Природа пространства и времени

ПРИРОДА ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ

Перевод с английского

А. В. Беркова, В. Г. Лебедева

Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»

Удмуртский государственный университет

2000

УДК 530.1

Хокинг С, Пенроуз Р.

Природа пространства и времени. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 160 стр.

Основное содержание книги состоит из шести лекций, предваряющих дискуссию, и изложение самой дискуссии, прошедшей между Хокингом и Пенроузом по некоторым наиболее фундаментальным вопросам, связанным с природой Вселенной. К этим вопросам можно отнести «стрелу времени», начальные условия рождения Вселенной, поглощение информации черными дырами и др. Дискуссия в значительной мере является продолжением сольвеевского спора Бора и Эйнштейна по основам квантовой механики.

Для широкой аудитории читателей, интересующихся проблемами современной физики и космологии.

ISBN 5-93972-003- Х

All right reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission in writing from the Publisher.

© Удмуртский государственный университет, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000

http://www. г cd.com.ru

 

Электронное оглавление

Электронное оглавление. 3

Содержание. 6

Предисловие. 7

Благодарности. 7

Глава 1. Классическая теория. Стивен Хокинг. 8

Рис. 1.1. Хронологическое будущее для точки p. 9

Рис. 1.2. Границы хронологического будущего не могут быть времениподобными или пространственноподобными. 10

Рис. 1.3. Вверху: точка q лежит на границе будущего, так что существует нулевой геодезический сегмент на границе, который проходит через q. 11

Рис. 1.4. При удалении линии из пространства Минковского, граница будущего для множества 5 будет иметь генератор, у которого нет конечных точек в прошлом.. 12

Рис. 1.5. Пересечение прошлого для q и будущего для p имеет компактное замыкание 12

Рис. 1.6. Семейство поверхностей Коши для U.. 13

Рис. 1.7. В глобально гиперболическом пространстве существует геодезическая максимальной длины, соединяющая любую пару точек, которые могут быть соединены времениподобной или нулевой кривой 13

Рис. 1.8. 14

Уравнение Эйнштейна. 14

Слабое энергетическое условие. 14

Сильное энергетическое условие. 15

Рис. 1.9. Точка q является сопряженной к р вдоль нулевых геодезических, так что нулевая Геодезическая γ, которая соединяет р с q, будет покидать границу будущего точки р в точке q. 15

Общее энергетическое условие: 16

Определение сингулярностей. 16

Рис. 1.10. На нормальной замкнутой поверхности выходящие с поверхности нулевые лучи расходятся, в то время как входящие лучи сходятся. 17

Теоремы о сингулярностях: 17

Рис. 1.11. Эволюция Коши D ⁺(S)в будущее для множества S и ее граница в будущем — горизонт Коши H ⁺(S) 18

Рис. 1.12. На горизонте Коши существует предельная нулевая геодезическая λ, не имеющая конечных точек в прошлом или будущем на горизонте Коши. 19

Рис. 1.13-14. 20

Космическая цензура. 21

Рис. 1.15. Коллапсирующая звезда, конформно вложенная в многообразие с границей 21

Слабая космическая цензура. 22

Рис. 1.16. Когда мы бросаем материю в черную дыру или разрешаем двум черным дырам сливаться, общая площадь горизонта событий никогда не убывает. 22

Рис. 1.17. Черная дыра в контакте с тепловым излучением будет поглощать часть излучения, но не может классически излучать его наружу. 23

Рис. 1.18. 24

Глава 2. Структура пространственно-временных сингулярностей. Р. Пенроуз 24

Рис. 2.1. Облако пыли, коллапсирующее по Оппенгеймеру — Снайдеру, иллюстрирующее ловушечную поверхность. 25

Рис. 2.2. Множество прошлого, СНП, ННП.. 26

Рис. 2.3. Соотношения причинности между различными НП: 28

Рис. 2.4. Эффекты ускорения из-за наличия пространственновременной кривизны: 28

Гипотеза вейлевской кривизны. 29

Рис. 2.5. Гипотеза вейлевской кривизны: первоначальные сингулярности (Большой взрыв) ограничены условиями обращения в нуль вейлевской кривизны, в то время как для конечных сингулярностей следует ожидать расходимости вейлевской кривизны.. 29

Вопросы и ответы.. 30

Глава 3. Квантовые черные дыры. Стивен Хокинг. 30

Рис. 3.1. Пространственно-временная картина коллапса звезды с образованием черной дыры. Показан горизонт событий и замкнутая ловушечная поверхность. 31

Теорема об отсутствии волос. 32

Рис. 3.2. Диаграмма Картера —Пенроуза для пространства Минковского. 33

Рис. 3.3. Диаграмма Картера-Пенроуза для звезды, которая коллапсирует с образованием черной дыры 34

Тепловое излучение черной дыры. 35

Метрика Шварцшильда. 35

Рис. 3.4. Диаграмма Картера —Пенроуза для вечно существующей шварцшильдовской черной дыры 35

Рис. 3.5. Евклидово —шварцшильдовское решение, в котором τ выбрано периодическим 36

Рис. 3.6. Амплитуда перехода из состояния φ ₁в момент времени t ₁ в состояние φ ₂,заданное в момент времени t ₂ 37

Рис. 3.7. Статистическая сумма при температуре T может быть представлена как интеграл по путям по всем полям в евклидовом пространстве-времени с периодом β = Т~ по мнимому времени. 38

Рис. 3.8. Бесконечно удаленная граница для евклидово-шварцшильдовского решения 39

Рис. 3.9. Действие для периодически отождествленного евклидового плоского пространства равно Μ (τ ₂ — τ ₁) 40

Рис. 3.10. Полное действие для евклидово-шварцшильдовского действия равное , без учета вклада от угла для r = 2 M... 41

Рис. 3.11. В евклидовом пространстве электрон в электрическом поле движется по окружности. 43

Рис. 3.12. Рождение пар может быть описано объединением половины диаграммы в евклидовом пространстве с половиной диаграммы в пространстве Минковского. 44

Рис. 3.13. Пара противоположно заряженных черных дыр ускоряется в противоположных направлениях магнитным полем.. 45

Рис. 3.14. Заряженная черная дыра, движущаяся по окружности в евклидовом пространстве 45

Рис. 3.15. Туннелирование приводит к появлению пары черных дыр, что может быть также описано половиной евклидовой диаграммы и половиной лоренцевской диаграммы.. 45

Рис. 3.16. Пара черных дыр, рождающихся за счет туннелирования, в конечном счете аннигилирует вновь за счет туннелирования. 47

Рис. 3.17. 48

Глава 4. Квантовая теория и пространство-время. Р. Пенроуз. 49

Рис. 4.1. Великие физические теории ХХ столетия и их фундаментальные проблемы 49

Рис. 4.2-3. Диаграмма Картера. 50

Рис. 4.4. В присутствии черной дыры происходит уменьшение объема фазового пространства. 51

Рис. 4.5. Простой эксперимент, который иллюстрирует, что квантовые вероятности, свойственные R, не применимы при обращении направления времени. 52

(4.1) 53

(4.2) 53

(4.3) 54

Рис. 4.6. Шредингеровский кот (1) и более гуманистическая реализация того же эксперимента (2) 55

(4.4) 55

Вопросы и ответы.. 55

Глава 5. Квантовая космология. Стивен Хокинг. 56

Два естественных выбора для интеграла по путям в квантовой гравитации. 57

Рис. 5.1. При расчетах рассеяния мы измеряем характеристики частиц, приходящих и уходящих на бесконечность. 57

Рис. 5.2. Космологические измерения выполняются в конечной области, так что мы можем рассмотреть два типа асимптотически евклидовых метрик: связные (сверху) и несвязные (снизу) 58

Предположение об отсутствии границ (Хартль и Хокинг). 58

Рис. 5.3. Поверхность Σ делит компактное односвязное многообразие Μ на две части М ⁺и М ^- 59

Рис. 5.4. Волновая функция выражается с помощью интеграла по путям по М ⁺. 60

Уравнения, являющиеся условиями на импульс. 60

Уравнение Уилера — де Витта. 60

Рис. 5.5. Два возможных евклидовых решения М ⁺с границей Σ и соответствующие им действия 61

Рамка 5.А. Метрика Лоренца — де Ситтера. 61

Рис. 5.6. Волновая функция как функция радиуса пространства Σ.. 62

Рамка 5.Б. Евклидова метрика. 62

Рис. 5.7. Туннелирование, которое приводит к расширяющейся Вселенной, описывается объединением половины евклидова решения с половиной лоренцевского решения. 63

Рамка 5.В. Статическая форма метрики де Ситтера. 64

Рис. 5.8. Радиус и температура Вселенной как функция времени в модели горячего Большого взрыва 66

Тензор энергии-импульса скалярного поля. 67

Рис. 5.9. Потенциал массивного скалярного поля. 67

Уравнения Шредингера. 68

Основное состояние. 68

Рис. 5.10. Длина волны и радиус горизонта как функции времени в период инфляции 69

Рис. 5.11. Наблюдатель может видеть только часть любой поверхности Σ.. 70

Рис. 5.12. До того, как наблюдатель сможет увидеть Вселенную целиком, она сколлапсирует к конечной сингулярности. 71

Рис. 5.13. Использование гипотезы о тензоре Вейля для различных двух временных концов Вселенной 73

Рис. 5.14. Половина евклидовой 4-сферы, соединенная с малой лоренцевской областью 74

Рис. 5.15. Половина евклидовой 4-сферы, соединенная с лоренцевской областью, которая расширяется до максимального радиуса, а затем снова сжимается. 75

Глава 6. Твисторный взгляд на пространство-время. Р. Пенроуз. 76

Классичность кошек. 76

Гипотеза вейлевской кривизны (ГВК). 76

Твисторы и твисторные пространства. 77

Рис. 6.1. Сфера Римана, представляющая все комплексные числа вместе с бесконечно удаленной точкой ∞ 77

Рис. 6.2. Пространством направлений спина для частицы со спином ¹/₂ является сфера Римана отношения амплитуд z/ w, где го — амплитуда того, что спин находится в состоянии «вверх», а z —спин «вниз» 78

Рис. 6.3. Небесная сфера наблюдателя в общей теории относительности является естественной сферой Римана 79

Рис. 6.4. На основе твисторного соответствия, световые лучи в пространстве-времени (Минковского) представляются точками в (проективном) твисторном пространстве. 79

(6.1) 80

Квантованные твисторы.. 80

Рис. 6.5. Конструкция нелинейного гравитона. 83

Твисторная космология. 83

Глава 7. Обсуждение. С. Хокинг и Р. Пенроуз. 85

Стивен Хокинг. 85

Рис. 7.1. Ящик, содержащий заданное количество энергии, будет содержать либо только тепловое излучение, либо черную дыру, находящуюся в тепловом равновесии с излучением.. 87

Рис. 7.2. Черная дыра, появляющаяся и исчезающая за счет тепловых флуктуаций. 88

Рис. 7.3. Появление и исчезновение белой дыры за счет тепловых флуктуаций. 89

Ответ Роджера Пенроуза. 89

Коты и прочее. 89

Виковский поворот. 90

Потеря фазового пространства. 90

Стивен Хокинг. 91

Рис. 7.4. В процессе туннелирования к коллапсирующей 3-геометрии евклидово сечение определяет амплитуду волновой функции для 3-геометрии, в то время как лоренцевское сечение — ее фазу. 92

Рис. 7.5. Диаграммы Картера-Пенроуза для черной и белой дыр. 93

Ответ Роджера Пенроуза. 93

Вопросы и ответы.. 94

Литература. 95

 

Содержание

Предисловие........................ 6

Благодарности....................... 8

Глава 1. Стивен Хокинг. Классическая теория.... 9

Глава 2. Роджер Пенроуз. Структура пространственно-временных сингулярностей........... 36

Глава 3. Стивен Хокинг. Квантовые черные дыры. 48

Глава 4. Роджер Пенроуз. Квантовая теория и пространство-время.................... 75

Глава 5. Стивен Хокинг. Квантовая космология... 89

Глава 6. Роджер Пенроуз. Твисторный взгляд на пространство-время.....................120

Глава 7. Стивен Хокинг и Роджер Пенроуз. Обсуждение 138 Литература.........................157

Предисловие

Дискуссия между Роджером Пенроузом и Стивеном Хокингом, представленная в этой книге, явилась вершиной шестимесячной программы, проведенной в 1994 году в Институте математических наук имени Исаака Ньютона при Кембриджском университете. Дискуссия посвящена серьезному обсуждению некоторых наиболее фундаментальных идей, касающихся природы Вселенной. Излишне говорить, что мы пока еще далеки от конца пути. До сих пор существует множество неясных и спорных моментов и вопросов для обсуждения.

Около 60 лет назад произошел знаменитый продолжительный спор между Нильсом Бором и Альбертом Эйнштейном по основам квантовой механики. Эйнштейн отказался принять точку зрения, согласно которой квантовая механика является окончательной теорией. Считая ее философски неадекватной, он начал упорную борьбу против ортодоксальной интерпретации копенгагенской школы, которой придерживался Бор.

В определенном смысле дискуссия между Пенроузом и Хокингом является продолжением этого давнего спора, с той разницей, что роль Эйнштейна играет Пенроуз, а роль Бора — Хокинг. Обсуждаемые вопросы стали сложнее и разнообразнее, но, как и раньше, они представляют комбинацию технических рассуждений и философских точек зрения.

Квантовая теория или ее более утонченная версия — квантовая теория поля в настоящий момент является наиболее продвинутой и технически очень успешной, несмотря на то, что существуют такие философски настроенные скептики, как Роджер Пенроуз. Общая теория относительности, т.е. эйнштейновская теория гравитации, также выдержала проверку временем и может претендовать на замечательный успех, хотя

Предисловие · 7

в ней до сих пор существуют серьезные проблемы, касающиеся роли сингулярностей и черных дыр.

В дискуссии Хокинга и Пенроуза доминирует обсуждение вопроса о том, как построить теорию «квантовой гравитации», комбинируя эти две успешные теории. «Квантовая гравитация» имеет глубокие концептуальные и технические проблемы, которые обеспечивают необходимый простор для аргументов, приводимых в этих лекциях.

Обсуждаемые фундаментальные вопросы включают в себя «стрелу времени», начальные условия при рождении Вселенной и механизм поглощения информации черными дырами. По всем этим, а так же многим другим вопросам позиции Хокинга и Пенроуза несколько различаются. Их доводы как математически, так и физически корректны, а форма обсуждения позволяет разумным образом обмениваться критическими замечаниями.

Хотя некоторые из обсуждаемых вопросов требуют понимания математики и физики на технически продвинутом уровне, б о льшая часть рассуждений проводится на более высоком (или более глубоком) уровне, представляющем интерес для широкой аудитории. По крайней мере, читатель получит представление о масштабности и тонкости идей, обсуждаемых в книге, а также о громадном вызове, который стоит перед современной наукой в достижении согласованной картины Вселенной, полностью учитывающей как законы гравитации, так и квантовую теорию.

Майкл Атья.

Благодарности

Авторы, издатель, Институт по математическим наукам имени Исаака Ньютона выражают глубокую признательность тем людям, которые помогли подготовке серии лекций и книги: Мэтьюзу Р. Габердилу, Саймону Джиллу, Джонатану В. Роджерсу, Дэниэлу Р. Д. Скотту, Полу А. Шаку.

Глава 1. Классическая теория. Стивен Хокинг

В этих лекциях Роджер Пенроуз и я хотели изложить наши связанные друг с другом и в то же время различные точки зрения на природу пространства и времени. Каждый из нас по очереди прочтет по три лекции, после чего последует обсуждение наших различных подходов. Я должен подчеркнуть, что это будут достаточно технические лекции. Так, мы подразумеваем, что читателю известны основные понятия общей теории относительности и квантовой теории.

Существует короткая статья Ричарда Фейнмана, излагающая его понимание ситуации на конференции по общей теории относительности. По-моему, это была Варшавская конференция 1962 года. В ней были высказаны нелицеприятные замечания по поводу общей компетентности участников конференции и уместности того, чем они занимаются. В том, что общая теория относительности вскоре приобретет гораздо лучшую репутацию и вызовет б о льший интерес, мы во многом обязаны работам Роджера Пенроуза.

До этих работ общая теория относительности формулировалась в виде беспорядочного набора уравнений в частных производных в единственной координатной системе. Люди настолько радовались, когда находили решение этих уравнений, что не заботились о том, что эти решения, возможно, не имеют физического смысла. Однако Роджер внес в эту область такие современные концепции, как спиноры и глобальные методы качественного анализа. Он первый показал, как можно изучать общие свойства уравнений теории относительности без точного их решения. Именно ему принадлежит первая теорема

10 · Глава 1 — Стивен Хокинг

о сингулярностях, которая привела меня к изучению причинной структуры и инспирировала мою классическую работу по сингулярностям и черным дырам.

Я думаю, Роджер и я в значительной мере согласны друг с другом, когда речь идет о явлениях в классической области. Однако мы отличаемся в наших подходах к квантовой гравитации и, на самом деле, к самой квантовой теории. Хотя физики, занимающиеся частицами, считают меня опасным радикалом за предложение о возможной потере квантовой когерентности, я определенно консерватор по сравнению с Роджером. Я принимаю позитивистскую точку зрения, что физическая теория есть просто математическая модель, и что бессмысленно спрашивать, соответствует ли ей какая-либо реальность. Вместо этого мы можем лишь спросить, находятся ли ее предсказания в согласии с соответствующими наблюдениями. Мне кажется, что Роджер в сердце платонист, но ответ на этот вопрос он должен дать самому себе.

Хотя и предлагались гипотезы о том, что пространство-время может иметь дискретную структуру, я не вижу причин отвергать непрерывные теории, которые оказались столь успешными. Общая теория относительности является прекрасной теорией, которая согласуется со всеми выполненными наблюдениями. Возможно она потребует модификации на планковских масштабах, но я не думаю, что это повлияет на большинство предсказаний, которые могут быть получены. Вполне возможно также, что общая теория относительности является лишь низкоэнергетическим приближением для некоторой более фундаментальной теории, подобной теории струн, которую, как мне кажется, сильно переоценили. Во-первых, до конца не ясно, почему общая теория относительности при комбинировании с другими полями в рамках теории супергравитации не может привести к разумной квантовой теории. Слухи о смерти супергравитации сильно преувеличены. То каждый верит, что супергравитация является окончательной теорией. Но уже на следующий год мода меняется, и каждый говорит, что супергравитация обречена на существование в ней расходимостей, хотя при этом никто их не обнаружил. Вторая причина, по которой я не хочу обсуждать теорию струн, состоит

Классическая теория · 11

в том, что в ней не сделано проверяемых предсказаний. В противоположность этому, непосредственное применение квантовой теории к общей теории относительности, которую я буду обсуждать, уже имеет два проверяемых предсказания. Одно их них — развитие малых возмущений при инфляции — кажется, подтверждается недавними наблюдениями флуктуаций в микроволновом фоне. Другое предсказание о том, что черные дыры должны испускать равновесное тепловое излучение, в принципе проверяемо. Все, что необходимо — это найти первичную черную дыру. К сожалению, похоже, что в нашем рукаве Галактики их не так уж много. Если бы они были, мы бы сейчас уже знали, как квантовать гравитацию.

Ни одно из этих предсказаний не изменится, даже если окончательной теорией природы является теория струн. К сожалению, теория струн, по крайней мере на нынешнем уровне ее развития, не способна делать такие предсказания, не апеллируя к общей теории относительности как низкоэнергетической эффективной теории. Я подозреваю, однако, что это всегда будет так, и что не существует каких-либо наблюдаемых предсказаний в теории струн, которые не могут быть получены с помощью общей теории относительности или супергравитации. Если это так, то возникает вопрос, является ли теория струн действительно научной теорией. Является ли математическая красота и полнота достаточными критериями при отсутствии четко проверяемых наблюдаемых предсказаний? При этом следует учитывать, что в настоящий момент теория струн не является ни красивой, ни полной.

По этим причинам я буду говорить в этих лекциях только об общей теории относительности. Я сосредоточу внимание на двух областях, в которых гравитация, по-видимому, обладает свойствами, полностью отличающимися от других полевых теорий. Первой является идея о том, что благодаря гравитации пространство-время должно иметь начало, а возможно и конец. Второе — это открытие того, что, по-видимому, существует внутренняя гравитационная энтропия, не являющаяся результатом крупнозернистой структуры. Некоторые утверждают, что эти предсказания являются только артефактами полуклассического приближения. Они говорят, что струнная тео-

12 · Глава 1 — Стивен Хокинг

рия, истинная квантовая теория гравитации, размажет сингулярности и приведет к корреляциям в излучении черных дыр, так что оно только приближенно является тепловым, в крупнозернистом приближении. Если это так, то это будет довольно скучно. Гравитация будет тогда подобна любому другому полю. Но я убежден, что она существенно отлична от них, потому что гравитация формирует арену, на которой сама действует, в противоположность другим полям, которые действуют в заданном пространстве-времени. Именно это дает возможность времени иметь свое начало. Это также приводит к существованию ненаблюдаемых областей Вселенной, что в свою очередь приводит к понятию гравитационной энтропии как меры того, что мы можем не знать.

Рис. 1.1. Хронологическое будущее для точки p

В этой лекции я дам обзор работ в классической общей теории относительности, которые привели к этим идеям. В моих второй и третьей лекциях (главы 3 и 5) я покажу, как эти идеи изменяются и расширяются при переходе к квантовой теории. Моя вторая лекция будет посвящена черным дырам, а третья — квантовой космологии.

Решающая для исследования сингулярностей и черных дыр техника, которая была введена Роджером, и которую я помогал развивать, состоит в изучении глобальной причинной структуры пространства-времени. Определим I ⁺(р)как множество всех точек пространства-времени М, которые мо-

Классическая теория · 13

Рис. 1.2. Границы хронологического будущего не могут быть времениподобными или пространственноподобными

гут быть достигнуты из точки p времениподобными кривыми, направленными в будущее (рис. 1.1). Можно считать, что 1 ⁺(р)— это множество всех событий, на которые может влиять то, что происходит в точке р. Точно такое же определение можно ввести, заменив плюс на минус и будущее на прошлое. Я буду считать такие определения самоочевидными.

Можно рассмотреть границу I ⁺(S)будущего для множества S. Нетрудно видеть, что эта граница не может быть времениподобной. Действительно, в этом случае точка q, находящаяся вне границы, была бы в будущем точки р, находящейся внутри границы. Граница будущего не может быть также пространственноподобной, исключая множество S само по себе. В этом случае каждая кривая из точки q, лежащая в будущем для границы и направленная в прошлое, будет пересекать границу и покидать будущее для S. Это противоречит тому факту, что q находится в будущем для S (см. рис. 1.2).

Следовательно, можно заключить, что граница будущего является нулевой, в отличие от самого множества S. Более точно, если q принадлежит границе будущего, но не замыканию S, существует нулевой геодезический сегмент, направленный в прошлое и лежащий вместе с q на границе (рис. 1.3). Может существовать и более чем один нулевой геодезичес-

14 · Глава 1 — Стивен Хокинг

Рис. 1.3. Вверху: точка q лежит на границе будущего, так что существует нулевой геодезический сегмент на границе, который проходит через q.

Внизу: если существует больше, чем один такой сегмент, точка q будет для них конечной точкой в будущем

кий сегмент, включающий q и лежащий на границе, но в этом случае q должна быть конечной точкой сегментов в будущем. Иными словами, граница будущего для S порождается нулевыми геодезическими, которые имеют на границе конечную точку в будущем и проходят во внутреннюю область будущего, если они пересекают другую нулевую геодезическую. С другой стороны, нулевые геодезические генераторы могут иметь конечные точки в прошлом только на S. Однако возможно рассматривать пространство-время, в котором существуют генераторы границы будущего множества S, которые никогда не пересекают S. Такие генераторы могут не иметь конечных точек в прошлом.

Классическая теория · 15

Рис. 1.4. При удалении линии из пространства Минковского, граница будущего для множества 5 будет иметь генератор, у которого нет конечных точек в прошлом

Простым примером является пространство Минковского с удаленным куском горизонтальной линии (рис. 1.4). Если множество S лежит в прошлом для горизонтальной линии, линия будет отбрасывать тень, в которой будут находиться точки, являющиеся будущими по отношению к этой линии и отсутствующие в будущем для S. Там должны быть генераторы границы будущего S, которые возвращаются к концу горизонтальной линии. Однако, поскольку конечная точка горизонтальной линии удалена из пространства-времени, генератор границы не может иметь конечных точек в прошлом. Такое пространство-время является неполным, однако это может быть исправлено умножением метрики на подходящий конформный множитель вблизи конца горизонтальной линии. Хотя такие пространства выглядят очень искусственно, они важны для демонстрации того, насколько следует быть аккуратным при изучении причинной структуры. Фактически, Роджер Пенроуз, который был одним из моих оппонентов при защите диссертации, указал, что пространство, которое я здесь описал, является контрпримером к сделанным в моей диссертации утверждениям.

Чтобы показать, что каждый генератор границы будущего имеет в своем множестве конечную точку в прошлом, следу-

16 · Глава 1 — Стивен Хокинг

ет потребовать выполнения некоторого глобального условия на причинную структуру. Наиболее сильное и физически наиболее важное условие состоит в требовании глобальной гиперболичности. Говорят, что открытое множество U является глобально гиперболическим, если:

1. для любой пары точек p и q в U пересечение будущего для p и прошлого для q имеет компактное замыкание. Другими словами, оно ограничено ромбовидной областью (рис. 1.5);

2. на U строго выполняется причинность. Это означает, что не существует замкнутых или почти замкнутых времениподобных кривых, содержащихся в U.

Рис. 1.5. Пересечение прошлого для q и будущего для p имеет компактное замыкание

 

Физическое значение глобальной гиперболичности следует из того факта, что она приводит к существованию семейства поверхностей Коши Σ(t) для U (рис. 1.6). Поверхность Коши для U является пространственноподобной или нулевой поверхностью, которая пересекает каждую времениподобную кривую в U один и только один раз. Можно предсказать, что произойдет в U, исходя из данных на поверхности Коши, а также сформулировать квантовую теорию поля с хорошим поведением на глобально гиперболическом фоне. Менее ясно, можно ли сформулировать разумную квантовую теорию поля на неглобальном гиперболическом фоне. Таким образом, глобальная

Классическая теория · 17

Рис. 1.6. Семейство поверхностей Коши для U

гиперболичность может быть физически необходимой. Однако моя точка зрения состоит в том, что ее не надо предполагать, потому что глобальная гиперболичность может исключить что-то такое, о чем пытается нам сказать гравитация. Скорее, мы должны вывести, что определенные области пространства-времени являются глобально гиперболическими, исходя из каких-то других физически приемлемых предположений.

Важность глобальной гиперболичности для теорем об сингулярностях видна из последующего. Пусть U глобально гиперболично, и пусть p и q — точки U, которые могут быть соединены времениподобной или нулевой кривой. Тогда существует времениподобная или нулевая геодезическая между p и q, которая максимизирует длину времениподобных или нулевых кривых из p в q (рис. 1.7). Метод доказательства состоит в том, чтобы показать, что пространство всех времениподобных или нулевых кривых из p в q является компактным в определенной топологии. После этого можно показать, что длина кривой является верхней полунепрерывной функцией на этом пространстве. Следовательно, она должна достигать своего максимума,

18 · Глава 1 — Стивен Хокинг

Рис. 1.7. В глобально гиперболическом пространстве существует геодезическая максимальной длины, соединяющая любую пару точек, которые могут быть соединены времениподобной или нулевой кривой

а кривая максимальной длины будет являться геодезической, поскольку в противоположном случае малое изменение будет приводить к более длинной кривой.

После этого можно рассмотреть вторую вариацию длины геодезической γ. Можно показать, что γ можно заменить на более длинную кривую, если существует бесконечно близкая геодезическая, идущая из р, которая снова пересекает γ в точке γ между p и q. Говорят, что точка r является сопряженной к p (рис. 1.8). Это можно продемонстрировать, рассматривая две точки p и q на поверхности Земли. Без потери общности можно взять точку p на северном полюсе.

Поскольку Земля имеет не лоренцевскую, а положительно определенную метрику, на ней существуют геодезические не максимальной, а минимальной длины. Минимальная геодезическая является линией долготы, проходящей через северный полюс к точке q. Но существует и другая геодезическая, из p в q, которая идет от северного полюса по другой стороне, проходит через южный полюс и попадает в q. Эта геодезическая содержит точку, сопряженную p на южном полюсе, где пересекаются все геодезические из р. Обе геодезические являются экстремумами длины при малых вращениях. Но теперь, при положительно определенной метрике, вторая вариация геоде-

Классическая теория · 19

Рис. 1.8.

Слева: если на геодезической существует сопряженная точка r между p и q, она не является геодезической минимальной длины. Справа: неминимальная геодезическая из p в q имеет сопряженную точку на южном полюсе

зической, содержащей сопряженную точку, может привести к более короткой кривой из p в д. Так, в примере с Землей можно получить, что геодезическая, которая идет вниз через южный полюс, а затем идет вверх, не является кратчайшей кривой из p в q. Этот пример довольно очевиден. Однако в случае пространства-времени можно показать, что при определенных предположениях должна существовать глобально гиперболическая область, в которой на каждой геодезической между двумя заданными точками существуют сопряженные точки. Это приводит к противоречию, показывающему, что предположение о полноте геодезических, которое было использовано как определение сингулярного пространства-времени, является ошибочным.

Причина возникновения сопряженных точек в пространстве-времени состоит в том, что гравитация является притягивающей силой. Следовательно, пространство-время искривляется таким образом, что соседние геодезические не удаляются друг от друга, а сближаются. Это можно увидеть из уравнений Раучадхури или Ньюмена-Пенроуза, которые я приведу в единой форме:

20 • Глава 1 — Стивен Хокинг

Определение сингулярностей

Пространство-время является сингулярным, если оно содержит неполные времениподобные или нулевые геодезические, но при этом не может быть вложено в большее пространство-время.

Это определение отражает наиболее объективируемые свойства сингулярностей, а именно то, что возможны частицы, история которых имеет начало и конец в конечные моменты времени. Существуют примеры, показывающие, что может возникать неполнота геодезических при остающейся ограниченной кривизне, однако считается, что в общем случае кривизна вдоль неполной геодезической будет расходиться. Это особенно важно, если пытаться с помощью квантовых эффектов решать проблемы, появляющиеся в связи с сингулярностями в классической общей теории относительности.

24 · Глава 1 — Стивен Хокинг

Между 1965 и 1970 годами Пенроуз и я использовали описанную мной технику для доказательства ряда теорем о сингулярностях. Формулировка этих теорем включает три типа условий. Во-первых, это энергетическое условие типа слабого, сильного или общего. Во-вторых, это некоторое глобальное условие на причинную структуру, например, требование отсутствия каких-либо замкнутых времениподобных кривых. Наконец, последнее условие, что в некоторых областях гравитация так сильна, что оттуда ничего не выходит наружу.

Рис. 1.10. На нормальной замкнутой поверхности выходящие с поверхности нулевые лучи расходятся, в то время как входящие лучи сходятся.

На замкнутой ловушечной поверхности сближаются как входящие, так и выходящие нулевые лучи

Это третье условие можно выразить различными способами. Один способ состоит в том, чтобы предположить, что пространственное поперечное сечение Вселенной является за-

Классическая теория · 25

мкнутым, так что не существует внешней области, куда можно было бы убежать. Другой состоит в утверждении, что существует так называемая замкнутая ловушечная поверхность. Это такая двумерная замкнутая поверхность, что как входящие, так и выходящие ортогональные ей нулевые геодезические будут сближаться (рис. 1.10). Обычно, если имеется сферическая двумерная поверхность в пространстве Минковского, то входящие нулевые геодезические сближаются, а выходящие — расходятся. Однако при коллапсе звезды гравитационное поле так велико, что световые конусы наклонены внутрь. Это означает, что даже выходящие нулевые геодезические сближаются друг с другом.

Ряд теорем о сингулярностях показывает, что при выполнении различных комбинаций трех типов условий пространство-время может быть неполным относительно времениподобных или нулевых геодезических. Можно ослабить одно условие, если предполагать более сильную версию двух других.

Теоремы о сингулярностях:

1. Энергетическое условие.

2. Условие на глобальную структуру.

3. Гравитация достаточно сильна для того, чтобы замкнуть определенную область.

Я проиллюстрирую это, описав теорему Хокинга-Пенроуза. Она включает общее энергетическое условие, сильнейшее из трех возможных. Глобальное условие довольно слабое и сводится к отсутствию замкнутых времениподобных геодезических. Условие невылетания берется в наиболее общем виде как существование либо ловушечной поверхности, либо замкнутой пространственноподобной трехмерной поверхности.

Для простоты я лишь набросаю доказательство для случая замкнутой пространственноподобной трехмерной поверхности S. Можно определить эволюцию Коши в D ⁺(S)в направлении будущего как область точек q, для которых каждая направленная в прошлое времениподобная геодезическая пересекает S (рис. 1.11). Тогда эволюция Коши я