Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

,                              (4.1)

где Т ₁ – кинетическая энергия первого шара до удара; u ₂ и T ₂ – скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видно из формулы (4.1), для определения k надо найти u ₂. При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии:

                             (4.2)

Пользуясь этими законами, найдем u ₂, решая уравнения (4.2) совместно. Получим

Подставив это выражение в формулу (4.1) и сократив на V ₁ и m ₁, получим

Доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Подставив числовые значения, получим

 

5 Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу 0,08 кг, перекинута тонкая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены грузы с массами 0,1 кг и 0,2 кг. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением и массой нити пренебречь.

Решение

Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движений. Как видно из рисунка, на первый груз действуют две силы: сила тяжести m ₁ g и сила упругости (сила натяжения нити) T ₁. Спроектируем эти силы на ось x, которую направим вертикально вниз, и запишем уравнение движения (второй закон Ньютона) в скалярной форме:

m ₁ g - T ₁ = - m ₁ a.                                   (5.1)

Аналогично запишем уравнение для второго груза:

m ₂ g - T ₂ = m ₂ a.                                      (5.2)

r                                                                 T ^11         T ^12       T 1               T 2                                               x     m 1 g       m 2 g

Под действием двух моментов сил T ¹₁ r и T ¹₂ r относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение e. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

T ¹₂ r – T ¹₁ r = I ε ,                         (5.3)

где  есть момент инерции блока (сплошного диска). Угловое ускорение диска e связано с линейным ускорением a его крайних точек формулой e = a / r.

Сила T ¹₁ по модулю равна силе T ₁, и модуль силы T ¹₂ равен силе T ₂ согласно третьему закону Ньютона. Воспользовавшись этим, подставим в уравнение (5.3) вместо Т ¹₁ и Т ¹₂ выражения для Т ₁ и Т ₂, получив их предварительно из уравнений (5.1) и (5.2).

 (m ₂ g - m ₁ a) r -  (m ₁ g + m ₂ a) r =

После сокращения на r и перегруппировки членов найдем интересующее нас ускорение

                                            (5.4)

Подставим в (5.4) числовые данные

 

6 Платформа в виде сплошного диска радиусом R = 1,5 м и массой m ₁=180 кг вращается по инерции около вертикальной оси, совпадающей с геометрической осью платформы, с частотой n = 0,17 c^-1. В центре платформы стоит человек массой m ₂ = 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Решение

Платформа вращается по инерции, следовательно, момент внешних сил относительно оси вращения равен нулю. При этом условии проекция момента импульса системы человек-платформа на эту ось остается постоянной

                                   (6.1)

где J ₁и J ₂ - моменты инерции платформы и человека соответственно до перехода человека на край платформы, J ₁ ΄ и J ₂ ΄ - моменты инерции платформы и человека соответственно после перехода человека, ω и ω ΄ - угловые скорости системы до и после перехода человека на край платформы.

Момент инерции платформы (сплошного диска) относительно оси вращения при переходе человека не изменяется

                                  (6.2)

Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции в центре платформы можно считать равным нулю. На краю платформы момент инерции человека равен

J ₂ ¢ = m ₂ R ².                                  (6.3)

Выразим начальную угловую скорость вращения платформы через частоту вращения

                                      (6.4)

а конечную угловую скорость через линейную скорость человека относительно пола

                                        (6.5)

Подставим в формулу (6.1) выражения (6.2), (6.3), (6.4) и (6.5)

После сокращения на R ²и простых преобразований получим формулу для нахождения скорости

Подставляя числовые значения, получим

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

 

Задачи под номерами 1-10 относятся к разделу

КИНЕМАТИКА ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ.

Задачи под номерами 11-20 относятся к разделу