Приклад обробки даних вимірювань.

Розглянемо опрацювання результатів при рівноточних вимірюваннях. Рівноточними вважаються почергові вимірювання незмінними засобами, у незмінних умовах, незмінним вимірювачем.

Якщо дисперсія (розсіювання) випадкових похибок заздалегідь невідомі, то:

- за оцінку результату вимірювання беруть середнє значення ;

- оцінюють вибіркову дисперсію випадкових похибок результатів спостере­жень та обчислюють середнє квадратичне відхилення результату спостереження (похибок результатів спостережень)

 

 

- перевіряють найбільш відхилені від середнього значення результати спостережень на можливість їх спотворення грубими похибками чи наявність промахів. При потребі такі результати відкидають і повторно виконують перші два пункти при скороченій (на кількість відкинутих результатів) виборці;

- оцінюють дисперсію випадкової похибки очікуваного результату вимірювання (тобто дисперсію середнього арифметичного значення результату), яка в N раз менша за оцінку дисперсії окремих результатів спостережень та обчислюють середнє квадратичне відхилення результату вимірювання (СКВ випадкової похибки результату вимірювання)

 

 

- оцінюють довірчі межі похибки (невизначеність (або непевність) результату вимірювання)

 

 

де – коефіцієнт, взятий з таблиці для розподілу Ст'юдента, що залежить від так званої кількості ступенів свободи f яка для вирішення наших завдань завжди дорівнюватиме N - 1, та наперед заданої довірчої ймовірності Р (табл. 3.1).

Перевірку гіпотези про те, що результати спостережень належать до нормального розподілу, проводять з рівнем значимості q = 0,01...0,10. Конкретні значення рівнів значимості повинні бути зазначені в конкретній методиці виконання вимірювань.

- При кількості результатів спостережень N >50 для перевірки належності їх до нормального розподілу використовують методику зазначену у ГОСТ 11.006-74.

- При кількості результатів спостережень 50> N >15 для перевірки належності їх до нормального розподілу використовують складений критерій, який наведено нижче.

- При кількості результатів спостережень N 15 належність їх до нормального розподілу не перевіряють. При цьому знаходження довірчих меж випадкової похибки результату вимірювання за методикою, передбаченою стандартом, можливо в тому випадку, якщо заздалегідь відомо, що результати спостережень належать до нормального розподілу.

 

При кількості результатів спостереження 50> N >15 нормальність їхнього розподілу перевіряють за допомогою складного критерію d i m.

Обчислюють відносну величину d (відношення величини розсіювання результатів до СКВ цих результатів)

 

(3.11)

 

де σ* – зміщена оцінка середнього квадратичного відхилення результатів, що обчислюється за формулою:

 

(3.12)

 

Результати спостережень групи можна вважати розподіленими нормально, якщо

де й – квантилі d- розподілу (розподілу відносного значення розсіювання результатів), одержувані зa табл. 3.3 по N, 1-q/2 та q/2;

q – заздалегідь обраний рівень значимості критерію (прийняти q = 0,02).

Вважається, що розподіл відносної величини d подібний до розподілу Гауса.

Квантúль – є мірою розсіювання (за ймовірністю) випадкової величини. Квантиль порядку Р (Р – це, як ми пам’ятаємо, ймовірність) – це таке значення випадкової величини для якого функція розподілу дорівнює .

Відповідно, квантилі 1-q/2 та q/2 – це значення випадкових величин (х_і), для яких функція розподілу F(x) набуває значень 1-q/2 та q/2.

 

 

Рис. 3.3. Квантилі та інтерквантильна ширина розподілу.

 

Таблиця 3.3

Значення квантиля d- розподілу

N	Значення d при
1-q/2	q/2
0,95	0,99	0,05	0,01
	0,7236 0,7304 0,7360 0,7404 0,7440 0,7470 0,7496 0,7518	0,6829 0,6950 0,7040 0,7110 0,7167 0,7216 0,7256 0,7291	0,8884 0,8768 0,8686 0,8625 0,8578 0,8540 0,8508 0,8481	0,9137 0,9001 0,8901 0,8826 0,8769 0,8722 0,8682 0,8648

 

Після перевірки даної умови приступають до аналізу другого критерію т (критична кількість відхилень), який являє собою кількість різниць Δ^*, які перевершили значення:

 

де z_Р – квантиль Лапласа, який відповідає ймовірності Р.

 

Δ^*= | x_i - |

 

Значення Р вибирають з табл. 3.4 за рівнем значимості q та N.

 

Таблиця 3.4

Значення Р для обчислення z_Р й критичної кількості відхилень т.

N	т	Р за рівнем значимості q
0,01	0,02	0,05
		0,98	0,98	0,96
11-14		0,99	0,98	0,97
15-20		0,99	0,99	0,98
21-22		0,98	0,97	0,96
		0,98	0,98	0,96
24-27		0,98	0,98	0,97
28-32		0,99	0,98	0,98
33-35		0,99	0,98	0,98
36-49		0,99	0,99	0,98

 

Таблиця 3.5

Значення квантилій Лапласа

Р	0,9999	0,9990	0,9900	0,9772	0,9750	0,9500	0,9000	0,8413
zР	3,715	3,090	2,326	2,000	1,960	1,645	1,282	1,000

 

У тому разі, якщо хоча б один з критеріїв не виконується, вважають, що розподіл результатів не відповідає нормальному.

Після перевірки гіпотези про те, що результати спостережень належать до нормального розподілу можна приступити до запису одержаних результатів.

Результати вимірювання записують у стандартній формі:

 

Х = ± Δх, Р =..., N =..., розподіл результатів- нормальний.

 

Для зменшення впливу випадкових похибок на результати вимірювань можна збільшити кількість вимірювань, але це збільшення має бути обґрунтованим. Для цього знаходять середнє значення з результатів спостережень та обчислюють σ_х. Оскільки розкид середнього значення відхилення в менший за розкид окремого результату спостереження, для зменшення впливу випадкової похибки у N раз необхідно здійснити N² спостережень.

 

Порядок виконання роботи.

4.1. Згідно з номером варіанта одержати вихідні дані (результати попередніх вимірювань).

4.2. Зробити попередній аналіз вихідних даних.

4.3. Обробити дані вимірювань.

4.4. Оформити протокол, дати висновок.

Допоміжні матеріали.

5.1. ГОСТ 8.207- 90 „Методы обработки результатов измерений.”

6. Контрольні питання.

6.1. Яким чином виникає статистична помилка?

6.2. Яким чином виникає систематична помилка?

6.3. Яким чином усувають вплив статистичної помилки?

6.4. Як визначають можливі промахи у результатах?

6.5. Як перевіряється належність результатів вимірювань до нормального закону розподілу результатів?

6.6. Як не змінюючи умов вимірювання підвищити точність вимірювань?

Лабораторна робота № 4