Уравнение Pay чадхури - Ньюмена - Пенроуза

где п = 2 для нулевых геодезических,

п = 3 для времениподобных геодезических.

Здесь v является аффинным параметром вдоль конгруэнций геодезических с касательным вектором l ^а, который ортогонален к гиперповерхности. Величина ρ является средней скоростью сближения геодезических, в то время как σ измеряет напряжение. Слагаемое R_ab l ^a l ^bопределяет непосредственное гравитационное воздействие материи на сходимость геодезических.

Уравнение Эйнштейна

Слабое энергетическое условие

для любого времениподобного вектора v ^a.

Из уравнений Эйнштейна следует, что последнее слагаемое будет неотрицательным для любого нулевого вектора l ^а, если материя удовлетворяет так называемому слабому энергетическому условию. Оно утверждает, что плотность энергии T ₀₀ является неотрицательной в любом базисе. Слабому энергетическому условию удовлетворяет классический тензор энергии-импульса любого разумного вида материи, такого как скалярное или электромагнитное поле или жидкость с приемлемым уравнением состояния. Однако это условие может локально не выполняться для квантово-механического среднего

Классическая теория · 21

значения тензора энергии-импульса. Это будет существенно в моих второй и третьей лекциях (главы 3, 5).

Предположим, что слабое энергетическое условие справедливо, и что нулевые геодезические из точки p начинают снова сходиться, причем ρ имеет положительное значение ρ ₀· Тогда из уравнений Ньюмена-Пенроуза следует, что сближение ρ может стать бесконечным в точке q внутри промежутка аффинного параметра размером , если нулевая геодезическая может быть так далеко продолжена.

Бесконечно близкие нулевые геодезические из p будут пересекаться в q. Это означает, что точка q будет сопряжена с p вдоль соединяющей их нулевой геодезической γ. Для точек на γ кроме точки q будет существовать такая вариация γ, которая дает времениподобную кривую из р. Такая геодезическая γ не может лежать на границе будущего точки p за сопряженной точкой q. Таким образом, γ будет иметь конечную точку в будущем как генератор границы будущего точки p (см. рис. 1.9).

Сильное энергетическое условие

Ситуация с времениподобными геодезическими аналогична, за исключением того, что сильное энергетическое условие, необходимое для того, чтобы величина R_abl ^a l ^bбыла неотрицательной для любого времениподобного вектора l ^а, как следует из самого названия, является более сильным. Оно остается, однако, физически приемлемым в классической теории, по крайней мере в смысле средних значений. Если выполняется

22 • Глава 1 — Стивен Хокинг

сильное энергетическое условие, и времениподобные геодезические, выходящие из р, снова начинают сближаться, будет существовать точка q, сопряженная точке р.

Рис. 1.9. Точка q является сопряженной к р вдоль нулевых геодезических, так что нулевая Геодезическая γ, которая соединяет р с q, будет покидать границу будущего точки р в точке q.

Общее энергетическое условие:

1.Выполняется сильное энергетическое условие.

2. Каждая времениподобная или нулевая геодезическая содержит точку, где

Наконец, существует общее энергетическое условие. Оно утверждает, во-первых, что справедливо сильное энергетическое условие. Во-вторых, каждая времениподобная или нулевая геодезическая включает точку, где отлична от нуля кривизна, специально связанная со свойствами геодезической. Общее энергетическое условие не удовлетворяется для некоторых

Классическая теория • 23

точных решений. Но эти примеры являются довольно специальными. Можно ожидать, что оно выполняется для решений, которые являются «общими» в подходящем смысле. Если общее энергетическое условие выполняется, то каждая геодезическая будет включать область гравитационного фокусирования. Отсюда вытекает, что если геодезические можно продолжить достаточно далеко в каждом направлении, то должны существовать пары сопряженных точек.

Естественно представлять себе пространственно-временную сингулярность как область, в которой кривизна становится неограниченно большой. Однако, принимая это как определение, мы сталкиваемся с проблемой, так как можно просто вырезать сингулярные точки и сказать, что остающееся многообразие и было всем пространством-временем. Поэтому лучше определить пространство-время как максимальное многообразие, на котором метрика является достаточно гладкой. Тогда можно заметить появление сингулярностей по существованию неполных геодезических, которые не могут быть продолжены на бесконечные значения аффинного параметра.

Определение сингулярностей

Пространство-время является сингулярным, если оно содержит неполные времениподобные или нулевые геодезические, но при этом не может быть вложено в большее пространство-время.

Это определение отражает наиболее объективируемые свойства сингулярностей, а именно то, что возможны частицы, история которых имеет начало и конец в конечные моменты времени. Существуют примеры, показывающие, что может возникать неполнота геодезических при остающейся ограниченной кривизне, однако считается, что в общем случае кривизна вдоль неполной геодезической будет расходиться. Это особенно важно, если пытаться с помощью квантовых эффектов решать проблемы, появляющиеся в связи с сингулярностями в классической общей теории относительности.

24 · Глава 1 — Стивен Хокинг

Между 1965 и 1970 годами Пенроуз и я использовали описанную мной технику для доказательства ряда теорем о сингулярностях. Формулировка этих теорем включает три типа условий. Во-первых, это энергетическое условие типа слабого, сильного или общего. Во-вторых, это некоторое глобальное условие на причинную структуру, например, требование отсутствия каких-либо замкнутых времениподобных кривых. Наконец, последнее условие, что в некоторых областях гравитация так сильна, что оттуда ничего не выходит наружу.

Рис. 1.10. На нормальной замкнутой поверхности выходящие с поверхности нулевые лучи расходятся, в то время как входящие лучи сходятся.

На замкнутой ловушечной поверхности сближаются как входящие, так и выходящие нулевые лучи

Это третье условие можно выразить различными способами. Один способ состоит в том, чтобы предположить, что пространственное поперечное сечение Вселенной является за-

Классическая теория · 25

мкнутым, так что не существует внешней области, куда можно было бы убежать. Другой состоит в утверждении, что существует так называемая замкнутая ловушечная поверхность. Это такая двумерная замкнутая поверхность, что как входящие, так и выходящие ортогональные ей нулевые геодезические будут сближаться (рис. 1.10). Обычно, если имеется сферическая двумерная поверхность в пространстве Минковского, то входящие нулевые геодезические сближаются, а выходящие — расходятся. Однако при коллапсе звезды гравитационное поле так велико, что световые конусы наклонены внутрь. Это означает, что даже выходящие нулевые геодезические сближаются друг с другом.

Ряд теорем о сингулярностях показывает, что при выполнении различных комбинаций трех типов условий пространство-время может быть неполным относительно времениподобных или нулевых геодезических. Можно ослабить одно условие, если предполагать более сильную версию двух других.

Теоремы о сингулярностях:

1. Энергетическое условие.

2. Условие на глобальную структуру.

3. Гравитация достаточно сильна для того, чтобы замкнуть определенную область.

Я проиллюстрирую это, описав теорему Хокинга-Пенроуза. Она включает общее энергетическое условие, сильнейшее из трех возможных. Глобальное условие довольно слабое и сводится к отсутствию замкнутых времениподобных геодезических. Условие невылетания берется в наиболее общем виде как существование либо ловушечной поверхности, либо замкнутой пространственноподобной трехмерной поверхности.

Для простоты я лишь набросаю доказательство для случая замкнутой пространственноподобной трехмерной поверхности S. Можно определить эволюцию Коши в D ⁺(S)в направлении будущего как область точек q, для которых каждая направленная в прошлое времениподобная геодезическая пересекает S (рис. 1.11). Тогда эволюция Коши является областью пространства-времени, которая может быть предсказана

26 · Глава 1 — Стивен Хокинг

Рис. 1.11. Эволюция Коши D ⁺(S)в будущее для множества S и ее граница в будущем — горизонт Коши H ⁺(S)

из данных на S. Теперь предположим, что эволюция Коши в будущее является компактной. Отсюда вытекает, что эволюция Коши будет иметь в будущем границу H ⁺(S), называемую горизонтом Коши. С помощью рассуждений, аналогичных тем, что были использованы для границы будущего точки, можно установить, что горизонт Коши будет порождаться отрезками нулевых геодезических без конечных точек в прошлом. Однако, поскольку эволюция Коши предполагается компактной, горизонт Коши должен быть также компактным. Это означает, что генераторы нулевых геодезических будут навиваться внутри компактного множества.

Они будут достигать предельной нулевой геодезической λ, которая не имеет на горизонте конечных точек в прошлом или будущем (рис. 1.12). Но если λ была бы геодезически полной, общее энергетическое условие приводило бы к тому, что она должна содержать сопряженные точки p и q. Точки на геодезической λ вне точек p и q могли бы соединяться времениподобной кривой. Но это привело бы к противоречию, поскольку на горизонте Коши не может быть двух точек, разделенных

Классическая теория · 27

Рис. 1.12. На горизонте Коши существует предельная нулевая геодезическая λ, не имеющая конечных точек в прошлом или будущем на горизонте Коши

времениподобным интервалом. Следовательно, либо λ не является геодезически полной и теорема доказана, либо эволюция Коши в будущее S — некомпактное множество.

В последнем случае можно показать, что существует направленная в будущее времениподобная кривая γ из S, которая никогда не покидает эволюцию Коши для S в будущее. Аналогичные рассуждения показывают, что γ может быть продолжена в прошлое до кривой, которая никогда не покидает эволюцию Коши D ^-(S)в прошлое (рис. 1.13). Рассмотрим последовательность точек х_п на γ, направленную в будущее, и аналогичную последовательность у_п, направленную в прошлое. Для каждого значения п точки х_п и у_п разделены времениподобным интервалом и находятся в глобально гиперболической эволюции Коши множества S. Тогда должна существовать времениподобная геодезическая максимальной длины λ_п из х_п к у_п. Все λ_п будут пересекать компактную пространственно-подобную поверхность S. Это означает, что в эволюции Коши будет существовать времениподобная геодезическая λ, которая является пределом времениподобных геодезических λ_п (рис. 1.14). Либо λ должна быть неполной, и в этом случае

28 · Глава 1 — Стивен Хокинг

Рис. 1.13-14

Рис. 1.13. Если эволюция Коши в будущее (прошлое) некомпактна, то существует направленная в будущее (прошлое) времениподобная кривая из S, которая никогда не покидает эволюцию Коши в будущее (прошлое)	Рис. 1.14. Геодезическая λ, которая является пределом γn, будет неполной, потому что в противоположном случае она должна содержать сопряженные точки

теорема доказана, либо она должна содержать сопряженные точки, в силу общего энергетического условия. Но в этом случае λ_п будут содержать сопряженные точки при достаточно больших п. Это находится в противоречии с тем, что λ_п предполагались кривыми максимальной длины. Отсюда можно заключить, что пространство является неполным по отношению к нулевым или времениподобным геодезическим. Другими словами, должна существовать сингулярность.

Теоремы предсказывают наличие сингулярностей в двух ситуациях. Одна из них возникает в будущем при гравитационном коллапсе звезд и других массивных тел. Такие сингулярности должны возникать в конечный момент времени,

Классическая теория · 29

по крайней мере для частиц, движущихся по неполным геодезическим. Другая ситуация, при которой предсказывается существование сингулярностей, относится к прошлому, к началу теперешнего расширения Вселенной. Это привело к отказу от попыток (делавшихся в основном русскими учеными) утверждать, что была предыдущая фаза сжатия, которая несингулярным образом сменилась расширением. Почти все специалисты сейчас убеждены, что Вселенная и само время появились в момент Большого взрыва. Это открытие является значительно более важным, чем открытие нескольких нестабильных частиц, однако не настолько важным, чтобы быть столь же щедро отмеченным Нобелевскими премиями.

Предсказание сингулярностей означает, что классическая общая теория относительности не является полной теорией. Поскольку сингулярные точки должны быть вырезаны из пространственно-временного многообразия, в них нельзя определить уравнение поля и тем самым предсказать, что произойдет с сингулярностями. Для сингулярности в прошлом, кажется, есть только один способ справиться с этой проблемой — это обратиться к квантовой гравитации. Я вернусь к этому в своей третьей лекции (глава 5). Но сингулярности, которые предсказываются в будущем, похоже, обладают одним свойством, которое Пенроуз назвал космической цензурой. Это означает, что сингулярности проявляются в таких местах, которые, подобно черным дырам, скрыты от внешних наблюдателей. Поэтому любые нарушения предсказуемости, которые могут проявляться в этих сингулярностях, не влияют на то, что происходит во внешнем мире, по крайней мере, в соответствии с классической теорией.

Космическая цензура.

Природа питает отвращение к голой сингулярности.

Однако, как я покажу в следующей лекции, в квантовой теории существует некоторая непредсказуемость. Это связано с тем, что гравитационное поле имеет внутреннюю энтропию, что является не только следствием крупнозернистой структу-

30 · Глава 1 — Стивен Хокинг

ры. Гравитационная энтропия, а также тот факт, что время имеет начало и может иметь конец, являются темами моих следующих лекций, потому что это есть как раз то, что существенно отличает гравитацию от других физических полей.

Рис. 1.15. Коллапсирующая звезда, конформно вложенная в многообразие с границей

То, что гравитация имеет характеристику, которая ведет себя подобно энтропии, сначала был отмечен в чисто классической теории. Это зависит от предложенного Пенроузом принципа космической цензуры. Сам принцип не доказан, но считается, что он справедлив при достаточно общих начальных данных и уравнениях состояния. Я буду использовать слабую форму космической цензуры. Сделаем приближение, считая, что область в окрестности коллапсирующей звезды является асимптотически плоской. Тогда, как показал Пенроуз, можно конформно вложить пространственно-временное многооб-

Классическая теория · 31

разие М в многообразие с границей Μ (рис. 1.15). Граница дМ будет нулевой поверхностью и будет состоять из двух компонент, нулевой бесконечности в будущем и в прошлом, называемых и . Я буду говорить, что слабая космическая цензура выполнена, если удовлетворяются два условия. Во-первых, предполагается, что нулевые геодезические генераторы в  являются полными в определенной конформной метрике. Это приводит к тому, что наблюдатели, далекие от коллапса, живут до старости и на них не влияет разрыв сингулярности, исходящей от коллапсирующей звезды. Во-вторых, предполагается, что прошлое для является глобально гиперболическим. Это означает, что не существует голой сингулярности, которую можно увидеть с большого расстояния. Пенроуз использовал более сильную форму космической цензуры, которая предполагает, что пространство-время в целом является глобально гиперболическим. Но слабая форма будет вполне достаточной для моих целей.

Слабая космическая цензура.

Если слабая космическая цензура выполняется, то сингулярности, которые, как предсказано, появляются при гравитационном коллапсе, не могут быть видимыми из . Это означает, что должна существовать область пространства-времени, которая не находится в прошлом для . Эту область называют черной дырой, потому что ни свет, ни что-либо еще не может оторваться от нее и уйти на бесконечность. Границу черной дыры называют горизонтом событий. Поскольку она так же является границей прошлого для , горизонт событий может быть получен с помощью отрезков нулевых геодезических, которые могут иметь конечную точку в прошлом, но не могут иметь каких-либо конечных точек в будущем. Из этого следует, что если слабое энергетическое условие выполнено, то генераторы горизонта не могут сближаться, т. к. если бы

32 · Глава 1 — Стивен Хокинг

Рис. 1.16. Когда мы бросаем материю в черную дыру или разрешаем двум черным дырам сливаться, общая площадь горизонта событий никогда не убывает

это происходило, они пересекались бы друг с другом на конечных расстояниях. Отсюда следует, что площадь поперечного сечения горизонта событий не может уменьшаться с течением времени, а в общем случае только увеличивается. Более того, если две черные дыры сталкиваются и сливаются вместе, площадь поверхности конечной черной дыры будет больше, чем сумма площадей поверхностей первоначальных черных дыр (рис. 1.16). Это очень похоже на поведение энтропии в соответствии со вторым законом термодинамики. Энтропия тоже никогда не может уменьшаться, и энтропия полной системы больше, чем сумма энтропий составляющих ее частей.