Второй закон механики черных дыр

Второй закон термодинамики

Классическая теория · 33

Первый закон механики черных дыр

Первый закон термодинамики

Аналогия с термодинамикой становится еще сильнее благодаря первому закону механики черных дыр. Он связывает изменение массы черной дыры с изменением площади горизонта событий и изменениями момента импульса и электрического заряда. Можно сравнить этот закон с первым законом термодинамики, который связывает изменения во внутренней энергии с изменением энтропии и внешней работой, совершенной над системой. Нетрудно видеть, что если площадь горизонта событий аналогична энтропии, то величиной, аналогичной температуре, должно быть то, что называется поверхностной гравитацией κ черной дыры.

Нулевой закон механики черных дыр

Для стационарных черных дыр κ одинакова во всех точках горизонта событий.

Нулевой закон термодинамики

Для систем в тепловом равновесии Τ везде одинакова.

Эта величина является мерой напряженности гравитационного поля на горизонте событий. Аналогия с термодинамикой еще больше увеличивается при сравнении с нулевым законом механики черных дыр: поверхностная гравитация κ одинакова на горизонте событий стационарных черных дыр.

Вдохновленный этими аналогиями, Бекенштейн (1972) предположил, что энтропия черной дыры действительно описывается некоторой величиной, кратной площади горизонта

34 · Глава 1 — Стивен Хокинг

событий. Он предложил обобщенный второй закон термодинамики: сумма энтропии черной дыры и энтропии материи вне черной дыры не может уменьшаться.

Обобщенный второй закон

δ (s + сА) ≥ о.

Рис. 1.17. Черная дыра в контакте с тепловым излучением будет поглощать часть излучения, но не может классически излучать его наружу

Однако это предположение не было самосогласовано. Если черные дыры имеют энтропию, пропорциональную площади горизонта, они также должны иметь ненулевую температуру, пропорциональную поверхностной гравитации. Рассмотрим черную дыру, которая находится в контакте с тепловым излучением при температуре ниже, чем температура черной дыры (рис. 1.17). Черная дыра будет поглощать некоторую часть излучения, но не будет способна выпускать ее из себя наружу, поскольку в соответствии с классической теорией ничто не может оторваться от черной дыры и выйти наружу. Следовательно, существует поток теплоты от теплового излучения с меньшей температурой к черной дыре с большой тем-

Классическая теория · 35

Рис. 1.18

пературой. Это нарушает обобщенный второй закон, потому что потеря энтропии теплового излучения будет больше, чем увеличение энтропии черной дыры. Однако, как мы увидим в моей следующей лекции, согласованность восстанавливается, если заметить, что черная дыра все-таки может испускать излучение, которое является в точности тепловым. Это слишком красивый результат, чтобы оказаться простым совпадением или каким-либо приближением. Таким образом, похоже, что черные дыры действительно имеют внутреннюю гравитационную энтропию. Как я покажу, это связано с нетривиальной топологией черной дыры. Внутренняя энтропия означает, что рассмотрение гравитации вводит новый уровень непредсказуемости сверх той, которую обычно связывают с квантовой теорией. Таким образом, Эйнштейн был неправ, заявляя, что «Бог не играет в кости». Изучение черных дыр показывает, что Бог не только играет в кости, но и иногда обманывает нас, бросая их туда, где мы не можем их видеть (рис. 1.18).

Глава 2. Структура пространственно-временных сингулярностей. Р. Пенроуз

В первой лекции Стивена Хокинга обсуждались теоремы о сингулярностях. Суть этих теорем в том, что при разумных (глобальных) физических условиях следует ожидать появления сингулярностей. Эти теоремы, конечно, ничего не говорят о природе этих сингулярностей или о том, где эти сингулярности могут быть обнаружены. С другой стороны, теоремы являются совершенно общими. Поэтому естественно спросить, какова же геометрическая природа пространственно-временных сингулярностей. Обычно предполагается, что сингулярность может быть охарактеризована расходимостью кривизны. Однако это не совсем то, что утверждают теоремы о сингулярностях сами по себе.

Сингулярности появляются в момент Большого взрыва, в черных дырах, и в момент Большого хлопка (который может восприниматься как объединение черных дыр). Они могут появляться и как голые сингулярности. В связи с этим предложен так называемый принцип космической цензуры, а именно, гипотеза, что голые сингулярности не возникают.

Чтобы объяснить идею космической цензуры, позвольте немного напомнить историю вопроса. Первым примером явного решения уравнений Эйнштейна, описывающего образование черной дыры, было решение Оппенгеймера и Снайдера (1939), описывающее коллапсирующее облако пыли. При этом существует сингулярность внутри, но она ненаблюдаема снаружи, поскольку окружена горизонтом событий. Этот горизонт представляет собой некоторую поверхность, такую, что сигналы

Структура пространственно-временных сингулярностей · 37

от событий, происходящих под ней, не могут уйти на бесконечность.

Заманчиво считать, что эта картина является достаточно общей, т. е. описывает произвольный гравитационный коллапс. Однако модель Оппенгеймера-Снайдера имеет специальную симметрию (а именно, сферическую симметрию), и не очевидно, что такой пример описывает и общий случай.

Поскольку уравнения Эйнштейна в общем случае трудно решить, вместо этого можно искать те глобальные свойства, которые требуют существования сингулярностей.

Рис. 2.1. Облако пыли, коллапсирующее по Оппенгеймеру — Снайдеру, иллюстрирующее ловушечную поверхность

Например, в модели ОС имеется ловушечная поверхность, которая является поверхностью, площадь которой уменьшается вдоль световых лучей, первоначально ортогональных к ней (рис. 2.1).

38 · Глава 2 — Роджер Пенроуз

Можно попытаться доказать, что существование ловушечной поверхности требует существования сингулярности. (Это была первая теорема о сингулярности, которую я доказал на основе разумных предположений о причинности, не предполагая наличия сферической поверхности; см. Пенроуз 1965). Можно также вывести аналогичный результат, предполагая существование сходящегося светового конуса (Хокинг и Пенроуз 1970; этот конус появляется, когда все световые лучи, испущенные в различных направлениях из точки, начинают сходится друг к другу в какой-то последующий момент времени).

Вскоре Стивен Хокинг (1965) заметил, что в космологических масштабах можно обратить мои первоначальные аргументы, т. е. применить их к обращенной во времени ситуации. Обращение ловушечной поверхности тогда приводит к тому, что должна существовать сингулярность в прошлом (при соответствующих предположениях о причинности). При этом (обращенная во времени) ловушечная поверхность становится очень большой, соответствующей космологическим масштабам.

Рассмотрим, главным образом, ситуацию с черной дырой. Мы знаем, что где-то должна иметься сингулярность, но для того, чтобы получить черную дыру, мы должны показать, что ее окружает горизонт событий. Гипотеза космической цензуры утверждает именно это, т. е. то, что сингулярность нельзя увидеть снаружи. В частности, из этой гипотезы следует, что должна существовать некоторая область, из которой невозможно отправить сигналы на внешнюю бесконечность. Границей этой области является горизонт событий. Мы можем также использовать теорему о границе, изложенную Стивеном в своей лекции и состоящую в том, что горизонт событий является границей прошлого для будущей нулевой бесконечности. Следовательно, мы знаем, что эта граница:

• должна быть нулевой поверхностью, которая является гладкой и генерируется нулевыми геодезическими;

• содержит неограниченную в будущем нулевую геодезическую, исходящую из каждой точки, в которой отсутствует условие гладкости,

Структура пространственно-временных сингулярностей · 39

и что

• площадь пространственных сечений не может уменьшаться со временем.

Кроме того, было показано (Израэль 1967, Картер 1971, Робинсон 1975, Хокинг 1972), что асимптотическим пределом такого пространства-времени в будущем является пространство-время Керра. Это примечательный результат, поскольку метрика Керра является очень интересным точным решением эйнштейновских уравнений в вакууме. Поскольку это утверждение связано с таким вопросом, как энтропия черной дыры, я собираюсь к нему вернуться в следующей лекции (глава 4).

Поэтому мы действительно имеем нечто, качественно подобное решению ОС. Некоторое отличие, а именно то, что мы приходим к решению Керра, а не Шварцшильда, довольно несущественно. Главное, что картины в этих случаях похожи.

Однако более точные рассуждения основаны на гипотезе космической цензуры. Фактически, космическая цензура очень важна, поскольку теория целиком от нее зависит, и без нее мы вместо черной дыры увидели бы жуткие вещи. Поэтому действительно следует спросить себя, является ли эта гипотеза истинной. Долгое время я считал, что она может быть неверной, и предпринимал различные попытки найти контрпримеры (Стивен Хокинг однажды заявил, что тот факт, что я попытался доказать ложность гипотезы космической цензуры и не преуспел в этом, является одним из сильнейших аргументов в пользу этой гипотезы. Однако я думаю, что это очень слабый аргумент!)

Я хочу обсудить принцип космической цензуры в контексте определенных идей, касающиющихся идеальных точек пространства-времени. (Эти понятия появились в работах Зейферта 1971 и Героха, Кронхаймера и Пенроуза 1972.) Основная идея состоит в том, что в пространство-время мы должны включать как действительно «сингулярные» точки, так и точки «на бесконечности», называемые идеальными точками. Введем сначала понятие НП, неразложимого множества прошлого. Здесь под «множеством прошлого» я понимаю множество, которое содержит свое собственное прошлое, а «неразложимое»

40 · Глава 2 — Роджер Пенроуз

означает, что его нельзя разделить на два «множества прошлого» таким образом, чтобы одно содержало другое. Существует теорема, которая утверждает, что любое НП можно описать как прошлое некоторой времениподобной кривой (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Множество прошлого, СНП, ННП

Существует две категории НП, а именно СНП и ННП. СНП — это собственное НП, т. е. прошлое некоторой точки пространства-времени. ННП — несобственное НП, не являющееся прошлым реальной точки пространства-времени. Иными словами, ННП определяют будущие идеальные точки. Кроме того, можно различать ННП по тому, находится ли идеальная точка «на бесконечности» (и в этом случае существует времениподобная кривая, генерирующая НП бесконечной собственной длины), т.е. является ∞-ННП, или она является сингулярностью или сингулярным ННП (в этом случае любая генерирующая ее времениподобная кривая имеет конечную собственную длину). Очевидно, все эти понятия могут быть применены не только к множествам прошлого, но и к множествам будущего. В этом случае мы получаем неразложимые множества будущего (НБ), которые можно разделить на СНБ и ННБ, а последние в свою очередь разложить на ∞-ННБ и сингулярные ННБ. Заметим также, что для того, чтобы эти понятия заработали, следует предположить отсутствие замкнутых времениподобных кривых, на самом деле, достаточно наложить существенно более слабое условие, что не существует двух точек, имеющих одинаковое будущее и одинаковое прошлое.

Как описать на этом языке голые сингулярности и гипотезу космической цензуры? Во-первых, гипотеза космической цензуры не должна исключать Большого взрыва (в противном

Структура пространственно-временных сингулярностей · 41

случае это будет большим ударом для космологов). Все вещи всегда возникают из Большого взрыва и никогда не попадают в него обратно. Поэтому можно попытаться определить голую сингулярность как нечто, куда может входить и откуда может выходить времениподобная кривая. Тогда проблема Большого взрыва автоматически снимается, поскольку этот взрыв не относится к голой сингулярности. Теперь можно определить голую ННП, как ННП, которое содержится в СНП. Это существенно локальное определение, т. е. мы не требуем, чтобы наблюдатель находился на бесконечности. Оказывается, можно показать (Пенроуз 1979), что запрет на голые ННП в пространстве-времени определяется тем же условием, если в этом определении заменить слово «прошлое» на слово «будущее» (запрет на голые ННБ). Гипотеза, что такие голые ННП (или, эквивалентно, ННБ) не возникают в общем пространстве-времени, называется гипотезой сильной космической цензуры. Ее интуитивный смысл состоит в том, что сингулярная точка (или бесконечная точка) — в данном случае ННП — не может просто «появиться» в середине пространства-времени таким образом, чтобы быть «видимой» из некоторой конечной точки — вершины данной СНП. Существенно, что наблюдатель не должен находиться на бесконечности, поскольку для данного пространства-времени мы можем не знать, что действительно является бесконечностью. Кроме того, если бы принцип сильной космической цензуры нарушался, мы могли бы за конечное время наблюдать частицу, попадающую в сингулярность, где законы физики перестают выполняться (или достигать бесконечности, что не лучше). Можно высказать и гипотезу слабой космической цензуры — следует просто заменить СНП на ∞-ННП.

Гипотеза сильной космической цензуры требует, чтобы общее пространство-время с материей, подчиняющейся разумным уравнениям состояния (для примера — вакуум), могло быть расширено на пространство-время, свободное от голых сингулярностей (голых сингулярных ННП).

Оказывается (Пенроуз 1979), можно утверждать, что исключение голых ННП эквивалентно глобальной гиперболичности или тому, что пространство-время целиком есть область, определяемая некоторой поверхностью Коши (Ге-

42 · Глава 2 — Роджер Пенроуз

рох 1970). Заметим, что эта формулировка сильной космической цензуры является явно симметричной по времени: можно поменять местами прошлое и будущее, если поменять местами НП и НБ.

В общем случае нужны дополнительные условия, чтобы исключить молнии. Под молнией мы понимаем сингулярность, которая достигает нулевой бесконечности, разрушая пространство-времени по мере продвижения (см. Пенроуз 1978, рис. 2.7). Это не требует нарушения принципа космической цензуры. Существует более сильная версия этого принципа (Пенроуз 1978, условие СС4), учитывающая возможность молний.

Вернемся к вопросу о том, справедлива ли гипотеза о космической цензуре. Во-первых, заметим, что, возможно, она не выполняется в квантовой гравитации. В частности, взрыв черных дыр (о которых Стивен Хокинг будет говорить чуть позднее) приводит к ситуациям, где космическая цензура кажется нарушенной.

В классической общей теории относительности существуют различные результаты в обоих направлениях. В одной из попыток опровергнуть космическую цензуру я получил неравенства, которые должны выполняться, если космическая цензура справедлива (Пенроуз 1973). Они действительно оказались правильными (Гиббон 1972). Это дает некоторую поддержку идее о существовании чего-то подобного космической цензуре. Отрицательным аргументом является наличие некоторых частных примеров (которые, впрочем, нарушают принцип универсальности) и некоторые обрывки численных результатов, против которых существует много различных возражений. К тому же есть некоторые свидетельства, о которых я узнал только недавно — фактически Гари Горовиц рассказал мне о них только вчера — что некоторые из вышеупомянутых неравенств несправедливы, если космологическая постоянная положительна. Лично я всегда был убежден, что космологическая постоянная должна быть равна нулю, однако будет очень интересно, если справедливость космической цензуры окажется зависящей от неположительности этой постоянной. В частности, может существовать интригующая связь между

Структура пространственно-временных сингулярностей · 43

природой сингулярностей и природой бесконечности. Бесконечность пространственноподобна, если космологическая постоянная положительна, и нулевая, если постоянная равна нулю. Соответственно, сингулярности могут иногда оказываться времениподобными (т.е. голыми, нарушающими космическую цензуру), если космологическая постоянная положительна, но возможно, что сингулярности не могут быть времениподобными (т.е. удовлетворяют космической цензуре), если постоянная равна нулю.

Рис. 2.3. Соотношения причинности между различными НП:

1) А причинно предшествует В; 2) А хронологически предшествует В; 3) А и В пространственноподобно разделены

Для обсуждения времениподобной или пространственно-подобной природы сингулярностей разберемся сначала с соотношениями причинности между НП. Обобщая причинность между точками, мы можем сказать, что НП А причинно предшествует НП В, если А Ì В; А хронологически предшествует В, если существует СНП Ρ такое, что А Ì Ρ Ì В. Мы будем говорить, что А и В пространственноподобно разделены, если ни одна из них причинно не предшествует другой (рис. 2.3).

Условие сильной космической цензуры можно тогда выразить, сказав, что сингулярности никогда не бывают времениподобными. Пространственноподобные (или нулевые) сингулярности могут быть либо прошлого, либо будущего типа. Отсюда, если сильная космическая цензура выполняется, сингулярности разделяются на два класса:

(П) прошлого типа, определенные как ННП;

(Б) будущего типа, определенные как ННБ.

44 · Глава 2 — Роджер Пенроуз

Голые сингулярности могут объединять эти две возможности в одну, так что голая сингулярность может быть ННБ и ННП одновременно. Следовательно, реальным следствием космической цензуры является разделение этих классов. Типичными примерами класса (Б) являются сингулярности в черных дырах и Большой хлопок (если он существует), а в класс (П) входит Большой взрыв и белые дыры (если они существуют). В действительности, я не верю, что Большой хлопок реально может произойти (по идеологическим причинам, к которым я вернусь в последней лекции), и тем более считаю невозможным существование белых дыр, поскольку они не подчиняются второму закону термодинамики.

Возможно, что два типа сингулярностей подчиняются совершенно разным законам. Может быть, законы квантовой гравитации будут для них совершенно различны. Я думаю, что Стивен Хокинг здесь не согласится со мной [Хокинг: «Да!»], но я считаю следующие факты свидетельством этого утверждения:

1) второй закон термодинамики;

2) наблюдения ранней Вселенной (например, результаты космического аппарата СОВЕ), показывающие, что она была очень однородной;

3) существование черных дыр (фактически уже наблюдаемых).

Из (1) и (2) можно утверждать, что сингулярность Большого взрыва была чрезвычайно однородна, и из (1) следует, что она была свободна от белых дыр (белые дыры очень сильно нарушают второй закон термодинамики). Тогда для сингулярностей черных дыр должны выполняться совершенно другие законы (3). Чтобы описать эту разницу более точно, отметим, что кривизна пространства-времени описывается тензором R_abcd Римана, который является суммой тензора Вейля C_abcd (описывающего приливные искажения, которые в первом порядке малости сохраняют неизменным объем) и тензором Риччи R_ab (умноженным на матрицу g _cd с должным образом зацепленными индексами), который описывает искажения, связанные с уменьшением объема (рис. 2.4).

Структура пространственно-временных сингулярностей · 45

Рис. 2.4. Эффекты ускорения из-за наличия пространственновременной кривизны:

(1) приливное искажение вследствие вейлевской кривизны; (2) эффект уменьшения объема из-за кривизны Риччи

В стандартных космологических моделях (Фридмана, Леметра, Робертсона и Уолкера, см., например, Риндлер 1977) в момент Большого взрыва тензор Вейля равнялся нулю. Существует также обратное утверждение, доказанное Р. Ньюменом, по которому Вселенная с начальной сингулярностью конформно-регулярного типа с нулевым тензором Вейля обязана при выполнении подходящего уравнения состояния быть Вселенной Фридмана-Деметра-Робертсона-Уолкера; (см. Ньюмен 1993). С другой стороны, сингулярности черных/белых дыр имеют (в общем случае) расходящийся тензор Вейля. Это говорит о следующем: