Оцінка результатів та помилки вимірювань.

Метою кожного вимірювання є визначення значення деякої величини. Однак через різні неточності процесу вимірювання результати вимірювань у загальному випадку відрізняються від шуканого точного значення. При оцінці результатів вимірювання зазвичай виходять із того, що вимірювання можна повторити багаторазово. Умови проведення вимірювань при цьому не повинні змінюватися.

Досвід показує, що будь-яке вимірювання, як би акуратно воно не проводився, не може бути зовсім без помилок. У наукових дослідженнях слово „помилка” означає неминучу похибку, якою супроводжуються всі вимірювання. Помилка вимірювання характеризує точність, з якої виконано вимірювання. Помилки вимірювань обумовлені більшою кількістю різноманітних причин. У деяких випадках вдається виділити причини цих помилок і внести необхідне виправлення в результат вимірювань.

Іншою причиною похибок експерименту може бути неточність приладу, що вимірює, часовий інтервал спостереження. Для того щоб максимально уникнути таких помилок у наукових експериментах намагаються використовувати спеціально калібровані прилади.

Прийнято говорити, що кожна з таких причин викликає систематичну помилку вимірювань. Як тільки систематичні помилки виявлені і їхні величини розраховані, вони можуть бути усунуті внесенням відповідних виправлень у результати вимірювань. Однак необхідно пам'ятати, що загальна помилка кожного результату вимірювання залишається невідомою, тому що мова йде не про виділення із загальної помилки спостереження деякої її частини у вигляді систематичної помилки, а лише про введення виправлень на ті фактори, які вдалося виявити в процесі аналізу результатів експерименту. Правильна оцінка систематичних помилок у значній мірі залежить від досвіду експериментатора і його здатності критично дивитися на отримані результати. Поряд із систематичними помилками існують й іншого типу помилки – статистичні.

Статистичні помилки є непереборними – їх не можна виключити в кожному з результатів вимірювань. Але за допомогою методів теорії імовірності можна врахувати їхній вплив на оцінку дійсного значення вимірюваної величини, що дозволяє визначити значення вимірюваної величини зі значно меншою помилкою ніж помилки окремих вимірювань. Урахування впливу статистичних помилок засновано на знанні законів їхнього розподілу, тому що статистичні помилки вимірювання характеризуються певним законом розподілу. Існування такого закону можна виявити, повторюючи багато разів у незмінних умовах вимірювання деякої величини.

Розглянемо експеримент під час якого було виконано 100 незалежних вимірювань деякої фізичної величини у незмінних умовах. Видно, що в кожному окремому вимірюванні реєструється якась кількість випадкових відліків (результатів вимірювань за показами вимірювального пристрою), ніяк не пов'язаних з результатами попередніх вимірювань.

Результат вимірювання, х
Номер вимірювання, N

 

Рис. 3.1. Результати вимірювань деякої фізичної величини, як функція номера вимірювання.

 

На рис. 3.1 показані результати х цих вимірювань, як функція номера вимірювання N. Видно, що вони сконцентровані поблизу деякої величини . Середнє число часток , зареєстрованих у результаті N вимірювань, визначається формулою:

(3.1)

 

 

У нашому випадку N = 100, = 77,47. Величина показана на рис. 1 жирною лінією.

Очевидно, що усереднена по N вимірюваннях величина буде набагато точніше характеризувати вимірювану величину, чим результати окремих вимірювань.

Незважаючи на те, що в середньому всі результати вимірювань концентруються поблизу , результати окремих вимірювань відрізняються від .

Яким саме чином різні значення х_і розміщені навколо ?

Якщо вважати, що – це найкраща оцінка величин х_і, то величина різниці й х_і називається похибкою (або відхиленням) від середньої величини , тобто Δ х:

 

.

 

Щоб спробувати оцінити вірогідність результатів вимірювань, здавалося, можна було б підійти аналогічно й усереднити величини Δ х. Однак, значення усередненої величини при нормальному розподілі результатів вимірювань буде наближатися до нуля:

(3.2)

 

Щоб обійти цю неприємність, у статистиці використовують іншу величину, яка дорівнює квадрату відхилення, усередненому за всяким значенням цієї величини, що називається дисперсією (або варіацією) й позначається символом D(х) (або Var(х)). Квадратний корінь із дисперсії називається середнім квадратичним (або середньоквадратичним) відхиленням:

 

(3.3)

 

Середнє квадратичне відхилення _х характеризує середню похибку окремих вимірювань х₁, х₂,... х_і,...х_k і вказує інтервал у якому із високою ймовірністю будуть спостерігатися результати вимірювань [– s_x... ; ... + s_x ].

Для визначення дисперсії підносять до квадрату усі відхилення від середньої величини й потім ці величини усереднюють за кількістю повторних вимірювань:

 

(3.4)

 

 

 

Наведені формули є справедливими у тому разі, коли кількість вимірювань не обмежено велика.

На практиці, при обмеженій (невеликій) кількості вимірювань, коли розподіл результатів вимірювань відносно „істинного результату” відрізняється від симетричного й не співпадають значення „істинного” й середнього арифметичного результатів, формулу дисперсії (3.4) „модифікують” у такий спосіб:

 

(3.5)

 

Ця величина є практичною оцінкою розподілу результатів вимірювання – дисперсією вимірювання.

Визначена за формулою (3.5) дисперсія трохи більша чим за формулою (3.4), це частково компенсує помилку у вимірюваннях у тому випадку, коли число вимірювань мале (N ≤ 20…30). При збільшенні N співвідношення (3.4) і (3.5) приводять практично до однакових результатів.

Дисперсія вимірювань являє собою усереднене середньоквадратичне відхилення результатів окремих вимірювань х ₁, х ₂, … х_N від середнього значення .

Середньою квадратичною похибкою спостереження називається величина

 

(3.6)

 

Для того, щоб узнати наскільки може відхилятися від дійсного значення х його середнє арифметичне, отримане для N повторних рівноточних вимірювань, розраховують середню квадратичну похибку середнього арифметичного.

За даними багаторазових статистичних досліджень визначено, що середня квадратична похибка середнього арифметичного дорівнює середній квадратичній похибці окремого результату вимірювань σ_х, діленої на корінь квадратний із кількості вимірювань N, тобто

 

(3.7)

 

Це фундаментальний закон зростання точності при рості числа спостережень.

Нехай Р означає ймовірність того, що результат вимірювань відрізняється від дійсного на величину, не більшу, ніж Δх. Імовірність Р у цьому випадку зветься довірчою ймовірністю, а інтервал значень вимірюваної величини від - Δх до + Δх називається довірчим інтервалом.

Визначимо довірчий інтервал. Чим більшим буде встановлений цей інтервал, тим з більшою ймовірністю х_дійсне попадає в цей інтервал. З іншого боку, більш широкий інтервал подає меншу інформацію щодо величини х_дійсне. Якщо обмежитися обліком тільки випадкових похибок, то при невеликій кількості вимірювань N для рівня довірчої ймовірності Р напівширина довірчого інтервалу дорівнює

(3.8)

 

де t – коефіцієнт Ст'юдента.

Зміст понять „довірчий інтервал” й „довірча ймовірність” полягає в наступному: нехай Р = 95, тоді можна стверджувати з надійністю 95 %, що дійсне значення величини х_дійсне не відрізняється від оцінки більше, ніж на Δх. Значення коефіцієнтів t залежно від Р і N наведені в табл. 3.1.

Таблиця 3.1

Значення коефіцієнтів Ст'юдента

f	Р, %	f	Р, %
	2,353	3,182	5,841		1,729	2,093	2,961
	2,132	2,776	4,604		1,725	2,086	2,845
	2,015	2,571	4,032		1,721	2,080	2,831
	1,943	2,447	3,707		1,717	2,074	2,819
	1,895	2,365	3,499		1,714	2,069	2,807
	1,860	2,306	3,355		1,711	2,064	2,797
	1,833	2,262	3,250		1,708	2,060	2,787
	1,812	2,228	3,169		1,706	2,056	2,779
	1,796	2,201	3,106		1,703	2,052	2,771
	1,782	2,179	3,055		1,701	2,048	2,763
	1,771	2,160	3,012		1,699	2,045	2,756
	1,761	2,145	2,977		1,697	2,042	2,750
	1,753	2,131	2,947		1,684	2,021	2,704
	1,746	2,120	2,921		1,671	2,000	2,660
	1,740	2,110	2,898		1,658	1,980	2,617
	1,734	2,103	2,878	∞	1,645	1,960	2,576

Примітка: f – кількість ступенів свободи, f = N-1.

 

Щоб остаточно встановити межі довірчого інтервалу необхідно розширити його з урахуванням систематичної похибки Δх_сист. Систематична похибка, як правило, зазначена в паспорті або на шкалі приладу, а в найпростіших випадках може бути прийнята рівній половині ціни розподілу молодшого розряду шкали. Звичайно сумарна похибка визначається як корінь квадратний із суми квадратів випадкової й систематичної похибок:

 

.

 

 

3.2. Виявлення й виключення грубих похибок (промахів) вимірювань.

Грубі похибки вимірювань (промахи) можуть сильно спотворити результати вимірювань, тому їхнє виключення із серії дослідів вимірювань обов'язкове. Звичайно вони відразу видні в ряді отриманих результатів, але в кожному конкретному випадку це необхідно довести. Існує ряд критеріїв для оцінки промахів.

Критерій 3σ.

Вважається, що результат, що виникає з імовірністю ≤ 0,3 %, малоймовірний і його можна кваліфікувати промахом, тобто сумнівний результат x_j відкидається, якщо

 

| – хj | > 3σ.

(3.9)

 

Якщо розподіл результатів вимірювань відповідає нормальному закону (розподіл Гауса), то приблизно 99,73 % усіх результатів вимірювань опиняться у межах інтервалу від – 3σ до + 3σ.

 

Рис. 3.2. Графік щільності ймовірності нормального розподілу та процент потрапляння випадкової величини на відрізки, які дорівнюють σ_х.

 

На рис. 3.2 µ – математично очікуване значення результату вимірювань (µ = при ).

Величини й σ обчислюють без урахування імовірно помилкового значення х_j. Даний критерій надійний при кількості вимірювань N ≥ 20.

 

Якщо N < 20, доцільно застосовувати критерій Романовського.

При цьому обчислюють відношення

 

(3.10)

 

отримане значення β порівнюють із табличним β_т – при обираному рівні значимості Р по табл. 3.2.

Таблиця 3.2

Рівень значимості β_т = f(N)

Імовірність Р	Число вимірювань
N=4	N=6	N=8	N=10	N=12	N=15	N=20
1 %	1,73	2,16	2,43	2,62	2,75	2,90	3,08
2 %	1,72	2,13	2,37	2,54	2,66	2,80	2,96
5 %	1,71	2,10	2,27	2,41	2,52	2,64	2,78
10 %	1,69	2,00	2,17	2,29	2,39	2,49	2,62

 

Зазвичай вибирають Р = 1... 5 %, і якщо β > β_т, то результат відкидають.