Работа, Мощность, энергия. Законы сохранения

 

I Закон  изменения  и  сохранения  импульса

1 Импульс материальной точкимассой m, двигающейся со скоростью ,

2   Центром масс системы тел называется точка c координатой

где m_i - масса i -й материальной точки системы; r_i - радиус вектор этой точки;   N - число материальных точек системы.

  3   Импульс тела

В случае поступательного движения импульс тела

где  - скорость движения центра масс.

4  Закон сохранения импульса для замкнутой системы

Закон сохранения импульса выполняется также для незамкнутых систем в следующих случаях: 1) если равнодействующая всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю, то сохраняется полный импульс системы; 2) если существует направление, проекция всех внешних сил на которое равна нулю, то сохраняется проекция импульса на это направление; 3) если время действия внешней силы очень мало, то полный импульс системы сохраняется.

5 Скорость изменения импульса системы равна сумме действующих на систему внешних сил

 

II Закон сохранения момента импульса

1 Момент импульса материальной точки относительно некоторой точки О

,

где m - масса материальной точки, движущейся со скоростью V;  - радиус-вектор материальной точки; a - наименьший угол между векторами.

2 Момент импульса твердого тела относительно оси вращения

где - момент инерции тела относительно оси z;  w - угловая скорость тела.

3 Закон сохранения момента импульса для замкнутой системы

 

III Работа, мощность, энергия. Закон сохранения механической  

  энергии

1  Работа  переменной  силы  на  пути   S

В частном случае постоянной силы, действующей под неизменным углом a к перемещению,

.

2 Мощность

В случае постоянной мощности

N = А /t,

где   А - работа, совершаемая  за  время   t.

3 Кинетическая энергия тела (частицы), движущегося со скоростью V

4 Связь между силой, действующей на частицу в данной точке поля, и потенциальной энергией частицы

5 Потенциальная энергия тела массой m, поднятого над поверхностью Земли на высоту h

П = mgh.

6 Потенциальная энергия упруго деформированного тела

,

где k - коэффициент упругости; x - величина деформации.

7 Закон сохранения механической энергии для консервативных систем

Т + П = Е = const

ПРИМЕРЫ  РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ

 

1 Свободно падающее тело в последнюю секунду своего падения проходит половину всего пути. Найти, с какой высоты падает тело, и какова продолжительность его падения.

Решение

Тело падает свободно, его ускорение равно 9,8 м/с². Уравнение пути для тела, падающего с высоты h, начальная скорость которого равна нулю,

                                                   (1.1)

По условию задачи, тело за последнюю секунду проходит половину всего пути, значит, первую половину пути тело проходит за время (t -1) c. Для первой половины пути можно записать

                                 (1.2)

Решим систему уравнений (1.1) и (1.2). Для этого подставим h из уравнения (1.1)  в  (1.2)  и  получим

Сокращая на g и раскрывая скобки, получаем квадратное уравнение относительно  времени  падения  тела   t

t ² - 4 t + 2 = 0.

Решение этого уравнения дает два положительных корня: t ₁ = 3,4 с и t ₂ = 0,58 с. Второй корень не имеет смысла, так как по условию задачи тело падает  больше  1 с.

Для нахождения высоты, с которой падает тело, подставим   t ₁ = 3,4 с  в уравнение (1.1)

.

2 Мальчик бросает мяч вверх под углом a = 70° к горизонту и попадает прямо в открытое окно, расположенное выше его плеча на расстоянии h = 9,6 м. Мяч влетает в окно горизонтально. Определить радиус кривизны траектории мяча в момент, когда он перелетает через подоконник, и начальную скорость мяча.

Решение

Тело, брошенное под углом к горизонту, движется по криволинейной траектории. Согласно принципу независимости движений, можно считать, что тело одновременно участвует в двух независимых движениях. Движение по горизонтали является равномерным, так как в этом направлении на тело не действуют силы (если пренебречь сопротивлением воздуха). Поэтому горизонтальная составляющая скорости V _x = V ₀cosa = const. Движение по вертикали под действием постоянной силы тяжести будет равнопеременным. Вертикальная составляющая скорости в начальный момент времени равна V _y0 = V ₀sina и изменяется с течением времени по закону равнозамедленного движения. В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю.

Так как по условию задачи мяч влетает в окно горизонтально, то в этот момент мяч находится в высшей точке траектории, для которой уравнения кинематики равнозамедленного движения принимают вид

                          (2.1)

Решаем эту систему уравнений относительно V ₀, выражая t из второго уравнения и подставляя в первое. Получаем

Подставляя числовые значения, получим V ₀=14,6 м/с.

Для нахождения радиуса кривизны траектории в момент перелета мячом подоконника воспользуемся тем, что полное ускорение тела, брошенного в поле силы тяжести, равно g. В верхней точке траектории тангенциальное ускорение тела равно нулю и нормальное ускорение равно полному. Нормальное ускорение связано с радиусом кривизны траектории формулой a _n = V ² / R. В верхней точке траектории V = V ₀cosa. Тогда

Подставляя  числовые  значения, получим   R = 2,5 м.

 

3 Тело массой m = 10 кг движется по наклонной плоскости вверх с ускорением   a. На тело действует сила   F = 100 Н, направленная вверх под углом a=30° к поверхности наклонной плоскости. Коэффициент трения m = 0,1. Угол наклона плоскости к горизонту b = 30°. Определить ускорение тела.

Решение

При решении динамических задач в большинстве случаев необходимо сделать чертеж и указать на нем все силы, действующие на тело.

Запишем второй закон Ньютона в векторном виде   Или .

Перейдем к скалярным уравнениям, для чего возьмем проекции всех векторных  величин  на  оси   X  и   Y:

на ось   Х: F cosa- F _тр - mg sinb = ma,                            (3.1)

на ось Y:         N - mg cosb = 0                          (3.2)

Сила трения равна

F _тр = m N.                                              (3.3)

Решаем систему уравнений  (3.1) - (3.3)  относительно   a

Подставляя числовые значения, получим a = 2,9 м/с².

 

4 Шар массой 1 кг, движущийся горизонтально с некоторой скоростью V ₁, столкнулся с неподвижным шаром массой 3 кг. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение