Евклидово - шварцшильдовская метрика

58 · Глава 3 — Стивен Хокинг

Рис. 3.5. Евклидово —шварцшильдовское решение, в котором τ выбрано периодическим

Метрика в плоскости x -τ становится тогда подобна метрике в полярной системе координат, если сопоставить координату τ с периодом 8 πΜ. Аналогично, другие евклидовы метрики для черной дыры будут иметь кажущиеся сингулярности на своих горизонтах, которые могут быть устранены сопоставлением мнимой временной координаты с периодом (рис. 3.5).

В чем состоит смысл использования мнимого времени, отождествленного с некоторыми периодом β? Чтобы это увидеть, рассмотрим амплитуду перехода из некоторой конфигурации поля φ ₁на поверхности t ₁в конфигурацию φ ₂на плоскости t ₂ - Она дается матричным элементом оператора . Однако ее можно также представить с помощью интеграла по путям по всем полям φ в интервале времени между t ₁ и t ₂, которые совпадают с данными полями φ ₁и φ ₂на двух поверхностях (рис. 3.6).

Выберем интервал времени (t ₁ — t ₂)чисто мнимым и равным β (рис. 3.7). Можно также считать начальное поле φ ₁равным конечному полю φ ₂и просуммировать по полному базису состояний φ_n. Тогда с левой стороны получаем среднее значение , просуммированное по всем состояниям. Это выражение совпадает с термодинамической статистической суммой Ζ при температуре

Квантовые черные дыры · 59

Рис. 3.6. Амплитуда перехода из состояния φ ₁в момент времени t ₁ в состояние φ ₂,заданное в момент времени t ₂

С правой стороны уравнения записан интеграл по путям. Положим в нем φ ₁ = φ ₂и просуммируем по всем конфигурациям поля φ_n. Это означает, что эффективно происходит вычисление интеграла по путям по всем полям φ в пространстве-времени, которое обладает периодичностью по мнимому времени с периодом β. Такая статистическая сумма для полей φ при температуре Τ дается интегралом по путям по всем полям в евклидовым пространстве-времени. Это пространство-время периодично по мнимому времени с периодом β = Т ^-1.

Если вычислить интеграл по путям в плоском пространстве-времени, обладающем периодом β по мнимому времени, можно получить обычный результат для статистической суммы излучения черного тела. Однако, как мы уже видели, евклидово-шварцшильдовское решение является также периодическим в мнимом времени с периодом . Это означает, что поля на фоне решения Шварцшильда ведут себя так, как если бы они находились в состоянии теплового равновесия с температурой

Периодичность в мнимом времени объясняет, почему за-

60 · Глава 3 — Стивен Хокинг

Рис. 3.7. Статистическая сумма при температуре T может быть представлена как интеграл по путям по всем полям в евклидовом пространстве-времени с периодом β = Т~ по мнимому времени

путанные вычисления смешивания решений с разными частотами привели к излучению, которое находится в тепловом равновесии. Однако такой вывод обходит проблему вклада очень высоких частот, которые следует учитывать в подходе смешивания решений с разными частотами. Он может быть использован в том случае, когда существует взаимодействие между квантовыми полями на заданном фоне. Фактически то, что интеграл по путям вычисляется на периодическом фоне, приводит к тому, что все физические величины типа средних значений будут соответствовать состояниям теплового равновесия. Это было бы очень трудно установить в подходе со смешиванием частот.

Можно даже расширить эти взаимодействия, чтобы учесть взаимодействия непосредственно с гравитационным полем. Начнем с фоновой метрики g₀, такой как евклидово-шварцшильдовская метрика, являющаяся решением классических уравнений поля. Действие I можно разложить в степенной ряд по возмущениям δ g вблизи g ₀:

Квантовые черные дыры · 61

При этом линейное слагаемое обращается в нуль в силу того, что g ₀является решением полевых уравнений. Квадратичные слагаемые можно воспринимать как описание гравитонов на заданном фоне, в то время как кубичное и более высокие слагаемые в разложении описывают взаимодействие между гравитонами. Интеграл по путям по квадратичным слагаемым является конечным. В чисто гравитационной теории существуют неперенормируемые расходимости в двухпетлевых диаграммах, но в теориях супергравитации они сокращаются со вкладом фермионов. Неизвестно, имеют ли теории супергравитации расходимости в трех и более петлях, поскольку до сих пор не нашлось никого, кто был бы достаточно отважен или безрассуден, чтобы проделать эти вычисления. В ряде последних работ есть указания на то, что эти теории могут быть конечны во всех порядках. Но даже если существуют расходимости в высших петлях, они дадут очень малые отличия, за исключением случая, когда фоновая метрика соответствует искривлению на масштабах длины Планка, т.е. 10^-33 см.

Более интересным по сравнению со слагаемыми высшего порядка является слагаемое нулевого порядка, а именно, действие с фоновой метрикой g ₀:

Обычное действие Эйнштейна-Гильберта в общей теории относительности является объемным интегралом от скалярной кривизны R. Она равна нулю для вакуумных решений, так что можно считать, что действие для евклидово-шварцшильдовского решения равно нулю. Однако в действии существует также поверхностное слагаемое, пропорциональное интегралу от К, т.е. от следа второй квадратичной формы на граничной поверхности. Если учесть это слагае-

мое и вычесть из него поверхностное слагаемое для плоского пространства, можно найти, что действие с евклидово -шварцшильдовской метрикой равно , где β — период

по мнимому времени на бесконечности. Тогда доминирующий вклад в интеграл по путям для статистической суммы Ζ pa-

62 · Глава 3 — Стивен Хокинг

вен exp :

Дифференцируя ln Z по периоду β, можно получить среднее значение энергии или, другими словами, массу:

Таким образом находим, что масса . Это подтверж-

дает уже известную связь между массой и периодом, или обратной температурой Вселенной. Однако можно продвинуться дальше. Следуя стандартным термодинамическим рассуждениям, логарифм статистической суммы равен взятой с обратным знаком свободной энергии F, деленной на температуру Т:

Но свободная энергия равна массе или энергии плюс произведение температуры на энтропию S:

F= (E)- TS.

Собирая все вместе, нетрудно видеть, что действие для черной дыры дает энтропию 4 πΜ ²:

Это именно то, что требуется для того, чтобы законы черных дыр стали полным аналогом законов термодинамики.

Откуда берется внутренняя гравитационная энтропия, не имеющая аналогов в других квантовых теориях поля? Причина ее появления в том, что гравитация допускает различные топологии пространственно-временного многообразия. В случае, который мы рассматриваем, евклидово-шварцшильдовское решение имеет границу на бесконечности с топологией S ²x S ¹.

Квантовые черные дыры · 63

Рис. 3.8. Бесконечно удаленная граница для евклидово-шварцшильдовского решения

Поверхность S ²— это большая пространственноподобная 2-сфера на бесконечности, a S ¹соответствует направлению мнимого времени, концы которого периодически отождествлены (рис. 3.8). Можно вложить в эту границу метрики по крайней мере с двумя разными топологиями. Одна, конечно, евклидово-шварцшильдовская метрика с топологией R ²x S ², т.е. евклидова 2-плоскость, умноженная на 2-сферу. Другая — это R ³x S ¹, т.е. топология евклидового плоского пространства с периодически отождествленными в направлении мнимого времени границами. Эти топологии имеют различные характеристики Эйлера. Эйлерова характеристика периодически отождествленного плоского пространства равна нулю, в то время как для евклидово-шварцшильдовского решения — двум. Смысл всего этого состоит в следующем: на топологии периодически отождествленного плоского пространства можно найти периодическую функцию времени т, градиент которой нигде не обращается в нуль и которая согласована с координатой мнимого времени на бесконечности. Тогда можно составить

64 · Глава 3 — Стивен Хокинг

действие для области между поверхностями τ ₁ и τ ₂. При этом получается два вклада в действие: объемный интеграл от лангражиана для материи и лагранжиана Эйнштейна-Гильберта и поверхностное слагаемое. Если решение не зависит от времени, то поверхностное слагаемое при τ = τ ₁будет сокращаться со слагаемым при τ = τ ₂. Тогда реальный вклад в поверхностное слагаемое появится только от границы на бесконечности. Это дает половину массы, умноженной на интервал мнимого времени (τ ₂ — τ ₁). Если масса ненулевая, то должны быть создающие массу ненулевые поля материи. Можно показать, что интеграл по объему от лагранжиана полей материи и лагранжиана Эйнштейна-Гильберта также дает 1/2 М (τ ₂ — τ ₁). Тогда полное действие равно Μ (τ ₂ — τ ₁)(рис. 3.9). Если подставить этот вклад в логарифм статистической суммы в термодинамической формуле, можно найти, что среднее значение энергии равно массе, как и следовало ожидать. Однако вклад в энтропию от фоновых полей будет равен нулю.

Рис. 3.9. Действие для периодически отождествленного евклидового плоского пространства равно Μ (τ ₂ — τ ₁)

Ситуация несколько отличается для евклидово-шварцшильдовского решения. Поскольку характеристика Эйлера

Квантовые черные дыры · 65

Рис. 3.10. Полное действие для евклидово-шварцшильдовского действия равное , без учета вклада от угла для r = 2 M

равна не нулю, а двум, невозможно найти такую функцию времени т, градиент которой был бы повсюду отличен от нуля. Лучшее, что можно сделать — это выбрать координату мнимого времени в решении Шварцшильда. Оно имеет на горизонте фиксированную 2-сферу, на которой τ ведет себя подобно угловой переменной. Если теперь вычислить действие между двумя поверхностями τ = const, объемный интеграл обратится в нуль, поскольку поля материи отсутствуют, и скалярная кривизна равна нулю. Поверхностное слагаемое со следом К на бесконечности снова дает  Однако теперь существует и другое поверхностное слагаемое на горизонте, когда поверхности τ₁и τ₂ пересекаются в угле. Можно вычислить этот вклад и найти, что он также равен (рис. 3.10). Поэтому полное действие для области между τ₁ и τ₂ равно М (τ ₂ — τ ₁). Если использовать это действие, положив τ ₂ — τ ₁ = β, нетрудно найти, что энтропия будет равна нулю. Однако, если смотреть на действие евклидово-шварцшильдовского решения с четырехмерной точки зре-

66 · Глава 3 — Стивен Хокинг

ния, а не с точки зрения 3 + 1, то нет причин для того, чтобы учитывать поверхностное слагаемое на горизонте, так как там метрика регулярна. Отбрасывая поверхностное слагаемое на горизонте, получаем, что действие равно одной четверти площади горизонта, что как раз равно внутренней гравитационной энтропии черной дыры.

Тот факт, что энтропия черной дыры связана с топологическим инвариантом (эйлеровой характеристикой), является сильным аргументом в пользу того, что она останется, даже если мы перейдем к более фундаментальной теории. Эта идея предается анафеме большинством физиков, занимающихся частицами, которые представляют очень консервативную публику и хотят, чтобы все было похоже на теорию Янга-Миллса. Они соглашаются с тем, что излучение от черных дыр является тепловым и не зависит от того, как черная дыра образовалась, если ее размеры существенно больше планковской длины. Но они утверждают, что когда черная дыра теряет массу и приближается к планковскому размеру, квантовая общая теория относительности становится неприменимой, и все споры заканчиваются. Однако я опишу мысленный эксперимент с черными дырами, в котором информация теряется, хотя кривизна снаружи горизонта все время остается малой.

Уже давно известно, что в сильном электрическом поле может происходить рождение пар положительно и отрицательно заряженных частиц. Один из способов увидеть это следующий. Заметим, что в плоском евклидовом пространстве частица с зарядом q, например, электрон, будет двигаться по окружности в однородном электрическом поле Е. Можно аналитически продолжить это движение от мнимого времени τ к вещественному t. Тогда возникает пара положительно и отрицательно заряженных частиц, ускоренно движущихся друг от друга за счет растаскивания электрическим полем (рис. 3.11).

Процесс рождения пар может быть описан разрезанием двух диаграмм на половины вдоль линий t = 0 или τ = 0. Соединим после разрезания верхнюю половину диаграммы пространства Минковского с нижней половиной диаграммы евклидова пространства (рис. 3.12). Это дает картину, в которой отрицательно и положительно заряженные частицы, по сути,

Квантовые черные дыры · 67

Рис. 3.11. В евклидовом пространстве электрон в электрическом поле движется по окружности.

В пространстве Минковского получается пара противоположно заряженных частиц, ускоренно разлетающихся в противоположные стороны

являются одной и той же частицей. Она туннелирует через евклидово пространство, чтобы пройти от одной мировой линии в пространстве Минковского к другой. В первом приближении вероятность рождения пары равна e ^-I, где

Евклидово действие

Рождение пар в сильных электрических полях наблюдается экспериментально, и вероятность рождения согласуется с этими оценками.

68 · Глава 3 — Стивен Хокинг

Рис. 3.12. Рождение пар может быть описано объединением половины диаграммы в евклидовом пространстве с половиной диаграммы в пространстве Минковского

Черные дыры могут нести электрический заряд, поэтому можно ожидать, что они также будут рождаться парами. Однако вероятность этого процесса должна быть крохотной по сравнению с рождением электрон-позитронных пар, поскольку отношение массы к заряду в 10²⁰ больше. Это означает, что любое электрическое поля будет нейтрализовано рождением электрон-позитронных пар задолго до того, как вероятность рождения пары черных дыр станет заметной. Однако существуют решения для черных дыр с магнитными зарядами. Такие черные дыры не могут получится в результате гравитационного коллапса, поскольку в природе отсутствуют элементарные частицы с магнитным зарядом. Но можно ожидать, что такие черные дыры будут рождаться парами в сильном магнитном поле. В этом случае конкуренция с рождением обыкновенных частиц отсутствует, поскольку у таких частиц нет магнитного заряда. Таким образом, в достаточно сильном магнитном поле вероятность рождения пары магнитно-заряженных черных дыр может быть значительной.

В 1976 Эрнст нашел решение, которое представляет две магнитно-заряженные черные дыры, ускоренно движущиеся друг от друга в магнитном поле (рис. 3.13). Если совер-

Квантовые черные дыры · 69

Рис. 3.13. Пара противоположно заряженных черных дыр ускоряется в противоположных направлениях магнитным полем

Рис. 3.14. Заряженная черная дыра, движущаяся по окружности в евклидовом пространстве

шить аналитическое продолжение в область мнимого времени, можно получить картину, очень похожую на рождение электрон-позитронных пар (рис. 3.14). Черная дыра движется по окружности в искривленном евклидовом пространстве точно так же, как электрон движется по окружности в плоском евклидовом пространстве. В случае черных дыр ситуация сложнее, поскольку координата мнимого времени периодична как относительно горизонта черной дыры, так и относительно

70 · Глава 3 — Стивен Хокинг

центра окружности, по которой дыра движется. При этом отношение массы к заряду можно подобрать так, чтобы эти периоды стали одинаковыми. Физически это означает, что можно выбрать параметры черной дыры так, что температура черной дыры станет равной температуре, которую она приобретает за счет собственного ускорения. Температура магнитно заряженной черной дыры стремится к нулю по мере того, как заряд стремится к значению массы, выраженной в планковских единицах. Таким образом, для слабых магнитных полей и, следовательно, малых ускорений эти периоды всегда можно подобрать равными друг другу.

Рис. 3.15. Туннелирование приводит к появлению пары черных дыр, что может быть также описано половиной евклидовой диаграммы и половиной лоренцевской диаграммы

Как и в случае рождения электрон-позитронной пары, рождение пары черных дыр можно описать, соединяя вместе нижнюю половину евклидового решения во мнимом времени с верхней половиной лоренцевского решения в реальном времени (рис. 3.15). Можно считать, что черная дыра туннелирует сквозь евклидову область и выходит оттуда как пара противоположно заряженных черных дыр, которые ускоряются в противоположные стороны под действием магнитного поля. Решение для ускоренных черных дыр не является асимптотически

Квантовые черные дыры · 71

плоским, поскольку оно соответствует наличию однородного магнитного поля на бесконечности. Но, несмотря на это, можно сделать некоторые предположения относительно вероятности рождения пар черных дыр в локальной области магнитного поля. Можно считать, что после их рождения черные дыры попадают в области, где магнитное поле отсутствует. Тогда каждую черную дыру можно рассматривать отдельно как черную дыру в асимптотически плоском пространстве-времени. При этом в каждую дыру можно забросить произвольно большое количество материи и информации. После этого дыры начнут излучать и терять массу. Однако при этом они не могут потерять магнитный заряд из-за отсутствия частиц с магнитными зарядами. В конце концов они вернутся в исходное состояние с массой чуть больше, чем заряд. После этого можно свести обе дыры вместе и позволить им аннигилировать. Процесс аннигиляции может восприниматься как обращение во времени процесса рождения пар. Поэтому он будет представляться верхней половиной евклидова решения, соединенного с нижней половиной лоренцевского решения. В промежутке между рождением пары и ее аннигиляцией имеется длительный лоренцевский период, в течение которого черные дыры удаляются друг от друга, поглощают материю, излучают и потом возвращаются обратно. Топология гравитационного поля будет в этом случае топологией решения Евклида-Эрнста. Это не что иное как S ²x S ²с одной выколотой точкой (рис. 3.16).

Может вызвать беспокойство то, что при аннигиляции черных дыр будет нарушаться обобщенный закон термодинамики, поскольку в этом случае происходит исчезновение площади горизонта черных дыр. Однако оказывается, что площадь горизонта ускорения в решении Эрнста получается из области, которую бы мы имели, если бы там не было рождения пары. Конечно, это довольно тонкое вычисление, поскольку площадь горизонта ускорения в обоих случаях бесконечна. Тем не менее, существует хорошо определенная ситуация, при которой их разность конечна и равна площади горизонта черной дыры плюс разность в действии для этих решений с учетом и без учета рождения пар. Рождение пары можно понимать, так сказать, как процесс с нулевой энергией, при котором гамиль-

72 · Глава 3 — Стивен Хокинг

Рис. 3.16. Пара черных дыр, рождающихся за счет туннелирования, в конечном счете аннигилирует вновь за счет туннелирования

тониан с учетом рождения пары будет совпадает с гамильтонианом без рождения пар. Я благодарен Саймону Россу и Гарри Горовитцу за вычисление этой редукции прямо в течение лекции. Чудеса подобные этому — я подразумеваю результат, а не то, что они его получили — заставляют меня считать, что термодинамика черных дыр не может быть просто низкоэнергетическим приближением. Я глубоко убежден, что гравита-

Квантовые черные дыры · 73

ционная энтропия не исчезнет, даже если мы перейдем к более фундаментальной теории квантовой гравитации.

Из этого мысленного эксперимента можно видеть, что он приводит к внутренней гравитационной энтропии и потере информации в случае, когда топология пространства-времени отличается от топологии плоского пространства Минковского. Если размер черной дыры, полученной в результате рождения пары, значительно превышает планковский размер, то кривизна повсюду вне горизонтов будет мала по сравнению с планковским масштабом. Это означает, что приближение, которое я делал, отбрасывая кубические и более высокие поправки, является достаточно хорошим. Тогда заключение о том, что в черных дырах теряется информация, является вполне приемлемым.

Если информация теряется в макроскопических черных дырах, она должна также теряться в процессах, где благодаря квантовым флуктуациям метрики проявляются микроскопические, виртуальные черные дыры. Можно считать, что частицы и информация будут попадать в такие черные дыры и при этом теряться. Возможно, только там и происходят такие странные столкновения. Величины, подобные энергии и электрическому заряду, которые связаны с калибровочными полями, будут сохраняться, но вся другая информация и глобальные заряды будут теряться. Все это имеет далеко идущие следствия для квантовой теории.

Обычно предполагается, что система в чисто квантовом состоянии эволюционирует унитарным образом через последовательность чистых квантовых состояний. Но если существует потеря информации за счет появления и исчезновения черных дыр, унитарная эволюция невозможна. Вместо этого, из-за потери информации конечное состояние после исчезновения черной дыры будет так называемым смешанным квантовым состоянием. Его можно рассматривать как ансамбль различных чистых квантовых состояний, каждое со своей собственной вероятностью. Но поскольку система не находится с определенностью в каком-то одном состоянии, нельзя добиться того, чтобы вероятность конечного состояния стала нулевой за счет интерференции с любым квантовым состоянием. Это означает, что гравитация приводит к новому уровню непредсказуемости

74 · Глава 3 — Стивен Хокинг

Рис. 3.17

в физике сверх той неопределенности, которая обычно связывается с квантовой теорией. В следующей лекции (глава 5) я покажу, что мы, возможно, уже наблюдаем эту дополнительную неопределенность. Это означает конец надежде на научный детерминизм, т.е. на способность предсказывать будущее с определенностью. Похоже, что у Бога еще есть в рукаве пара трюков.

Глава 4. Квантовая теория и пространство-время. Р. Пенроуз

К великим физическим теориям ХХ столетия можно отнести квантовую теорию (KT), специальную теорию относительности (СТО), общую теорию относительности (ОТО) и квантовую теорию поля (КТП). Эти теории не являются независимыми одна от другой: общая теория относительности основана на специальной теории относительности, а квантовая теория поля учитывает квантовую механику и специальную теорию относительности (см. рис. 4.1).

Рис. 4.1. Великие физические теории ХХ столетия и их фундаментальные проблемы

Утверждается, что квантовая теория поля является наиболее точной физической теорией, достигая относительной точности 10^-11. Однако следует заметить, что общая теория относительности проверена в определенном смысле с точностью до 10^-14 (и эта точность, по-видимому, ограничена лишь точностью часов на Земле). Я говорю о двойном пульсаре Хул-

76 · Глава 4 — Роджер Пенроуз

са-Тейлора PSR1913 + 16, представляющем пару нейтронных звезд, вращающихся друг относительно друга, причем одна из них является пульсаром. ОТО предсказывает, что эта орбита будет постепенно сжиматься (а период укорачиваться) вследствие потерь энергии на излучение гравитационных волн. Это действительно наблюдается, и полное описание движения, включающее в себя ньютоновские орбиты на одном крае шкалы, учет поправок ОТО посередине, и учет ускорения вращения по орбите за счет излучения гравитационных волн на другом крае согласуется с предсказанием ОТО (которая, как я считаю, включает в себя ньютоновскую теорию) с отмеченной выше замечательной точностью при использовании данных за последние двадцать лет. Ученые, открывшие эту систему, заслуженно получили Нобелевскую премию за свою работу. Теоретики-специалисты по квантовой теории всегда заявляли, что точность их теории такова, что ОТО должна брать с нее пример, но сейчас я думаю, что пришла пора сказать то же самое про КТП.

Хотя все четыре теории достигли больших успехов, они все же не свободны от трудностей. В КТП каждый раз, когда мы пытаемся вычислить амплитуду для многосвязных фейнмановских диаграмм, мы получаем в ответе бесконечность. Эти бесконечности должны или вычитаться, или удаляться с помощью масштабных преобразований в результате перенормировки теории. ОТО предсказывает существование пространственно-временных сингулярностей. В KT существует «проблема измерения» — я опишу ее позднее. Вполне может быть, что решение различных проблем в этих теориях связано с тем, что они неполны. Например, многие ожидают, что КТП каким-то образом сможет «размазать» сингулярности ОТО. Проблема расходимостей в КТП может быть частично решена ультрафиолетовым обрезанием за счет ОТО. Я убежден, что и проблема измерений, как и другие, в конце концов будет решена, когда ОТО и КТП удастся объединить в некую новую теорию.

Я хотел бы сейчас обсудить вопрос о потере информации в черных дырах, который как я считаю, имеет отношение к последнему утверждению. Я согласен почти со всем, что

Квантовая теория и пространство-время · 77

 

Рис. 4.2-3. Диаграмма Картера

Рис. 4.2. Диаграмма Картера коллапса черной дыры	Рис. 4.3. Диаграмма Картера для испаряющейся черной дыры

 

по этому поводу сказал Стивен. Но в то время, как Стивен воспринимает потерю информации в черной дыре как еще одну неопределенность в физике, выходящую за рамки неопределенности, присущей KT, я рассматриваю ее как «дополнительную» неопределенность. Позвольте объяснить, что я понимаю под этим. Чтобы увидеть, как происходит потеря информации в пространстве-времени с черной дырой, можно построить диаграмму пространства-времени Картера (рис. 4.2). «Входящая» информация задана на нулевой бесконечности  в прошлом, а «выходящая» информация — на нулевой бесконечности в будущем. Можно считать, что пропавшая информация теряется, когда она проходит через горизонт черной дыры, но я предпочитаю точку зрения, что потеря происходит в результате встречи с сингулярностью. Рассмотрим коллапс материального тела в черную дыру с последующим испарением черной дыры за счет излучения Хокинга. (Конечно, для того, чтобы это случилось, нужно подождать достаточно долгое время, возможно, большее, чем время жизни Вселенной!) Я согласен с точкой зрения Стивена, что при коллапсе и в процессе испарения информация теряется. Мы можем рассмотреть диаграмму Картера этого полного пространства (рис. 4.3).

Сингулярность внутри черной дыры является пространственноподобной и имеет большую вейлевскую кривизну, как

78 · Глава 4 — Роджер Пенроуз

отмечено в моей предыдущей лекции (глава 2). Возможно, что в момент испарения черной дыры небольшая часть информации ускользает из оставшейся части сингулярности (которая, находясь в прошлом для будущего внешнего наблюдателя, будет иметь малую или нулевую вейлевскую кривизну), но эта крохотная добавка информации будет значительно меньше, чем информация, потерянная при коллапсе (под которым я понимаю любую разумную картину конечного исчезновения черной дыры). Если мысленно заключить эту систему в большой ящик, можно рассмотреть эволюцию фазового пространства материи внутри этого ящика. В области фазового пространства, соответствующего ситуациям, когда черная дыра присутствует, фазовые траектории, по которым эволюционирует система, будут сближаться, и отвечающие им объемы фазового пространства будут сокращаться. Это происходит благодаря потере информации в сингулярной черной дыре. Такое сокращение находится в прямом противоречии с известной теоремой классической механики, называемой теоремой Лиувилля, которая утверждает, что объем в фазовом пространстве остается неизменным. (Это классическая теорема. Строго говоря, мы должны были бы рассмотреть квантовую эволюцию в гильбертовом пространстве. Тогда нарушение теоремы Лиувилля будет соответствовать неунитарности эволюции.) Таким образом, пространство-время черной дыры нарушает этот закон сохранения. Однако в моем представлении эта потеря объема фазового пространства компенсируется процессом «спонтанного» квантового измерения, при котором информация добывается и объем фазового пространства увеличивается. Именно поэтому я воспринимаю неопределенность, возникающую благодаря потере информации в черной дыре, как «дополнительную» к неопределенности в квантовой теории; та и другая есть две стороны одной монеты (см. рис. 4.4).

Можно сказать, что сингулярности в прошлом содержат мало информации, а в будущем — много. Именно это лежит в основе второго начала термодинамики. Асимметрия этих сингулярностей также связана с асимметрией измерительного процесса. Поэтому обратимся к проблеме измерений в квантовой теории.

Квантовая теория и пространство-время · 79

Рис. 4.4. В присутствии черной дыры происходит уменьшение объема фазового пространства.

Этот процесс может быть сбалансирован увеличением объема фазового пространства за счет коллапса волновой функции R

Для иллюстрации принципов квантовой теории может быть использована установка с двумя щелями. Рассмотрим луч света, на пути которого поставлен непрозрачный барьер с двумя щелями А и В. После прохождения щелей на экране позади барьера возникает интерференционная картина из чередующихся ярких и темных полос. Отдельные фотоны попадают на экран в отдельных точках, но наличие интерференционных полос на экране показывает, что существуют точки, в которые фотоны не попадают. Пусть p — одна из таких точек. Тем не менее фотон может попасть в р, если закрыть какую-либо из щелей. Такая деструктивная интерференция, при которой альтернативные возможности могут иногда сокращаться, является одним из самых загадочных свойств квантовой механики. Мы объясняем это явление с помощью принципа суперпозиции, присущего квантовой теории. Пусть фотон может распространяться по путям А и В (соответствующие фотонные состояния обозначим |А> и |В>). Предположим, что это те же пути, по которым фотон достигает точки р, проходя либо через одну щель, либо через другую. Тогда принцип суперпозиции утверждает, что возможен и путь, описываемый комбинацией z |A > +w |B >, где z и w — комплексные числа.

80 · Глава 4 — Роджер Пенроуз

Неправильно рассматривать w и z как какие бы то ни было вероятности, поскольку они являются комплексными числами. Таким образом, состояние фотона является комплексной суперпозицией. Унитарная эволюция квантовой системы (которую я буду называть U) сохраняет суперпозиции: если zA ₀ +wB ₀является суперпозицией в момент времени t = 0. тогда через время t она эволюционирует в состояние zA_t + wB_t, где A_t и B_t представляют отдельные результаты эволюции возможных альтернатив за время t. При измерении квантовой системы, когда происходит увеличение квантовых альтернатив, приводящее к различимым классическим исходам, по-видимому, происходит другая «эволюция», называемая редукцией вектора состояния или «коллапсом волновой функции» (я буду обозначать ее как R). Вероятности появляются только тогда, когда система «измерена» в указанном смысле, причем вероятности двух событий относятся как | z | ²: | w | ².

Рис. 4.5. Простой эксперимент, который иллюстрирует, что квантовые вероятности, свойственные R, не применимы при обращении направления времени

Процессы U и R совершенно различны. Процесс U детерминирован, линеен, локален (в конфигурационном пространстве) и симметричен во времени. Процесс R недетерминирован, бесспорно нелинеен, нелокален и асимметричен по времени. Эта разница между двумя фундаментальными процессами эволюции в KT очень примечательна. Крайне маловероятно,

Квантовая теория и пространство-время · 81

что R может быть когда-либо сведено к U (такие попытки часто делаются). В этом и состоит проблема «измерений».

В частности, процесс R асимметричен по времени. Предположим, что луч света от источника фотонов L попадает на полупосеребренное зеркало, наклоненное под углом 45°, позади которого находится детектор D (рис. 4.5).

Поскольку зеркало посеребрено только наполовину, существует суперпозиция отраженного и прошедшего состояний с равными весами. Это приводит к 50% вероятности того, что отдельный фотон будет зарегистрирован детектором, а не поглощен полом лаборатории. Эти 50% являются ответом на вопрос: «Если L испустит фотон, то какова вероятность того, что D его зарегистрирует?». Ответ на такого типа вопросы определяется правилом R. Однако мы можем также спросить: «Если D зарегистрировал фотон, то какова вероятность того, что этот фотон был испущен L?» Можно думать, что вероятности следует вычислять так же, как и ранее. Процесс U симметричен по времени, не таков ли и процесс R? Однако примененное к прошлому (обращенное во времени) правило R не дает правильных вероятностей. На самом деле, ответ на этот вопрос определяется совершенно иными соображениями, а именно, вторым началом термодинамики, примененным в данном случае к стенкам, так что асимметрия в конце концов определяется ассиметрией Вселенной во времени.

Ааронов, Бергман и Либовиц (1964) показали, как провести измерительный процесс в предп