Твисторы и твисторные пространства

Что реально стоит за процедурой евклидизации в КТП? КТП требует разбиения полевых величин на положительно- и отрицательно-частотные части. Первые распространяются вперед по времени, вторые — назад по времени. Чтобы получить пропагаторы теории, нужен способ отбора положительно-частотной (т.е. с положительной энергией) части. Другой подход, с помощью которого можно выполнить такое разбиение — это твисторная теория. Фактически, это разбиение было одной из важных первоначальных мотиваций для создания твисторного подхода (см. Пенроуз 1986).

Чтобы объяснить это в деталях, рассмотрим сначала комплексные числа, играющие фундаментальную роль в квантовой теории, структура которых, как мы увидим, лежит в основе структуры пространства-времени. Это числа вида z = x + iy с вещественными x и у, где iудовлетворяет условию i ² = -1. Множество таких чисел обозначается С. Эти числа можно представлять либо на плоскости (комплексная плоскость), либо, если добавить бесконечно удаленную точку, на сфере Римана. Эта сфера является очень полезным понятием, исполь-

Твисторный взгляд на пространство-время · 123

зуемым во многих областях математики, например, в анализе и геометрии, а также в физике. Сфера может быть спроектирована на плоскость (вместе с бесконечно удаленной точкой). Возьмем плоскость, проходящую через экватор сферы, и соединим некоторую точку на сфере с Южным полюсом. Точка, где эта линия пересекает плоскость, и будет точкой плоскости, соответствующей исходной точке сферы. Отметим, что при таком отображении северный полюс переходит в начало координат, южный полюс — на бесконечность, а действительная ось плоскости отображается в вертикальный круг, проходящий через северный и южный полюсы. Мы можем повернуть сферу так, чтобы вещественные числа соответствовали экватору, и я хочу на время принять это соглашение (см. рис. 6.1).

Рис. 6.1. Сфера Римана, представляющая все комплексные числа вместе с бесконечно удаленной точкой ∞

Предположим, что нам задана комплекснозначная функция f (x)вещественной переменной х. Согласно сказанному выше, мы можем считать, что f является функцией, определенной на экваторе. Достоинством этой точки зрения является то, что существует естественный критерий определения того, является ли f положительно- или отрицательно-частотной: f (x)является положительно-частотной функцией, если она может быть продолжена на голоморфную (т. е. комплексно-аналитическую) функцию, заданную в северном полушарии. Аналогично будем считать f отрицательно-частотной функцией, если она может быть аналитически продолжена на южное полушарие. Произвольная функция может быть разбита на поло-

124 · Глава 6 — Роджер Пенроуз

жительно- и отрицательно-частотные части. Идея твисторной теории состоит в том, чтобы глобальным образом использовать такой подход на самом пространстве-времени. Заданное в пространстве Минковского поле мы хотим разбить аналогичным образом на положительно- и отрицательно-частотные части. Чтобы понять это разбиение, мы сконструируем твисторное пространство (для более подробного знакомства с твисторами см. Пенроуз и Риндлер 1986, Хаггетт и Тод 1985).

Прежде чем перейти к деталям, рассмотрим два важных применения сферы Римана в физике.

1. Волновая функция частицы со спином 1/₂может представлять линейную суперпозицию состояний «вверх» и «вниз»:

Это состояние можно представить точкой z /w на сфере Римана, и это точка находится там, где вектор спина, направленный из центра, пересекает сферу. (Для высших спинов существует более сложная конструкция, введенная первоначально Майораной 1932, см. также Пенроуз 1994, где также использована сфера Римана). Это позволяет связать комплексные амплитуды КМ с пространственно-временной структурой (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Пространством направлений спина для частицы со спином ¹/₂ является сфера Римана отношения амплитуд z / w, где го — амплитуда того, что спин находится в состоянии «вверх», а z —спин «вниз»

Твисторный взгляд на пространство-время · 125

2. Вообразим, что наблюдатель находится в некоторой точке пространства-времени и рассматривает звезды в области пространства, по отношению к которой он находится извне. Предположим, наблюдатель отмечает угловые положения этих звезд на сфере. Тогда, если другой наблюдатель проходит через эту же точку в то же самое время, но с некоторой скоростью относительно первого наблюдателя, то благодаря аберрации, он отметит звезды в несколько иных положениях на сфере. Примечательно, что различные положения точек на сфере связаны между собой специальным преобразованием, называемым преобразованием Мебиуса. Множество таких преобразований образуют группу, которая сохраняет комплексную структуру на сфере Римана. Тогда пространство световых лучей, проходящих через пространственно-временную точку, является, в естественном смысле, сферой Римана. Я нахожу это очень красивым. Более того, группа фундаментальной симметрии физики, связывающая наблюдателей с различными скоростями — (ограниченная) группа Лоренца может быть реализована как группа автоморфизмов простейшего (комплексного) одномерного многообразия, сферы Римана (см. рис. 6.3 и Пенроуз и Риндлер 1984).

Рис. 6.3. Небесная сфера наблюдателя в общей теории относительности является естественной сферой Римана

126 · Глава 6 — Роджер Пенроуз

Рис. 6.4. На основе твисторного соответствия, световые лучи в пространстве-времени (Минковского) представляются точками в (проективном) твисторном пространстве.

Пространственно-временные точки представляются сферами Римана

Основная идея теории твисторов состоит в попытке использовать эту связь между КМ и пространственно-временной структурой, как это демонстрирует сфера Римана, только расширив эту идею на все пространство. Мы пытаемся рассматривать лучи света как более фундаментальные объекты, чем точки пространства-времени. Таким образом, мы считаем пространство-время вторичной концепцией и полагаем твисторное пространство — первоначально пространство световых лучей — более фундаментальным понятием. Эти два пространства связаны соответствием, согласно которому световые лучи в пространстве-времени являются точками в твисторном пространстве. Отсюда точка в пространстве-времени представляется множеством проходящих через нее световых лучей. Поэтому точка в пространстве-времени становится сферой Римана в твисторном пространстве. Мы будем считать твисторное пространство тем пространством, в рамках которого мы будем описывать физику (рис. 6.4).

В том виде, как я представил выше твисторное пространство, оно имеет пять (вещественных) измерений. Поэтому оно не может быть комплексным пространством, т. к. такие пространства всегда имеют четное число (вещественных) измерений. Если мы считаем, что световые лучи — это истории фотонов, мы должны также принять во внимание энергию фотона и его спиральность, которая может быть левой и правой.

Твисторный взгляд на пространство-время · 127

Это несколько сложнее, чем просто световые лучи, но важность всего этого состоит в том, что в конце концов мы приходим к комплексному проективному трехмерному пространству (шесть вещественных размерностей), . Это проективное твисторное пространство (). Оно имеет пятимерное подпространство , которое разбивает пространство на левую и правую части

Точки пространства-времени представляются четырьмя вещественными числами, а координаты в проективном твисторном пространстве могут быть представлены отношениями четырех комплексных чисел. Если световой луч, представляемый координатами (Ζ ⁰, Ζ ¹, Ζ ², Ζ ³)в твисторном пространстве, проходит через точку (r ⁰, r ¹, r ², r ³) в пространстве-времени, справедливо соотношение вложенности

(6.1)

Соотношение вложенности (6.1) является основой твисторного соответствия.

Здесь необходимо ввести некоторые 2-спинорные обозначения. В этом месте обычно возникают трудности, но для любых детальных вычислений эти обозначения чрезвычайно удобны. Для любого 4-вектора r ^аопределим величину r ^AA', матрица компонент которой может быть записана в виде

Условие вещественности r ^асостоит в том, что r ^AA'должна быть эрмитова. Точка в твисторном пространстве определяется двумя спинорами с компонентами

Соотношение вложенности тогда приводит к выражению:

ω = ίr π.

128 · Глава 6 — Роджер Пенроуз

Необходимо заметить, что при сдвиге начала координат, при котором r ^азаменяется на

получаем

в то время как π _{A '} · не меняется:

Твистор представляет четыре компоненты импульса р_а (три из которых независимы) и шесть компонент момента импульса М ^аb(четыре из которых независимы) безмассовой частицы. Эти выражения имеют вид

где скобки обозначают симметричную часть, ε ^ΑΒи ε ^Λ'Β'являются антисимметричными символами Лев и - Чивит а. Эти выражения учитывают тот факт, что импульс р_а является нулевым и направлен в будущее, а также то, что спиновый вектор Паули-Любанского равен спиральности а, умноженной на 4-импульс. Эти величины определяют твисторные переменные (ω ^Λ, π _А')с точностью до умножения на общий фазовый множитель твистора. Спиральность может быть записана как

где комплексно сопряженный к Z ^a= (w ^A, π _а')твистор является дуальным твистором . (Отметим, что комплексное сопряжение меняет местами штрихованные и нештрихованные спинорные индексы и твисторы с дуальными им). Тогда а > О соответствует частице с правой спиральностью, которую мы относим к верхней половине твисторного пространства , в то время как а < 0 относится к частицам с левой спиральностью, т.е. к нижней половине . Наконец, случай а = 0 соответствует реальным световым лучам. (Уравнение для пространства световых лучей имеет, следовательно, вид: )

Твисторный взгляд на пространство-время · 129

Квантованные твисторы

Поскольку нам нужна квантовая теория твисторов, для этого мы должны определить твисторную волновую функцию, т.е. комплекснозначную функцию f (Z ^a)на твисторном пространстве. Произвольная функция f (Z ^a)не является a priori волновой функцией, поскольку Z ^αвключает в себя компоненты, содержащие как координаты, так и импульсы. Мы не можем использовать их одновременно в волновой функции, т. к. координаты и импульсы не коммутируют между собой. В твисторном пространстве коммутационные соотношения имеют вид:

Таким образом, являются сопряженными перемен-

ными, и волновая функция может зависеть только от одной из них. Это означает, что волновая функция должна быть голоморфной (или антиголоморфной) функцией от Z ^a.

Теперь мы должны проверить, как предыдущие выражения зависят от операторного упорядочения. Оказывается, что выражения для импульса и момента импульса не зависят от упорядочения и поэтому канонически определены. С другой стороны, выражение для спиральности зависит от упорядочения, и мы должны выбрать корректные определения. С этой целью мы должны выбрать симметричное произведение, т.е.

которое с точки зрения Z ^α-пространства может быть выражено следующим образом:

Мы можем разложить волновую функцию по собственным состояниям s. Они в точности являются однородными волновыми функциями определенной степени. Например, бесспиновая частица с нулевой спиральностью имеет твисторную волновую функцию степени однородности —2. Лево-спиральная час-

130 · Глава 6 — Роджер Пенроуз

тица со спином ¹/₂ имеет спиральность s = -¹/₂ и, следовательно, имеет твисторную волновую функцию степени однородностью -1, в то время как право-спиральная частица (спиральность; ) будет иметь твисторную волновую функцию степени однородности —3. Для спина 2 право-спиральные и лево-спиральные твисторные волновые функции будут иметь соответственно степени однородности —6 и +2.

Это может выглядеть несколько надуманным, поскольку в ОТО существует симметрия между правым и левым. Но это может быть и не так уж плохо, так как сама Природа является лево-право асимметричной. Более того, «новые переменные» Аштекара, которые являются очень полезным средством в ОТО, также лево-право асимметричны. Интересно, что мы приходим к такой асимметрии между левым и правым столь разными путями.

Кто-то может подумать, что можно восстановить симметрию, заменив , обратив таблицу степеней однородности и затем используя Z ^αдля одной спиральности и для другой. Однако так же, как мы не можем смешивать между собой одновременно координатное и импульсное представления в обычной КМ, мы не можем смешивать описание с помощью переменных . Мы должны выбрать либо одно, либо другое. Какое из описаний более фундаментально, предстоит еще узнать.

Далее, мы хотим получить пространственно-временное описание f (Z). Это можно сделать с помощью контурного интеграла

где интеграл берется по контуру в пространстве тех Ζ ^α, которые соответствуют r (напомним, что Ζ имеет две части ω и π),

и число компонент π или зависит от спина (и направле-

ния проекции) поля. Это уравнение определяет пространственно-временное поле φ...(r), которое автоматически удовлетворяет уравнениям поля для безмассовой частицы. Таким образом,

Твисторный взгляд на пространство-время · 131

требование голоморфности твисторных полей включает в себя уравнения безмассовых частиц для всего множества полей, по крайней мере, для линейного поля в плоском пространстве или эйнштейновского поля в пределе малой энергии.

Геометрически точка r в пространстве-времени является линией (которая есть сфера Римана) в твисторном пространстве. Эта линия должна разрезать область, где определена f (Z). Функция f (Z)в общем случае не определена везде и может иметь сингулярные части (действительно, при вычислении контурного интеграла мы обходим эти сингулярные области). Если говорить математически более точно, то твисторная волновая функция является элементом когомологии. Чтобы это понять, рассмотрим множество открытых окрестностей в некоторой области твисторного пространства, которой мы интересуемся. Твисторная функция тогда должна быть определена на пересечении пар этих открытых множеств. Это означает, что она является элементом первого пучка когомологии. Я не буду вдаваться в детали, но выражение «пучок когомологии» хорошо запоминается.

Вспомним теперь, что на самом деле мы хотели по аналогии с КТП найти способ разделения отрицательно- и положительно-частотных частей амплитуды поля. Если твисторную функцию, определенную на , можно продолжить (как элемент первой когомологии) на верхнюю половину твисторного пространства , она имеет положительную частоту. Если она может быть продолжена на нижнюю половину , она имеет отрицательную частоту. Таким образом, индексы твисторного пространства соответствуют обозначениям положительной и отрицательной частоты.

Это разбиение позволяет построить квантовую физику в твисторном пространстве. Эндрю Ходжес (1982, 1985, 1990) развил подход к КТП на основе твисторных диаграмм, которые аналогичны фейнмановским диаграммам в пространстве-времени. Используя их, он пришел к некоторым новым способам регуляризации КТП. Эти схемы трудно придумать при использовании обычного пространственно-временного подхода, но они очень естественны в твисторной картине. Новая точка зрения, первоначально выросшая из идей Майкла Зингера

132 · Глава 6 — Роджер Пенроуз

(Ходжес, Пенроуз и Зингер 1989), в последнее время стимулирована также конформной квантовой теорией поля (ККТП). Стивен в своей первой лекции высказал несколько критических замечаний относительно теории струн, но я считаю, что ККТП, которая по сути есть теория поля на мировой поверхности струны, является очень красивой (хотя не вполне физичной) теорией.

Она определена на произвольных римановых поверхностях (одним из простейших примеров которых является сфера Римана, и которые включают в себя все одномерные комплексные многообразия, в том числе торы и «крендель»). Для твисторов необходимо обобщить ККТП на многообразия с тремя комплексными размерностями, границы которых являются копиями (т.е. пространствами световых лучей в пространстве-времени). Работа в этой области продолжается, хотя нельзя сказать, что она продвинулась очень далеко.

Твисторы в искривленных пространствах

Все, что мы делали до сих пор, связано только с плоским пространством-временем, но мы знаем, что пространство-время искривлено. Нам необходима теория твисторов, которая могла бы быть применена к искривленному пространству-времени и могла бы каким-либо естественным образом воспроизвести уравнения Эйнштейна.

Если многообразие пространства-времени является конформно плоским (или, другими словами, его тензор Вейли равен нулю), то нет никаких проблем, связанных с описанием этого пространства твисторами, поскольку твисторная теория является в своей основе конформно-инвариантной. Существуют некоторые твисторные идеи, которые работают в различных конформно-неплоских пространствах как, например, идея определения квазилокальных масс (Пенроуз 1982, для пояснения см. Тод 1990) и конструкция Вудхауза-Мейсона (1988, для пояснения см. Флетчер и Вудхауз 1990) для случая стационарных аксиальносимметричных вакуумов (основана на конструкции Уорда 1977 для антисамодуальных Янг-Миллсовских полей в плоском пространст-

Твисторный взгляд на пространство-время · 133

ве-времени; см. также Уорд 1983), которые являются частью весьма общего твисторного подхода к интегрируемым системам (см. книгу Мейсона и Вудхауза 1996).

Однако нам хотелось бы научиться справляться и с более общими пространствами. Для комплексифицированного (или «евклидизированного») пространства-времени Μ с антисамодуальным тензором Вейля (т. е. самодуальная половина тензора Вейля равна нулю) существует так называемая конструкция нелинейного гравитона, которая тесно связана с этой проблемой (Пенроуз 1976). Чтобы увидеть, как все это работает, рассмотрим часть твисторного пространства, состоящего из трубчатой окрестности линии или чего-то подобного (скажем, верхней половины положительночастотной части ), и раз-

режем ее на два или более куска. После этого снова склеим их вместе, но так, чтобы куски сдвинулись друг относительно друга. В общем случае прямые линии в первоначальном пространстве Ρ будут разорваны в новом пространстве . Однако мы можем искать новые голоморфные кривые, которые заменяют первоначальные (теперь нарушенные) прямые линии, считая, что кривые соединяются гладко. Предполагая, что различие между Ρ и не слишком велико, получим голоморфные кривые, которые относятся к тому же топологическому семейству, что и первоначальные линии, образуя, таким образом, четырехмерное семейство. Пространство, точки которого образуют эти голоморфные кривые и является искомым антисамодуальным (комплексным) «пространством-временем» (рис. 6.5). Теперь можно рассматривать риччи-плоские уравнения Эйнштейна в вакууме как условия, при которых является голоморфным расслоением над проективной линией (вместе с некоторыми другими слабыми условиями). Все это может быть получено, если выразить деформацию для Р, как заданную с помощью свободных голоморфных функций. При этом вся информация об искривленном пространстве-времени будет закодирована в этих функциях (хотя нахождение требуемых голоморфных кривых в может быть очень трудной задачей).

На самом деле мы хотим решить полные уравнения Эйнштейна (поскольку последняя конструкция дает решение лишь

134 · Глава 6 — Роджер Пенроуз

Рис. 6.5. Конструкция нелинейного гравитона

ограниченной задачи, в которой половина вейлевского тензора равна нулю), но эта задача чрезвычайно сложна и в течение последних двадцати лет потерпели поражение множество попыток ее решения. Тем не менее, в последние несколько лет я пытался развить новый подход к проблеме (см. Пенроуз 1992). Хотя пока у меня нет решения, этот путь выглядит наиболее обещающим и перспективным. При этом действительно возникает глубокая связь между твисторами и уравнениями Эйнштейна. На это указывает два наблюдения.

1. Уравнения Эйнштейна в вакууме R_ab = 0 являются также условиями согласованности для безмассового поля спиральностью (когда такие поля выражены через потенциал).

2. В плоском пространстве-времени Μ пространство зарядов для поля  в точности совпадает с твисторным пространством.

Такая программа может быть приблизительно сформулирована следующим образом: для данного риччи-плоского пространства-времени (т.е. R_ab = 0) найти в нем пространство зарядов для поля с . (Это отнюдь не простая задача.)

Тогда это и будет твисторным пространством для риччи-плоского пространства-времени. Второй шаг состоит в нахождении способа сконструировать такие твисторные пространства, используя свободные голоморфные функции, и, наконец, способа

Твисторный взгляд на пространство-время · 135

реконструировать в каждом случае исходное пространственно-временное многообразие из данного твисторного пространства.

Мы не ожидаем, что это твисторное пространство окажется линейным, поскольку оно должно, при реконструировании пространства-времени, давать структуру кривизны. Кроме того, конструкция должна быть сильно нелокальной, причем в достаточно нетривиальной форме, поскольку как заряд, так и потенциал для поля с s = ³/₂ нелокальны. Это в свою очередь могло бы помочь при объяснении физики нелокальных явлений, таких как эксперименты ЭПР (обсуждаемые в гл. 4), приводящие к тому, что объекты, разделенные областями в пространстве и времени, могут каким-то образом «перепутываться» друг с другом.

Твисторная космология

Я хочу закончить некоторыми замечаниями относительно космологии и твисторов, хотя они будут достаточно гипотетическими. Я уже говорил, что тензор кривизны Вейля должен был быть равен нулю в прошлых сингулярностях, и что при этом пространство-время было близко к конформно плоскому. Это означает, что начальное состояние имеет очень простое твисторное описание. С течением времени это описание становится все более сложным, а вейлевская кривизна — все более существенной. Такой тип поведения согласуется с наблюдаемой в настоящее время асимметрией геометрии Вселенной.

С точки зрения комплексно-голоморфной идеологии твисторной теории, предпочтительным является Большой взрыв с к < 0, ведущий к открытой Вселенной (Стивен предпочитает замкнутый вариант). Причина в том, что только при к < О группа симметрии первоначальной сингулярности Вселенной совпадает с голоморфной группой Мебиуса голоморфных собственных преобразований сферы Римана  (т.е. ограниченной группой Лоренца). Это та самая группа, которая вывела твисторную теорию на передний план — поэтому, по твисторно-идеологическим причинам, я определенно предпочитаю к < 0. Поскольку все это основано только на идеологии,

136 · Глава 6 — Роджер Пенроуз

я могу, конечно, в будущем изменить свое мнение, если выяснится, что я ошибаюсь, и Вселенная окажется замкнутой.

Вопросы и ответы

Вопрос: Каков физический смысл состояния со спиральностью ³/₂?

Ответ: Спин ³/₂ в таком подходе не является каким-то реальным физическим полем, а играет вспомогательную роль, необходимую для определения твисторов. Я не думаю, что это поле частиц, которые могут быть открыты. С другой стороны, с точки зрения суперсимметрии это поле может быть суперпартнером гравитона.

Вопрос: Где может проявиться асимметричный во времени R -процесс, который Вы обсуждали в последнее время, с точки зрения твисторов?

Ответ: Вы должны понять, что твисторная теория является очень консервативной и не может ничего сказать относительно этого. Мне бы очень хотелось увидеть, как в твисторной теории появляется временная асимметрия, но в настоящий момент я не знаю, как это может случиться. Однако, если выполнить всю предложенную программу, она определенно должна появиться, возможно путем, смутно напоминающим введение асимметрии правого и левого. Технически к временной асимметрии приводит подход Эндрю Ходжеса к регуляризационной схеме, но здесь пока еще не осела пыль.

Вопрос: Какая нелинейная КТП может оказаться наиболее приемлемой в твисторной теории?

Ответ: Пока что анализировалась в основном только стандартная модель (в контексте твисторных диаграмм).

Вопрос: Теория струн явно предсказывает спектр частиц. Как он может появиться в твисторной теории?

Ответ: Я не знаю, как может в конце концов появиться спектр частиц, хотя и есть некоторые идеи на этот счет. Однако я бы хотел узнать, как теория струн «явно предсказывает спектр частиц». Моя точка зрения состоит в том, что пока мы не поймем ОТО в рамках теории твисторов, мы не сможем

Твисторный взгляд на пространство-время · 137

решить эту проблему, так как массы частиц тесно связаны с ОТО. Но в определенном смысле это же утверждает и теория струн.

Вопрос: Какова твисторная точка зрения на прерывность и непрерывность?

Ответ: Одной из ранних мотиваций для теории твисторов послужила теория спиновых сетей, в которых старались построить пространство с помощью дискретных комбинаторных квантовых правил. Можно попытаться сконструировать теорию твисторов и вне дискретных объектов. Однако тенденция все эти годы была такова, что приводила к голоморфным, а не комбинаторным методам, хотя это не означает, что дискретная точка зрения чем-то хуже. Возможно существует глубокая связь между дискретными и голоморфными концепциями, но пока что они еще не объединились каким-либо ясным способом.

Глава 7. Обсуждение. С. Хокинг и Р. Пенроуз

Стивен Хокинг

Эти лекции ясно показали различие между Рождером и мной. Он — платонист, а я — позитивист. Он обеспокоен тем, что шредингеровский кот находится в квантовом состоянии, в котором он наполовину жив, а наполовину мертв. Роджер чувствует, что это не может соответствовать реальности. Тем более это беспокоит меня. Я не требую, чтобы теория соответствовала реальности, поскольку я не знаю, как она устроена. Реальность не является величиной, которую можно проверить с помощью лакмусовой бумажки. Все это я связываю с тем, что теория должна предсказывать результаты измерений. Квантовая теория делает это весьма успешно. Она предсказывает, что результат наблюдений состоит либо в том, что кот жив, либо в том, что кот мертв. Так же как нельзя забеременеть слегка: либо есть, либо нет.

Причина, по которой люди, подобные Роджеру, если не считать членов общества защиты животных, возражают против шредингерского кота, состоит в том, что кажется абсурдным представлять состояние как

А почему бы не ? Другой способ

выразить то же самое состоит в том, чтобы сказать, что между состояниями |кот жив) и |кот мертв) не видно никакой интерференции. Можно получить интерференцию между частицами, проходящими через различные щели, потому что их можно разумным образом изолировать от не влияющей на изменения

Обсуждение · 139

окружающей среды. Но такое тело, как кот, нельзя изолировать от межмолекулярных сил, переносимых электромагнитным полем. Нет никакой необходимости в квантовой гравитации для объяснения парадокса шредингерского кота или функционирования мозга. Это было бы просто глупостью.

Я никогда всерьез не предлагал считать, что космологические горизонты событий являются причиной того, что кот Шредингера ведет себя как классическое животное, которое может быть либо живым, либо мертвым, но не может являться комбинацией этих двух состояний. Как я уже говорил, достаточно трудно изолировать кота от остальной части комнаты, так что уж точно не стоит беспокоиться о дальних уголках Вселенной. Все, что я утверждал, заключается в том, что даже если мы могли бы наблюдать флуктуации в микроволновом фоне с очень большой точностью, они будут иметь классическое статистическое распределение. Мы не можем обнаружить каких-либо свойств квантовых состояний подобно интерференции или корреляции между флуктуациями в различных модах. Когда мы говорим о всей Вселенной, у нас отсутствует внешняя окружающая среда, которая была в случае кота Шредингера, но тем не менее мы получаем декогерентность и классическое поведение, поскольку мы не можем видеть Вселенную в целом.

Роджер ставит под вопрос мое использование евклидовых методов. В частности, он возражает против картинок, которые я рисовал, соединяя евклидову геометрию с лоренцовской. Как он правильно отметил, это возможно только для некоторых очень специальных случаев; в общем случае лоренцовское пространство-время не имеет такого сечения комплексифицированного многообразия, на котором метрика одновременно вещественна и положительно определена, иначе говоря, евклидова. Однако это связано с неправильным пониманием евклидова интеграла по путям даже для обыкновенных негравитационных полей. Рассмотрим достаточно хорошо изученный случай Янга-Миллса. Анализ начинается с интеграла по путям от е ^{iДеиствие} по всем связностям поля Янга-Миллса в пространстве Минковского. Этот интеграл осциллирует и поэтому не сходится. Чтобы получить хорошо определенный

140 · Глава 7 — Стивен Хокинг и Роджер Пенроуз

интеграл по путям, делается виковский поворот к евклидовому пространству путем введения мнимой временной координаты τ = - it. Подынтегральное выражение тогда принимает вид е^{-Евклидово действие}, и интеграл должен быть вычислен по всем вещественным связностям в евклидовом пространстве. Связность, вещественная в евклидовом пространстве, вообще говоря, не будет вещественной в пространстве Минковского. Но это несущественно. Идея состоит в том, что интеграл по путям по всем вещественным связностям в евклидовом пространстве эквивалентен, в смысле контурных интегралов, интегралу по путям по всем вещественным связностям в пространстве Минковского. Как и в случае квантовой гравитации, интеграл по путям для полей Янга-Миллса может быть вычислен методом седловой точки. Такие решения, соответствующие седловой точке, являются инстантонами Янга-Миллса, для классификации которых так много сделал Роджер со своей твисторной программой. Инстантоны Янга-Миллса вещественны в евклидовом пространстве. Но они комплексны в пространстве Минковского. Но это не существенно. Они все равно определяют вероятности физических процессов, типа электрослабого рождения барионов.

Ситуация в квантовой гравитации похожа. Здесь также можно выполнить интегрирование по путям не по лоренцевским метрикам, а по всем положительно определенным или евклидовым метрикам. На самом деле, это необходимо сделать, если допустить, что гравитационные поля могут иметь различную топологию. Лоренцевская метрика может быть только на многообразии с нулевым числом Эйлера. Но как мы уже видели, интересные гравитационные эффекты, подобные внутренней энтропии, появляются именно для таких пространственно-временных многообразий, для которых эйлерова характеристика не равна нулю, что не допускает лоренцевской метрики. Существует проблема, состоящая в том, что евклидово действие для гравитации не ограничено снизу, так что похоже, что рассмотренный ранее интеграл по путям не сходится. Однако это можно исправить, проинтегрировав конформный множитель по комплексному контуру. Это, конечно, домысел, однако, я считаю, что такое поведение связано с калибровочной сте-

Обсуждение · 141

пенью свободы, и оно исчезнет, когда мы научимся правильно брать интегралы по путям. Эта проблема появляется по физическим причинам: потенциальная энергия гравитации отрицательна, поскольку гравитация соответствует притяжению. Поэтому, эта проблема всегда будет появляться каким-либо образом в любой квантовой теории гравитации. Она возникнет в теории струн, если только в ней удастся пробиться так далеко. Пока что результаты струнной теории довольно голословны: она не может описать даже структуру Солнца, уж не говоря о черных дырах.

Врезав таким образом по теории струн, я вернусь к евклидову подходу и условию отсутствия границ. Хотя интеграл по путям берется по всем положительно определенным метрикам, седловой точке вполне может соответствовать и комплексная метрика. Это происходит в космологии, когда размер трехмерной поверхности Σ становится больше некоторого малого размера. Хотя я описываю метрику как половину евклидовой 4-сферы, соединенной с лоренцевской метрикой, это только приближение. Реальная метрика в седловой точке должна быть комплексной. Платонисты, вроде Роджера, могут сильно огорчиться, но это прекрасно для позитивистов, вроде меня. Метрика седловой точки ненаблюдаема. Все, что можно наблюдать — это волновую функцию, вычисленную в седловой точке, и она соответствует вещественной лоренцовской метрике. Я немного удивлен возражениями Роджера против моего использования евклидова и комплексного пространства-времени. Он сам использовал комплексное пространство-время в своей твисторной программ