Соотношение неопределенностей

Волновые свойства микрочастиц приводят к тому, что микрочастицы не могут иметь одновременно точных значений двух сопряженных переменных (координаты и соответствующей компоненты импульса). Принцип неопределенности Гейзенберга утверждает, что произведение неопределенностей двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка ħ. Если одна из этих переменных имеет точное значение, то другая при этом оказывается совершенно неопределенной.

Соотношение неопределенностей для координаты и импульса

D x D p _x ≥ ħ,  D y D p _y ≥ ħ, D z D p _z ≥ ħ,

где D р _x, D p _y, D p _z– неопределенности в определении проекции импульса на соответствующие оси координат, D х, D y, D z  – неопределенности самих координат.

Соотношение неопределенностей для энергии и времени

D E D t ≥ ,

где D Е – неопределенность в определении энергии данного квантового состояния, D t - время жизни системы в этом состоянии.

 

 

ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА

 

1 Состав ядра. Атомное ядро, состоящее из Z протонов (заряженных положительно) и (A – Z) нейтронов (не имеющих заряда), обозначается символом , где Х – символ химического элемента; A – массовое число, Z - зарядовое число ядра.

2 Дефект массы. Дефектом массы ядра называется разность между суммой масс составляющих ядро отдельных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра

m = (Z m _p + (A – Z)m _n ) – m _{я .,}

где m_p - масса протона; m_n - масса нейтрона; m _я - масса ядра.

Энергия, которую необходимо затратить, чтобы расщепить ядро на отдельные нуклоны, называется энергией связи. Энергия связи ядра связана с дефектом массы ядра соотношением

Е = mc ².

Закон радиоактивного распада

N = N ₀ e ^{–λ t},

где N ₀ - число ядер в начальный момент времени (t ₀ = 0); N – число ядер, не распавшихся к моменту времени t;  l – постоянная распада.

Период полураспада  – время, за которое распадается половина имеющихся ядер. Период полураспада и постоянная распада связаны между собой соотношением

= (ln2) / λ.

Интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в e раз, называется средним временем жизни радиоактивного ядра

τ = .

4 Энергия ядерной реакции. Количество энергии, выделяющейся или поглощающейся в процессе ядерной реакции, можно определить по формуле

E = c ²( –  ),

где  и  – сумма масс частиц до и после реакции.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

1 Материальная точка массой m = 10 г совершает гармонические колебания с частотой n =0,2 Гц. Амплитуда колебания равна 5 см. Определить максимальное значение силы, действующей на материальную точку и ее полную энергию.

Решение:

Уравнение гармонического колебания

Тогда скорость и ускорение колеблющейся точки

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на точку,

 при  поэтому искомое максимальное значение силы .

Полная энергия колеблющейся точки

Проведя вычисления, получаем:

 

2 На экране наблюдается интерференционная картина в результате наложения лучей от двух когерентных источников с длиной волны 500 нм. На пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили стеклянную пластинку, показатель преломления которой , а толщина  мкм. Определить, на сколько полос сместится при этом интерференционная картина.

Решение:

    При внесении стеклянной пластинки оптическая разность хода между лучами изменится на величину  где  - толщина пластинки; n - ее показатель преломления.

    С другой стороны, внесение пластинки приведет к смещению интерференционной картины на k полос, т.е. дополнительная разность хода равна . Следовательно,

откуда найдем искомое k:

Проведя вычисления, получим k = 6.

 

3 Дифракционная решетка длиной  может разрешить в первом порядке две спектральные линии натрия (  и ). Определить, под каким углом в спектре третьего порядка будет наблюдаться свет с длиной волны  падающий на решетку нормально.

Решение:

    Для нахождения искомого угла запишем условие дифракционного максимума в спектре третьего порядка

где d - период дифракционной решетки,  - угол дифракции, k ₃ - порядок спектра. Откуда

                                      (3.1)

    Период дифракционной решетки  где l - длина решетки,  - общее число штрихов решетки.

Найдем N из формулы для разрешающей способности дифракционной решетки                                          ,

где . Тогда  и выражение для периода дифракционной решетки принимает вид

                                                                                       (3.2)

Подставив выражение (3.2) в (3.1), найдем искомый угол

Проведя вычисления, получим 20°42¢.

 

    4 Пучок естественного света падает на стекло с показателем преломления 1,73. Определить, при каком угле преломления отраженный от стекла пучок света будет полностью поляризован.

Решение:

    Согласно закону Брюстера свет, отраженный от диэлектрика, полностью поляризован, если тангенс угла падения

tg

где относительный показатель преломления второй среды (стекло, ) относительно первой (воздух, ), .

Тогда arctg (1,73) = 60°.

Так как tg и   (закон преломления света), то, приравнивая знаменатели последних двух выражений, получим, что . 

Последнее выражение можно записать в виде

cos cos (90° - g),

откуда следует, что = (90° - g). Тогда искомый угол преломления, при котором отраженный луч полностью поляризован, 

g = 90° -  = 90° - 60° = 30°.

 

5 Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, изменилась от 300 нм до 600 нм. Как изменилась температура тела? Во сколько раз уменьшилась энергетическая светимость и максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости тела?

Решение

1). Согласно закону смещения Вина длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения, связана с температурой соотношением λ = b ₁/ T.

Отсюда

T ₂ /T ₁ = λ₁ /λ₂ =1/2.

Т ₁ = 2 Т ₂.

Таким образом, температура тела уменьшилась вдвое.

2). По закону Стефана – Больцмана R = σ T ⁴ , отсюда

R ₂ / R ₁ = (T ₂ / T ₁) ⁴ = (1/2)⁴ = 1/16.

R ₁ = 16 R ₂.

Энергетическая светимость тела уменьшилась в 16 раз.

3). По второму закону Вина r _max = b ₂ T ⁵. Отсюда следует

 

r _{max 1} / r _{max 2} = (T ₁ / T ₂) ⁵ = 1/32.

Максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости тела уменьшилось в 32 раза.

6 На поверхность платиновой пластины падает ультрафиолетовое излучение с длиной волны 300 нм. Будет ли при этом наблюдаться фотоэффект?

Решение

Вычислим энергию падающего фотона:

E = hν = hc/ λ = 6,6·10^-34·3·10⁸/3·10^–7 = 6,6·10^–19  Дж.

Согласно табличным данным, работа выхода электронов из платины составляет 6,3 эВ или 10^–18 Дж. Таким образом, энергия падающего фотона оказывается меньше работы выхода электрона из платины, поэтому фотоэффекта наблюдаться не будет.

7 Определить энергию связи ядра лития ⁷Li.

Решение

    Для определения энергии связи ядра лития ⁷Li воспользуемся формулой

Е = Δ m с ² = c ²(3 m _p + (7 – 3 ) m _n  – m _я).

Используя внесистемные единицы измерения (эВ), энергию связи можно определить по формуле

Е = 931 Δ m (МэВ).

Определим дефект массы ядра в атомных единицах массы, используя табличные данные

Δ m = (3×1,00728 + 4×1,00867) – 7,01601 = 0,04051 а.е.м.

 

Энергия связи ядра ⁷Li равна Е = 931×0,04051 = 37,7 (МэВ).

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

 

Задачи под номерами 1-10 относятся к разделу

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

 

Задачи под номерами 11-20 относятся к разделу

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ КОНТУР. ЗАТУХАЮЩИЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

 

Задачи под номерами 21-30 относятся к разделу

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА