Несинусоидальные токи и напряжения.

 

Основные понятия, причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов.

 

Синусоидальные колебания являются самой простой формой периодического процесса. В сетях электроэнергетических систем принимается ряд мер для поддержания синусоидальной формы переменных токов и напряжений и устранения различных отклонений от синусоидальной формы. Но, например, в цепях электросвязи, электронных и полупроводниковых устройств отклонение от синусоидальной формы часто обусловлено самим рабочим процессом устройства. Поэтому знание элементов теории несинусоидальных периодических токов необходимо для понимания принципов действия устройств автоматики, электронных приборов и самой различной аппаратуры новой техники.

Периодическая несинусоидальная функция удовлетворяет условию , где Т - период функции, т. е. промежуток времени, по истечении которого весь процесс повторяется сначала; k - целое число.

Такая периодическая функция, как известно из курса математики, может быть представлена в виде гармонического ряда (ряда Фурье), в общем случае неограниченного, но при расчетах электрических цепей часто с конечным числом п гармонических (синусоидальных) составляющих или, короче, гармоник. Например, не синусоидальный периодический ток

, (1)

или

.     (1а)

В этом выражении  - постоянная составляющая (постоянный ток);  - первая (основная) гармоника, частота которой равна частоте несинусоидальной периодической функции - тока ; все остальные слагаемые называют высшими гармониками;  — начальная фаза k-ой гармонической составляющей, зависящая от начала отсчета времени (t = 0). Таким образом, периодический несинусоидальный ток можно представить в виде суммы постоянного тока и синусоидальных токов различных частот, кратных частоте первой гармоники, с различными начальными фазами. Такое представление часто применяется при расчетах цепей периодических несинусоидальных токов.

Рис. 1

На рис. 1 приведен график периодического несинусоидального тока , который содержит только первую  и вторую  гармоники. Аналогично (1а) записываются разложения в гармонический ряд периодических не синусоидальных напряжений на любом участке цепи:

,

ЭДС источников:

и других величин.

Выражение (1) можно преобразовать, применив известную из тригонометрии формулу синуса суммы двух углов:

.

Обозначив постоянные величины

, ,

получим

.

Применяя подобную запись ко всем гармоническим составляющим, несинусоидальную функцию можно выразить так:

. (2)

Особенность такой записи состоит в том, что гармоники составляют рад синусов и ряд косинусов с нулевыми начальными фазами.

Обратный переход от ряда (2) к ряду (1) нетрудно сделать, определив

 и .       (3)

При определении угла  нужно учитывать порознь знаки  и , так как от них зависит величина угла. Например, при положительных  и  их отношение положительно, а угол лежит в первой четверти, при отрицательных  и  их отношение тоже положительно, но угол находится в третьей четверти.

При построении синусоид по оси абсцисс нужно откладывать начальную фазу k-ой гармоники, пересчитав ее на масштаб основной гармоники, т.е. вместо  отложить .

Это следует из того, что градуировка оси абсцисс дается в масштабе первой гармоники, поэтому на отрезке  укладывается k полных циклов k-ой гармоники.

Коэффициенты , ,  ряда (2) определяют при помощи следующих формул:

;       (4)

;   (5)

.   (6)

Если закон изменения ординат несинусоидальной кривой можно выразить в виде уравнения, то выражения (4) – (6) позволяют в большинстве случаев выполнить аналитически разложение ее в тригонометрический ряд вида (2) и далее, если нужно, перейти к ряду (1). Постоянная составляющая, как видно из формулы (4), является средним значением функции за ее период.

Таким образом, постоянная составляющая в тригонометрическом ряду отсутствует, если среднее за период значение функции равно нулю.

Для расчета режима линейной цепи периодического не синусоидального тока (цепи, у которой параметры элементов r, L, С не зависят от тока и напряжения) применим метод наложения (см. § 1.12): каждую из гармонических составляющих и постоянную составляющую (если она есть) определим отдельно (независимо).

Рис. 2

В качестве примера рассмотрим расчет тока в цепи по рис. 2 при заданном напряжении источника периодической несинусоидальной ЭДС:

.

Ток в этой цепи

,

где по закону Ома для первой гармоники ,

для пятой гармоники , а  и .

При определении каждой из гармонических составляющих можно применять любые методы расчета цепей синусоидального тока, в том числе и комплексный.

Мгновенные значения токов и других величин можно рассчитать, как было отмечено выше, с применением метода наложения. Но практически весьма важно вычислить и действующие значения токов (напряжений, ЭДС), измеряемых амперметрами (вольтметрами).

Приведенное ранее определение действующего значения на основании сопоставления с тепловым действием постоянного тока справедливо для любого периодического тока. Поэтому действующее значение периодического несинусоидального тока определим выражением

.        (7)

Учитывая (1а), интеграл  можно представить в виде суммы интегралов четырех типов:

1) ,

так как этот интеграл по определению равен квадрату действующего значения  гармонической составляющей тока k-го порядка.

2)  - это квадрат постоянной составляющей тока;

3) , так как интеграл от синусоидальной величины за целое число периодов равен нулю;

4) , где k и l - номера гармоник, причем к ; интеграл равен нулю, так как произведение синусоидальных функций можно заменить разностью косинусоидальных: , т. е. подынтегральное выражение интеграла 4-го типа является разностью двух косинусоидальных функций, интеграл каждой из которых за целое число периодов равен нулю.

Таким образом, действующее значение периодического несинусоидального тока

,

или

,     (8)

т. е. действующее значение периодического несинусоидального тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и квадратов действующих значений всех гармонических составляющих.

Так же определяется действующее значение периодического несинусоидального напряжения:

  (9)

и аналогично любой другой периодической несинусоидальной величины.

Несинусоидальные периодические кривые характеризуются коэффициентом амплитуды, коэффициентом формы, а также коэффициентом искажения d.

Коэффициент искажения равен отношению действующих значений основной гармоники и всей функции

.        (10)

Для синусоиды d = 1.

Выражение мгновенной мощности

        (11)

справедливо для токов и напряжений с любой формой кривой.

Активная мощность любого периодического тока по определению равна среднему за период значению мгновенной мощности:

.     (12)

После подстановки в (11) напряжения u [см. (2) ] и тока i [см. (1)] в виде рядов активная мощность будет представлена суммой интегралов таких же четырех типов, которые были рассмотрены при определении действующего значения периодического несинусоидального тока:

1) , где .

2) ;

3) ;

;

4)  при .

Таким образом, активная мощность

, (13)

т. е. активная мощность периодического несинусоидального тока равна сумме активных мощностей всех гармонических составляющих и мощности постоянных составляющих напряжения и тока (мощности постоянного тока).

Реактивной мощностью периодических несинусоидальных токов можно условно считать величину

.    (14)

Полная мощность периодического несинусоидального тока определяется также условно:

.

 

Метод расчета электрической цепи с несинусоидальным напряжением на входе.

 

Цели и задачи расчета электрических цепей с несинусоидальными токами не отличается от тех, которые были указаны для цепей постоянного тока и цепей с синусоидальными напряжениями и токами.