Собственные механические колебания

Колебания – это один из самых распространенных видов движения, встречающийся не только в физике, но и в химии, биологии, физиологии, экономике.

Колебаниями называются процессы, в той или иной степени повторяющиеся во времени. Примерами колебаний могут служить движение планет; покачивание грузика, подвешенного на нити; генерация электрических импульсов на мембране электровозбудимой клетки; колебания атома, входящего в кристаллическую решетку.

Основные характеристики колебаний:

а) период колебаний Т - время одного полного колебания, ,

,  - время N полных колебаний;

б) частота колебаний  - число полных колебаний, совершающихся за единицу времени , ;

в) амплитуда колебаний А - максимальное значение колеблющейся величины.

Собственными (свободными) колебаниями называются колебания, которые происходят в отсутствии внешних переменных воздействий на колебательную систему. Пример: пружинный маятник. Пружинный маятник - это тело, подвешенное на невесомой пружине и совершающее вертикальные колебания относительно положения равновесия под действием силы упругости (рис. 6.1). Если маятник немного отклонить, то сила упругости возвращает тело в положение равновесия, поскольку она всегда направлена в сторону, противоположную смещению тела. Достигнув положения равновесия, тело пройдет его по инерции и отклонится в противоположную сторону. Сила упругости поменяет направление, движение тела замедляется и оно останавливается. После остановки тело вновь движется к положению равновесия, проходит его, снова возвращается и т.д. - процесс повторяется.

Описать подобное движение позволяет второй закон Ньютона, из которого следует, что

 

,

 

где m - масса тела,  - ускорение, k - коэффициент жесткости пружины, s - смещение тела из положения равновесия. Данное соотношение выполняется, если тело совершает гармонические колебания.

Гармоническими называются колебания, в которых колеблющиеся величины, например, смещение тела из положения равновесия , изменяются со временем t по закону косинуса или синуса (рис. 6.2):

 

  (уравнение гармонических колебаний),

 

где А - амплитуда,                              - фаза,                  

 - начальная фаза (),  - циклическая частота ().

Связь между периодом, частотой и циклической частотой

 

.

 

Скорость частицы, совершающей гармонические колебания:

 

,

 

где  - амплитуда скорости.

 

Рис. 6.1	Рис. 6.2
Рис. 6.3

 

Ускорение частицы, совершающей гармонические колебания:

 

,

 

где  - амплитуда ускорения.

Графики зависимости ,  и  для случая  показаны на рис 6.3.

Учитывая, что ускорение представляет собой вторую производную от смещения по времени , из второго закона Ньютона путем несложных преобразований получаем дифференциальное уравнение второго порядка:

 

  (дифференциальное уравнение гармонических колебаний),

где .

Период гармонических колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

 

.

 

Потенциальная энергия пружинного маятника:

 

.

 

Кинетическая энергия пружинного маятника:

 

.

 

Полная энергия пружинного маятника состоит из кинетической и потенциальной энергий. Данная величина является постоянной (рис. 6.4):

 

.

 

Рис. 6.4