Два естественных выбора для интеграла по путям В квантовой гравитации

1. Асимптотически евклидовы метрики.

2. Компактные метрики без границ.

Первый класс асимптотически евклидовых метрик, очевидно, подходит для расчетов процессов рассеяния (рис. 5.1). В них можно рассматривать частицы, приходящие из бесконечности и снова уходящие на бесконечность. Все измерения проводятся на бесконечности, где имеется плоская фоновая метрика, и можно обычным образом интерпретировать малые флуктуации полей как частицы. При этом не стоит спрашивать, что же происходит в области взаимодействия посередине. Именно поэтому в интеграл по путям входят все возможные истории в области взаимодействия, а тем самым и все асимптотически евклидовы метрики.

Однако в космологии представляют интерес измерения, которые выполняются не на бесконечности, а в конечной области. Мы находимся внутри Вселенной, а не смотрим на нее снаружи. Чтобы увидеть, в чем здесь разница, сначала предпо-

92 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Рис. 5.1. При расчетах рассеяния мы измеряем характеристики частиц, приходящих и уходящих на бесконечность.

Таким образом мы хотим изучать асимптотически евклидовы метрики

ложим, что интеграл по путям в космологии берется по всем асимптотически евклидовым метрикам. Тогда в вероятности измерений в конечной области будут вноситься два вклада. Первый получается от связных асимптотически евклидовых метрик, второй — от несвязных метрик, которые состоят из компактного пространства-времени, содержащего область измерений, и отдельной асимптотически евклидовой метрики (рис. 5.2). Такие несвязные метрики не могут быть исключены из интеграла по путям по той причине, что их можно приближенно заменить на связные метрики, в которых различные компоненты соединены вместе тонкими трубками или воронками, дающими пренебрежимо малый вклад в действие. Несвязные компактные области пространства-времени не могут влиять на вычисление результатов рассеяния, поскольку они не связаны с бесконечностью, где производятся все измерения. Но они будут влиять на космологические измерения, которые производятся в конечной области. Действительно, вклад от таких несвязных метрик будет доминировать над вкладом от связных асимптотически евклидовых метрик. Поэтому, даже если рассматривать интеграл по путям в космологии по всем асимптотически евклидовым метрикам, эффект

Квантовая космология · 93

Рис. 5.2. Космологические измерения выполняются в конечной области, так что мы можем рассмотреть два типа асимптотически евклидовых метрик: связные (сверху) и несвязные (снизу)

будет почти такой же, как если бы интеграл по путям вычислялся по всем компактным метрикам. Следовательно, кажется более естественным брать интеграл по путям в космологии по всем компактным метрикам без границ, как это было предложено Джимом Хартлем и мной в 1983 г. (Хартль и Хокинг, 1983).

Предположение об отсутствии границ (Хартль и Хокинг).

Интеграл по путям в квантовой гравитации должен браться по всем компактным евклидовым метрикам.

94 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Можно перефразировать это утверждение так:

«Граничное условие для Вселенной состоит в том, что у нее нет границ».

В оставшейся части этой лекции я покажу, что это предположение об отсутствии границ у Вселенной учитывает существование той Вселенной, в которой мы живем, т. е. изотропность и однородность расширяющейся Вселенной с малыми возмущениями метрики. Мы можем наблюдать спектр и статистику этих возмущений, измеряя флуктуации микроволнового фона излучения. Эти результаты пока что согласуются с предсказаниями, полученными на основе предположения об отсутствии границ. Если бы удалось распространить наблюдения микроволнового фона на область меньших угловых масштабов, это стало бы реальной проверкой как этого предположения, так и всей программы евклидовой квантовой гравитации.

Чтобы получить предсказание, используя предположение об отсутствии границ, полезно ввести понятие, которое может описывать состояние Вселенной в данный момент времени. Рассмотрим вероятность того, что пространственно-временное многообразие Μ содержит вложенное трехмерное многообразие Σ с индуцированной метрикой h_ij. Эта вероятность дается интегралом по путям по всем метрикам g_ab на М, которые индуцируют h_ij на Σ.

Если предположить, что Μ односвязно, поверхность Σ будет делить Μ на две части М ⁺и М ^-(рис. 5.3). В этом случае вероятность того, что Σ имеет метрику h_ij, можно факторизовать, представив в виде произведения двух волновых функций . Они даются интегралами по путям по всем

метрикам на М ⁺и М ^-соответственно, которые индуцируют данную 3-метрику h_ij на Σ.

Квантовая космология · 95

Рис. 5.3. Поверхность Σ делит компактное односвязное многообразие Μ на две части М ⁺и М ^-

В большинстве случаев две волновые функции равны, и я буду опускать индексы (+) и (—). Функция называется волновой функцией Вселенной. Если существуют поля материи φ, волновая функция будет также зависеть от их значения φ ₀на Σ. Но она не будет явно зависеть от времени, потому что в замкнутой Вселенной не существует выделенной временной координаты. Предположение об отсутствии границ приводит к тому, что волновая функция Вселенной выражается интегралом по путям по полям на компактном многообразии М ⁺, единственной границей которого является Σ (рис. 5.4). Интеграл по путям берется по всем метрикам и полям материи на М ⁺, которые согласуются с метрикой h_ij и полями материи φ ₀на Σ.

Положение поверхности Σ можно описать с помощью функции τ от трех координат x_i на Σ. Но волновая функция, определенная интегралом по путям, не может зависеть от τ или от выбора координат ж,. Отсюда вытекает, что волновая

96 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Рис. 5.4. Волновая функция выражается с помощью интеграла по путям по М ⁺

функция должна удовлетворять четырем дифференциальным уравнениям. Три из этих уравнений называются условиями на импульс.

Уравнения, являющиеся условиями на импульс

Они выражают тот факт, что волновая функция должна быть одной и той же для различных 3-метрик h_ij, которые могут быть получены одна из другой с помощью преобразований координат x_i. Четвертое уравнение называется уравнением Уилера-де Витта.

Уравнение Уилера — де Витта

Оно соответствует независимости волновой функции от т. Можно воспринимать его как уравнение Шредингера для Вселенной. Но здесь отсутствует производная по времени, поскольку волновая функция не зависит от времени явно.

Квантовая космология · 97

Чтобы оценить волновую функцию Вселенной, можно, как и в случае черных дыр, использовать для вычисления интеграла по путям метод седловой точки. Находим евклидову метрику g ₀ на многообразии М ⁺, которая удовлетворяет уравнениям поля и индуцирует метрику h_ij на границе Σ. Тогда действие может быть разложено в степенной ряд вокруг фоновой метрики g ₀·

Как и раньше, линейные по возмущениям слагаемые исчезают в силу уравнений движения. Квадратичные слагаемые можно рассматривать как вклад в действие от гравитонов на фоне невозмущенной метрики, а члены более высокого порядка — как взаимодействие гравитонов. Если радиус кривизны фонового пространства велик по сравнению с длиной Планка, этим взаимодействием можно пренебречь. Следовательно,

Простой пример позволяет понять, на что похожа эта волновая функция. Рассмотрим ситуацию, когда нет полей материи, но существует положительная космологическая константа Λ. Выберем в качестве поверхности Σ 3-сферу, а в качестве метрики h_ij — соответствующую метрику 3-сферы радиусом а. Тогда многообразие М ⁺, ограниченное Σ, может быть выбрано как 4-шар. Метрика, которая удовлетворяет уравнениям поля, является частью 4-сферы радиусом  Тогда действие:

Для 3-сферы Σ радиусом меньше, чем —, существуют два воз-

£1

можных евклидовых решения: М ⁺может быть либо меньше, чем полусфера, либо больше (рис. 5.5). Однако существуют аргументы, показывающие, что нужно выбирать решение, в котором М ⁺меньше, чем полусфера.

98 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Рис. 5.5. Два возможных евклидовых решения М ⁺с границей Σ и соответствующие им действия

Следующий рисунок (рис. 5.6) показывает вклад в волновую функцию от действия для метрики g ₀. Когда радиус Σ меньше, чем, волновая функция экспоненциально растет

как c ^{a^2}. Однако, когда а больше, чем , можно аналитически продолжить результат на меньшие а и получить быстро осциллирующую волновую функцию.

Рамка 5.А. Метрика Лоренца — де Ситтера

Можно интерпретировать эту волновую функцию следующим образом. Решением уравнений Эйнштейна в реальном времени с учетом Λ-члена и с максимальной симметрией

Квантовая космология · 99

Рис. 5.6. Волновая функция как функция радиуса пространства Σ

является пространство де Ситтера. Оно может быть вложено как гиперболоид в пятимерное пространство Минковского (см. рамку 5.А). Можно представлять его как замкнутую Вселенную, которая сначала сжимается от бесконечности до некоторого минимального радиуса, а затем вновь экспоненциально расширяется. Метрика может быть записана в виде фридмановской Вселенной с масштабным множителем ch(Ht). Замена τ = it превращает ch в обычный cos, что дает евклидову метрику на 4-сфере радиусом (см. рамку 5.Б). Так мы приходим к мысли, что волновая функция, которая меняется экспоненциально с 3-метрикой h_ij, соответствует евклидовой метрике в мнимом времени. С другой стороны, быстро осциллирующая волновая функция соответствует лоренцевской метрике в реальном времени.

100 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Рамка 5.Б. Евклидова метрика

Как и в случае рождения пар черных дыр, можно описать спонтанное рождение экспоненциально расширяющейся Вселенной. Соединим нижнюю половину евклидовой 4-сферы с верхней половиной лоренцевского гиперболоида (рис. 5.7). В противоположность рождению пары черных дыр, здесь нельзя сказать, что вселенная де Ситтера была создана из энергии поля в существовавшем до этого пространстве. Действительно, она в буквальном смысле слова родилась из ничего — не из вакуума, но абсолютно из ничего, потому что вне Вселенной ничего не существует. В евклидовом режиме вселенная де Ситтера является замкнутым пространством, подобно поверхности Земли, но с вдвое большим количеством размерностей. Если космологическая постоянная мала по сравнению с планковским значением, кривизна евклидовой 4-сферы будут малой. Это означает, что приближение седловой точки для интеграла по путям будет хорошим, и на вычисление волновой функции Вселенной не будет влиять то, что мы игнорируем все происходящее при больших кривизнах.

Можно также решить уравнение поля для граничных метрик, которые не являются точными метриками сферы. Если радиус сферы меньше, чем , решением является действительная евклидова метрика. Действие будет действительным, и волновая функция будет экспоненциально затухать по сравнению с 3-сферой того же объема. Если радиус 3-сферы больше, чем этот критический радиус, возникнут два комплексно-со-

Квантовая космология · 101

Рис. 5.7. Туннелирование, которое приводит к расширяющейся Вселенной, описывается объединением половины евклидова решения с половиной лоренцевского решения

пряженных решения, и волновая функция будет быстро осциллировать при малых изменениях h_ij.

Любое измерение, сделанное в космологии, может быть сформулировано в терминах волновой функции. Поэтому предположение об отсутствии границ превращает космологию в науку, поскольку позволяет предсказывать результат любого эксперимента. Случай, который мы рассматривали, включал только космологическую константу и не учитывал наличие полей материи, что не соответствует той Вселенной, в которой мы живем. Тем не менее, это полезный пример, поскольку, во-первых, это простая модель, которую можно явно решить, и, во-вторых, поскольку такая ситуация, по-видимому, соответствует ранним стадиям эволюции Вселенной.

Хотя это и не совсем очевидно из волновой функции, но термодинамические свойства вселенной де Ситтера подобны черным дырам. Это можно увидеть, если записать метрику де Ситтера не в виде, аналогичном решению Шварцшильда, а в статическом виде (см. рамку 5.В). Здесь имеется кажущаяся сингулярность при . Однако, как и в решении Шварцшильда, ее можно удалить с помощью координатных преобразований и она соответствует горизонту событий. Это можно увидеть на диаграмме Картера-Пенроуза, имеющей форму

102 · Глава 5 — Стивен Хокинг

квадрата. Пунктирная вертикальная линии слева представляет центр сферической симметрии, где радиус r 2-сферы стремится к нулю. Другой центр сферической симметрии представлен пунктирной линией справа. Горизонтальные линии сверху и снизу представляют бесконечности прошлого и будущего, которые в этом случае пространственноподобны. Диагональная линия от левого верха до правого низа является границей прошлого для наблюдателя, находящегося в левом центре симметрии. Поэтому диагональ можно считать его горизонтом событий. Однако наблюдатель, мировые линии которого заканчиваются в других местах бесконечности будущего, будут иметь другой горизонт событий. Поэтому горизонты событий в пространстве де Ситтера являются персональным делом наблюдателей.

Рамка 5.В. Статическая форма метрики де Ситтера

Если вернуться к статическому виду метрики де Ситтера и положить τ = it, получим евклидову метрику. На горизонте существует кажущаяся сингулярность, однако, определяя

Квантовая космология · 103

новую радиальную координату и идентифицируя τ с периодом , можно получить регулярную евклидову метрику, которая является просто 4-сферой. Поскольку координата мнимого времени периодична, пространство де Ситтера и все квантовые поля в нем будут вести себя так, как если бы они находились при температуре . Как мы увидим, наличие этой

температуры можно наблюдать по флуктуациям микроволнового излучения. Рассуждения, аналогичные проведенным для случая черных дыр, применимы и к действию для решения Евклида-де Ситтера. Можно показать, что оно обладает внутренней энтропией , что равно площади горизонта событий.

Таким образом, энтропия опять появляется по топологическим причинам: эйлерова характеристика 4-сферы равна двум. Это означает, что в пространстве Евклида-де Ситтера не может существовать глобальной временной координаты. Космологическую энтропию можно интерпретировать как отражение недостатка знаний наблюдателя о Вселенной вне его горизонта событий.

Пространство де Ситтера все-таки является плохой моделью Вселенной, в которой мы живем, потому что оно пусто и экспоненциально расширяется. В нашей Вселенной мы наблюдаем материю, а из излучений микроволнового фона и распространенности легких элементов можем заключить, что Вселенная в прошлом была значительно горячее и плотнее. Простейшая схема, которая согласуется с наблюдениями, носит название модели «горячего Большого взрыва» (рис. 5.8). По этому сценарию Вселенная началась с сингулярности, заполненной излучением при бесконечной температуре. По мере расширения излучение остывало и плотность его энергии пада-

Евклидова метрика периодична с периодом

104 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Рис. 5.8. Радиус и температура Вселенной как функция времени в модели горячего Большого взрыва

ла. В конце концов плотность энергии излучения стала меньше, чем плотность нерелятивистского вещества, и расширение стало определяться веществом. Однако мы можем наблюдать остатки излучения в виде фона микроволнового излучения при температуре, на 3 К выше абсолютного нуля.

Недостаток модели горячего Большого взрыва — тот же, что и у всей космологии, не имеющей теории начальных условий: модель не имеет предсказательной силы. Поскольку в сингулярности нарушается общая теория относительности, из Большого взрыва может появиться что угодно. Так почему же Вселенная так однородна и изотропна в больших масштабах и в то же время имеет локальные неоднородности вроде звезд и галактик? И почему она так близка к состоянию, разделяющему обратный коллапс и бесконечное расширение? Чтобы находиться так близко к этому состоянию, как мы сейчас, скорость расширения в ранние моменты должна быть подобрана с фантастической точностью. Если бы скорость расширения через 1 с после Большого взрыва была меньше всего на одну часть из 10¹⁰, то Вселенная снова сколлапсировалась бы через несколько миллионов лет. Если бы скорость расширения была больше на одну часть из 10¹⁰, то Вселенная через несколько миллионов лет была бы просто пуста. В любом случае, у нее не оставались бы времени, достаточного для развития жизни. Тогда либо приходится обращаться к антропному принципу,

Квантовая космология · 105

либо искать физические объяснения того, почему Вселенная такая, какой мы ее видим.

Горячая модель Большого взрыва не может объяснить, почему:
1. Вселенная почти однородна и изотропна, но имеет малые возмущения плотности.
2. Вселенная расширяется со скоростью, почти точно совпадающей с критической, скоростью, позволяющей избежать обратного коллапсирования.

Некоторые ученые считают, что так называемая инфляция избавляет от необходимости построения теории начальных условий. Идея состоит в том, что Вселенная может начаться с Большого взрыва в почти любом состоянии. В тех частях Вселенной, где были подходящие условия, существовал период экспоненциального расширения, который и называется инфляцией. Инфляция не только может увеличить размер этой области на чудовищный множитель порядка 10³⁰ и более, но она также может сохранить однородность и изотропию этой области, которая, чтобы избежать повторного коллапса, расширяется точно с критической скоростью. Утверждается, что разумная жизнь может возникнуть только в тех областях, где происходила инфляция. Следовательно, мы не должны особенно удивляться тому, что наша область однородна и изотропна, и расширяется именно с критической скоростью.

Однако сама по себе инфляция не может объяснить сегодняшнего состояния Вселенной. Это можно увидеть, выбрав произвольное состояние для Вселенной сейчас и обратив эволюцию во времени. Если считать, что Вселенная заполнена достаточным количеством материи, то в силу теорем о сингулярностях должна была существовать сингулярность в прошлом. Можно считать, что начальные условия для Вселенной в момент Большого взрыва совпадают с начальными условиями для такой модели. Таким образом, можно показать, что произвольные начальные условия в момент Большого взрыва могут привести к любому состоянию в настоящий момент времени. Однако мы не можем утверждать, что большинство

106 · Глава 5 — Стивен Хокинг

начальных состояний приводят к состоянию, которое сегодня наблюдается: естественная мера обоих типов начальных условий, как тех, которые приводят к Вселенной, подобной нашей, так и тех, которые не приводят, равна бесконечности. Поэтому мы не можем утверждать, что одна мера больше другой.

С другой стороны, мы видели, что в случае гравитации с космологической постоянной и при отсутствии полей материи условие отсутствия граничных условий может привести к Вселенной, которая является предсказуемой в рамках квантовой теории. К сожалению, эта частная модель не описывает Вселенную, в которой мы живем, которая заполнена материей и в которой космологическая постоянная равна нулю или очень мала. Однако можно получить более реалистическую модель, опустив космологическую постоянную и включив поля материи. В частности, похоже, что нужно иметь во Вселенной скалярное поле φ с потенциалом V (φ). Я буду предполагать, что V имеет минимальное значение, равное нулю при φ = 0. Простым примером является потенциал массивного скалярного поля (рис. 5.9).

Тензор энергии-импульса скалярного поля

Из тензора энергии-импульса нетрудно видеть, что если градиент φ мал, то V (φ)эффективно эквивалентен космологической постоянной.

Волновая функция будет зависеть теперь от значения φ ₀ поля φ на Σ, а также от индуцированной метрики h_ij. Можно решить уравнение поля для малых сферических метрик 3-сфе-ры и больших значениях φ ₀. Решение с такой границей является приближенно частью 4-сферы с постоянным полем φ. Ситуация подобна случаю де Ситтера с потенциалом V (φ ₀), играющим роль космологической постоянной. Аналогично, если радиус а 3-сферы чуть больше, чем радиус евклидовой 4-сферы, существуют два комплексно-сопряженных решения. Они будут подобны половине евклидовой 4-сферы, соединенной с ре-

Квантовая космология · 107

Рис. 5.9. Потенциал массивного скалярного поля

шением Лоренца-де Ситтера при наличии почти постоянного поля φ. Следовательно, предположение об отсутствии границ предсказывает спонтанное рождение экспоненциально расширяющейся Вселенной, как в случае де Ситтера.

Рассмотрим эволюцию такой модели. В противоположность случаю де Ситтера, она не будет экспоненциально расширяться бесконечно долго. Скалярное поле будет понижать величину потенциала V к минимуму при φ = 0. Однако если начальное значение φ больше, чем значение Планка, скорость скатывания будет мала по сравнению с характерным временем расширения. Поэтому Вселенная экспоненциально расширится во много раз. Когда скалярное поле станет порядка единицы, оно начнет осциллировать вокруг φ = 0. Для большинства потенциалов V осцилляции будут более быстрыми по сравнению со временем расширения. Естественно предположить, что при таких осцилляциях энергия поля 10 будет излучаться в виде рождения пар частиц и тем самым нагревать Вселенную. Однако этот процесс зависит от предположений относительно стрелы времени. Я вскоре вернусь к этому вопросу.

Экспоненциальное расширение во много раз почти точно приводит к критической скорости расширения Вселенной. Предположение об отсутствии границ может объяснить, почему скорость расширения Вселенной до сих пор так близка к критической. Чтобы увидеть, что оно предсказывает для однородной и изотропной Вселенной, можно рассмотреть 3-мет-рики h_ij, которые являются возмущениями метрики 3-сферы.

108 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Это возмущение может быть разложено по сферическим гармоникам, которые могут быть трех видов: скалярные, векторные и тензорные. Векторные гармоники в точности соответствуют изменениям координат x в последовательных 3-сферах и не играют динамической роли. Тензорные гармоники соответствуют гравитационным волнам в расширяющейся Вселенной, в то время как скалярные гармоники частично связаны с произволом в выборе координат и частично с флуктуациями плотности. _________________________________________

Тензорные гармоники — гравитационное поле

Векторные гармоники — калибровка

Скалярные гармоники — флуктуации плотности

Можно записать волновую функцию  как произведение волновой функции для метрики 3-сферы радиуса а на волновые функции для коэффициентов гармоник:

Уравнение Уилера-де Витта для волновой функции может быть разложено во всех порядках по радиусу α и по среднему скалярному полю но только в первом порядке по возмущениям. Тогда можно получить последовательность уравнений Шредингера для скорости изменения возмущения волновых функций относительно временной координаты фоновой метрики.

Уравнения Шредингера

Можно использовать условие отсутствия границ для получения начальных условий для возмущенных волновых функций. Решим уравнение поля для малых, но слегка возмущенных 3-сфер. Это дает возмущенную волновую функцию в период экспоненциального расширения. После этого можно проследить за ее изменением, используя уравнение Шредингера

Квантовая космология · 109

Проще всего рассмотреть тензорные гармоники, соответствующие гравитационным волнам. У них нет каких-либо калибровочных степеней свободы, и они не могут непосредственно взаимодействовать с возмущениями материи. Можно использовать условие отсутствия границ для того, чтобы найти начальные волновые функции коэффициентов d_n тензорных гармоник в возмущенной метрике.

Основное состояние

Если это проделать, то получим волновую функцию основного состояния гармонического осциллятора с частотой гравитационных волн. По мере расширения Вселенной эта частота будет падать. Пока частота существенно больше, чем скорость расширения уравнение Шредингера позволяет волновой функции адиабатически релаксировать, и мода остается в основном состоянии системы. В конце концов, однако, частота станет меньше, чем скорость расширения, которая приближенно постоянна в период экспоненциального расширения. Когда это произойдет, уравнение Шредингера не сможет достаточно быстро изменять волновую функцию так, чтобы она оставалась в основном состоянии, в то время как частота меняется. Вместо этого волновая функция «замораживается», сохраняя ту форму, которую имела на момент, когда частота стала меньше скорости расширения.

После окончания эры экспоненциального расширения скорость расширения будет уменьшаться быстрее, чем частота моды. Это эквивалентно утверждению, что горизонт событий наблюдателя, являющийся обратной величиной к скорости расширения, увеличивается быстрее, чем длина волны волновой функции. Таким образом, длина волны станет больше, чем горизонт событий в период инфляции, а позднее снова станет меньше горизонта событий (рис. 5.10). Когда это происходит, волновая функция будет оставаться такой же, как в тот момент, когда она «замораживается». Однако частота при этом

110 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Рис. 5.10. Длина волны и радиус горизонта как функции времени в период инфляции

будет значительно ниже. Волновая функция при этом будет соответствовать скорее не основному, а некоторому возбужденному состоянию, как это было в момент «замораживания». Эти квантовые возбуждения мод гравитационных волн приводят к угловым флуктуациям микроволнового фона, амплитуда которых определяется скоростью расширения (в единицах Планка) в момент «замораживания» волновой функции. Таким образом, наблюдения космической лаборатории СОВЕ, зарегистрировавшей флуктуации микроволнового фона порядка одной части на 10⁵, дают верхний предел около 10^-10 для плотности энергии в единицах Планка для момента, когда волновая функция была «заморожена». Это достаточно мало для того, чтобы считать сделанные мною приближения оправданными.

Однако тензорные гармоники гравитационных волн дают только верхний предел плотности на момент «замораживания». Причина плохой точности в том, что в микроволновом фоне скалярные гармоники имеют б о льшие флуктуации. Существуют две степени свободы для скалярных гармоник в 3-метри-ке h_ij, и одна — в скалярном поле. Однако две из этих скаляр-

Квантовая космология · 111

ных степеней свободы связаны с произволом в выборе координат. Поэтому существует только одна физическая скалярная степень свободы, которая соответствует возмущениям плотности.

Анализ скалярных возмущений похож на тот, который был сделан для тензорных гармоник, если использовать один выбор координат для периода до «замораживания» волновой функции и другой — после него. При переходе от одной системы координат к другой амплитуды умножаются на множитель, равный скорости расширения, деленной на среднюю скорость изменения 10. Этот множитель будет зависеть от крутизны потенциала, но для разумных потенциалов он по меньшей мере равен десяти. Это означает, что флуктуации в микроволновом фоне, обусловленные возмущениями плотности, будут по меньшей мере в десять раз больше, чем те, которые обусловлены гравитационными волнами. Тогда верхний предел для плотности энергии в момент «замораживания» будет составлять около 10^-12 плотности Планка. Это значение хорошо укладывается в рамки использованного приближения. Таким образом, похоже, что мы не нуждаемся в теории струн даже для момента рождения Вселенной.

Спектр флуктуаций по угловым масштабам согласуется, в пределах точности имеющихся наблюдений, с предсказанием, что он не должен зависеть от масштаба. Размер возмущений плотности как раз такой, какой необходим для объяснения формирования галактик и звезд.

Поэтому возможно, что предположение об отсутствии границ может объяснить всю структуру Вселенной, включая маленькие неоднородности вроде нас самих.

112 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Рис. 5.11. Наблюдатель может видеть только часть любой поверхности Σ

Можно считать, что возмущения в микроволновом фоне появляются из-за тепловых флуктуаций в скалярном поле 10. Инфляционный период имеет температуру, равную скорости расширения, деленную на 2 π, поскольку он приближенно периодичен во мнимом времени. В этом смысле нам нет нужды искать маленькие первичные черные дыры: мы уже наблюдали внутреннюю гравитационную температуру порядка 10²⁶ градусов или 10^-6 от планковской температуры.

Что можно сказать о внутренней энтропии, связанной с космологическим горизонтом событий? Можем ли мы это наблюдать? Я думаю — можем, и это соответствует тому факту, что объекты, подобные звездам и галактикам, являются классическими объектами, даже если они образованы за счет квантовых флуктуаций. Если рассмотреть Вселенную на пространственноподобной поверхности Σ, которая покрывает всю Вселенную в некоторый момент времени, то она будет находиться в чистом квантовом состоянии, описываемом волновой функцией . Однако мы никогда не можем видеть больше, чем половину Σ, и нам полностью неизвестно то, на что похожа Вселенная вне нашего светового конуса прошлого. Это означа-

Квантовая космология · 113

ет, что при вычислении вероятности наблюдений, мы должны просуммировать по всем возможностям для той части Σ, которую мы не видим (рис. 5.11). Результатом суммирования является переход той части Вселенной, которую мы наблюдаем от чистого квантового состояния к тому, что называется смешанным состоянием, т. е. статистическому ансамблю различных возможностей. Такая декогерентность, как ее называют, необходима, если система должна вести себя не как квантовая, а скорее как классическая. Обычно ученые пытаются учесть декогерентность за счет взаимодействия с внешней системой, которая не может быть измерена, такой как термостат. В случае Вселенной нет внешних систем, но я высказываю гипотезу, что причина, по которой мы наблюдаем классическое поведение Вселенной, состоит в том, что мы видим только часть Вселенной. Можно подумать, что в более поздние времена появится возможность увидеть Вселенную целиком и горизонт событий исчезнет. Но это не так. Предположение об отсутствии границ требует, чтобы Вселенная была пространственно замкнута. Замкнутая Вселенная снова коллапсирует до того, как наблюдатель сможет увидеть всю Вселенную. Я пытался показать, что энтропия такой Вселенной будет равна четверти площади горизонта событий в момент максимального расширения (рис. 5.12). Однако в данный момент у меня, кажется, получается коэффициент не . Очевидно, либо я на ложном пути, либо что-то пропустил.

Я хочу закончить эту лекцию обсуждением вопроса, на который Роджер и я смотрим очень по-разному, а именно вопроса о стреле времени. В нашей части Вселенной существует очень ясное различие между направлением времени вперед и назад. Стоит только прокрутить фильм назад, чтобы увидеть разницу. Вместо чашки, падающей со стола и разбивающейся вдребезги, мы увидим, как осколки собираются в чашку, которая прыгает на стол. Если бы реальная жизнь походила на это!

Локальные законы, которым подчиняются физические поля, симметричны по времени, или более точно, СРТ инвариантны. Тогда наблюдаемая разница между прошлым и будущим должна возникать из граничных условий для Вселенной. Пред-

114 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Рис. 5.12. До того, как наблюдатель сможет увидеть Вселенную целиком, она сколлапсирует к конечной сингулярности

положим, что Вселенная пространственно замкнута, расширяется до максимального размера и снова коллапсирует. Как подчеркивал Роджер, Вселенная будет очень разной на этих двух отрезках своей истории. В момент, который мы называем началом Вселенной, она, кажется, была гладкой и регулярной. Однако мы ожидаем, что когда она снова начнет коллапсировать, она будет чрезвычайно нерегулярной и неупорядоченной. Поскольку существует намного больше неупорядоченных конфигураций, чем упорядоченных, то начальные условия должны быть выбраны с невероятной точностью.

Следовательно, кажется, что на двух границах по времени должны существовать различные граничные условия. Предложение Роджера состояло в том, что на одной границе тензор Вейля должен быть нулевым, а на другой — нет.

Вейлевский тензор является той частью кривизны пространства-времени, которая не определяется локально материей через уравнение Эйнштейна. Он был бы мал на гладких,