Распределение и характеристики дискретной случайной величины

Для того чтобы полностью охарактеризовать дискретную случайную величину, надо указать все ее возможные значения и соответствующие им вероятности. Совокупность этих данных называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения можно задать в виде таблицы, графика (рис. 5.1) или формулы.

 

Рис. 5.1

 

Значения случайной величины X			...
Вероятности P			...

 

Поскольку все возможные значения дискретной случайной величины представляют полную систему, то сумма их вероятностей должна быть равна единице:

 

 (условие нормировки).

 

Важным примером распределения дискретной случайной величины является так называемое биноминальное распределение. Оно позволяет определить вероятность того, что событие A произойдет m раз в n испытаниях:

 

 (формула Бернулли),

 

где p - вероятность наступления события A в каждом отдельном испытании,  - число сочетаний из n элементов по m.

Пример 1. Появление колонии микроорганизмов данного вида в определенных условиях оценивается с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что в 6 пробах колония появится 4 раза.

Решение       .

 

Закон распределения можно задать и с помощью функции распределения. Функцией распределения  случайной величины X называется вероятность того, что величина X примет значение, меньше данного:

 

,

 

где x – произвольное вещественное число.

Функция распределения дискретной случайной величины определяется по формуле:

 

.

 

Пример 2. Построить функцию распределения дискретной случайной величины X, если задан закон распределения:

X	0	1	2
P	0,3	0,2	0,5

Решение

Событие  является невозможным, следовательно, в этом интервале ;

Событие  равносильно , тогда ;

Событие  равносильно ,

тогда ,

Событие  меньше любого числа большего 2 равносильно ,

тогда .

В результате искомая функция распределения задается следующим образом:

.

График данной функции показан на рис. 5.2.

Рис. 5.2

 

Случайную величину характеризуют такими числовыми параметрами, как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Математическим ожиданием  дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

 

.

 

Математическое ожидание указывает некоторое значение, вокруг которого группируются все значения случайной величины.

Дисперсией  называют математическое ожидание квадрата отклонения возможных значений случайной величины X от своего математического ожидания:

 

.

 

Для дискретной случайной величины дисперсию вычисляют по формуле:

 

.

 

Дисперсия характеризует степень рассеяния или разброса отдельных значений случайной величины около математического ожидания.

Средним квадратичным отклонением  случайной величины X называется корень квадратный из дисперсии:

 

.

 

Данный параметр удобен тем, что он имеет размерность самой случайной величины.