболее просто получить решение для вала с круглым поперечным сечением. Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить следующим образом: каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол  как жесткое целое. Данное предположение, заложенное в основу теории кручения круглого стержня, носит название гипотезы плоских сечений.

Касательные напряжения -   в любой точке поперечного сечения стержня, находящейся на расстояние  от центра: , где - полярный момент инерции сечения. Для круглого поперечного сечения: , где   – диаметр круга, для стержня кольцевого сечения: , где  и  – наружный и внутренний диаметр соответственно.

Максимальные касательные напряжения   при кручении   действуют на поверхности сечения () и равны: , где:  – крутящий момент в сечении;  –называется (полярным) моментом сопротивления сечения. Для стержня круглого и кольцевого сечения полярный момент сопротивления сечения можно определить по формуле - .

Угол закручивания участка вала длиной -  равен: , где  – модуль сдвига материала (модуль упругости второго рода), величина -  называется жесткостью вала при кручении.

Если вал состоит из нескольких участков, то угол закручивания всего вала будет равен сумме углов закручивания его участков:

.

Помимо расчетов на прочность, валы рассчитывают также и на жесткость, ограничивая относительные углы закручивания: некоторой допускаемой величиной - . Условие жесткости вала при кручении имеет вид: .

Кручение некруглых стержней. При кручении стержней некруглого сечения (прямоугольных, треугольных, эллиптических, и др.) гипотеза плоских сечений не применима. В данном случае поперечные сечения существенно депланируются, в результате чего заметно меняется картина распределения напряжений.

Отметим некоторые особенности законов распределения напряжений в поперечных сечениях некруглой формы:

- если поперечное сечение имеет внешние углы, то в них касательные напряжения должны обращаться в нуль;

- если наружная поверхность бруса при кручении свободна от нагрузок, то касательные напряжения в поперечном сечении, направленные по нормали к контуру также будут равны нулю.

Кручение стержней прямоугольного сечения. В случае прямоугольного поперечного сечение c размерами  и  максимальные касательные напряжения возникают на серединах больших сторон сечения и определяются по формуле: , где   – момент сопротивления кручению, a- коэффициент, зависящий от отношения - . Напряжения на короткой стороне будут: , где  - коэффициент, зависящий от отношения - .

Угол закручивания участка стержня прямоугольного сечения: , где  - момент инерции при кручении (не путать с полярным) прямоугольного сечения, где   - коэффициент, зависящий от отношения - . Коэффициенты   можно найти в справочниках, например [4].

Кручение тонкостенных стержней. Тонкостенными стержнями называют стержни, у которых один из размеров поперечного сечения (называемый толщиной стенки - ) много меньше размеров сечения. Тонкостенные сечения делят на сечения с открытым профилем (например, швеллер) и замкнутым профилем (например, кольцо). В таких сечениях дополнительно вводятся понятия средней линии контура – линии делящей толщину стенки сечения пополам. Длина контура сечения -  измеряется по средней линии контура. В тонкостенных сечениях можно считать, что касательные напряжения направлены параллельно средней линии контура.

Сечения открытого профиля. По толщине стенки касательные напряжения меняются линейно, меняя знак при переходе от одной  длинной стороне к другой. Максимальные касательные напряжения иугол закручивания участка стержня определяются по формулам: ; , где , . Максимальные касательные напряжения возникают в самой толстой стенке.

Сечения замкнутого профиля. По толщине стенки касательные напряжения распределяются равномерно. Максимальные касательные напряжения иугол закручивания участка стержня определяются по формулам: ; , где , ,  - площадь ограниченная средней линией контура сечения. Максимальные касательные напряжения возникают в месте наименьшей толщины стенки.

Тонкостенные стержни с сечением открытого профиля очень плохо сопротивляются кручению по сравнению с сечением замкнутого профиля.

Потенциальная энергия деформации при кручении.  Потенциальная энергия упругой деформации при кручении рассчитывается по формуле - , где   – длина элементарного участка вала. Если момент    и жесткость по длине участка вала не меняется, то: . В случае вала состоящего из нескольких участков потенциальная энергия находится как сумма потенциальных энергий отдельных участков - .

Рациональные формы сечения при кручении это такие формы, которые обеспечивают необходимые прочность и жесткость стержня при минимальной его массе. Критериями рациональности являются отношения:  и , чем меньше, тем рациональнее форма сечения. Достаточно рациональными являются замкнутые тонкостенные сечения, самой рациональной формой является тонкостенное кольцо.