Символический метод расчета электрических цепей переменного тока.

 

Выражение электрических величин комплексными числами. Законы Ома, Кирхгофа в символической форме.

 

Проведем на комплексной плоскости (рис. 4.21) из начала координат под углом  у оси действительных величин против часовой (по часовой) стрелки, если значение угла  () вектор, длина которого в масштабе построения равна амплитуде  синусоидальной величины. Конец этого вектора находится в точке, которой соответствует комплексное число

.

Рис. 4.21

При увеличении во времени фазы синусоидальной величины  угол между осью и вектором растет, а сам вектор будет представлять собой вращающийся вектор

.

При представлении синусоидальных величин комплексными числами можно применить эффективный комплексный метод анализа электрических цепей, который в настоящее время завоевал всеобщее признание.

Вектор на комплексной плоскости, длина которого в масштабе построения равна действующему значению синусоидальной величины, и соответствующее комплексное число называются комплексным действующим значением синусоидальной величины:

.     (126)

Из курса математики известно, что каждому вектору  в комплексной плоскости (рис. 4.21) соответствует комплексное число , которое можно выразить в форме:

· алгебраической - ;

· тригонометрической - ;

· показательной - .

При анализе цепей синусоидального тока применяют комплексные дейстыующие значения синусоидальных величин. Сокращенно их называют комплексными значениями, а соответствующие векторы на комплексной плоскости – векторами комплексных значений.

Совокупность векторов комплексных значений синусоидальных величин одной частоты называется векторной диаграммой. Пользуясь векторной диаграммой, сложение и вычитание комплексных значений можно заменить сложением и вычитанием соответствующих векторов. Это упрощает расчеты и делает их наглядными.

Взаимное расположение векторов комплексных значений на векторной диаграмме не изменится, если начальные фазы  всех комплексных значений уменьшить (увеличить) на одну и ту же величин. Это означает лишь одновременный поворот всех векторов на один и тот же угол. Часто при анализе цепей векторную диаграмму строят так, чтобы вектор одного комплексного значения был направлен вдоль оси действительных величин. Такой вектор называется исходным вектором. Его начальная фаза .

Направления синусоидальных величин (тока, напряжения и др.) в цепи периодически изменяются, но одно из двух направлений принимается положительным. Это направление выбирается произвольно и показывается стрелкой на схеме соответствующего участка цепи. При выбранном положительном направлении синусоидальная величина представляется мгновенным значением  и соответствующим комплексным значением . Следовательно, взаимно-однозначному представлению синусоидальных величин в виде мгновенных и комплексных значений соответствуют их одинаковые положительные направления (рис. 4.22).

Рис. 4.22

Зависимость между токами и напряжениями резистивных, емкостных и индуктивных элементов определяются происходящими в них физическими процессами. Математическое описание физических процессов в каждом из этих элементов зависит от выбранного способа представления синусоидальных величин.

Сопротивление.

Если ток в цепи с резистором синусоидальный , то по закону Ома напряжение на резисторе

,

где амплитуда тока и напряжения и их начальные фазы связаны соотношениями

.              (127)

Разделив обе части соотношения (127) на , получим соотношение для действующих значений напряжения и тока в резисторе:

.              (128)

Рис. 4.23

На рис. 4.23 показан график мгновенных значений синусоидальных тока и напряжения резистора, из которого видно, что синусоидальный ток и напряжение совпадают по фазе.

Представим ток и напряжение соответствующими комплексными значениями:

 и .

Учитывая (128), получим закон Ома в комплексной форме для резистора:

,        (129)

или

.

Рис. 4.24

На рис. 4.24 приведена векторная диаграмма резистора и показано, что векторы комплексных значений тока и напряжения совпадают по фазе.

Индуктивный элемент.

Если ток в катушке синусоидальный, то по закону электромагнитной индукции напряжение на концах катушки

,

где амплитуды напряжения и тока и их начальные фазы связаны соотношениями

.                   (130)

Разделив обе части соотношения (130) на , получим соотношение для действующих значений напряжения и тока в катушке:

.              (131)

Величина  называется индуктивным сопротивлением, а обратная ей величина  - индуктивной проводимостью. Величины  и  - параметры индуктивных элементов цепей синусоидального тока.

Рис. 4.25

На рис. 4.25 показан график мгновенных значений синусоидальных тока и напряжения катушки, из которого видно, что синусоидальный ток отстает по фазе от синусоидального напряжения на угол .

Представим ток и напряжение соответствующими комплексными значениями:

 и .

На рис. 4.26 приведена векторная диаграмма катушки и показано, что вектор комплексного значения тока отстает по фазе от вектора комплексного значения напряжения на угол . Пользуясь соотношениями (130) и (131), получим закон Ома в комплексной форме для индуктивного элемента:

,

или

.        (132)

Рис. 4.26

Величина  называется комплексным индуктивным сопротивлением, а обратная ей величина  - комплексной индуктивной проводимостью.

Емкостной элемент.

Если напряжение между выводами конденсатора изменяется синусоидально, то ток в емкостном элементе

,

где амплитуды напряжения и тока и их начальные фазы связаны соотношениями

.                   (133)

Разделив обе части соотношения (133) на , получим соотношение для действующих значений напряжения и тока в конденсаторе:

.              (134)

Величина  называется емкостным сопротивлением, а обратная ей величина  - емкостной проводимостью. Величины  и  - параметры емкостных элементов цепей синусоидального тока.

В противоположность индуктивному сопротивлению емкостное сопротивление уменьшается с увеличением частоты синусоидального тока и при постоянном напряжении бесконечно велико.

Рис. 4.27

На рис. 4.27 показан график мгновенных значений синусоидальных тока и напряжения конденсатора, из которого видно, что синусоидальное напряжение отстает по фазе от синусоидального тока на угол , т.е. смещение по фазе между напряжением и током .

Представим ток и напряжение соответствующими комплексными значениями:

 и .

Рис. 4.28

На рис. 4.28 приведена векторная диаграмма емкостного элемента и показано, что вектор комплексного значения напряженя отстает по фазе от вектора комплексного значения тока на угол .

Пользуясь соотношениями (133) и (134), получим закон Ома в комплексной форме для емкостного элемента:

,

или

.        (135)

Величина  называется комплексным емкостным сопротивлением, а обратная ей величина  - комплексной емкостной проводимостью.

Первый закон Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи в каждый момент времени равна нулю:

,          (136)

где n – число ветвей, сходящихся в узле; k – порядковый номер ветви.

В дальнейшем все синусоидальные токи, положительные направления которых выбраны к узлу (от узла), будем записывать со знаком минус (плюс). Например, для узла на рис. 4.29 и мгновенных значений синусоидальных токов

; ;

по первому закону Кирхгофа для любого момента времени

.

Представив все синусоидальные токи в (136) соответствующими им комплексными значениями, получим первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

,      (137)

т.е. алгебраическая сумма комплексных значений токов в любом узле цепи синусоидального тока равна нулю. Здесь комплексные значения токов, для которых положительные направления выбраны к узлу (от узла), записываются со знаком минус (плюс).

Рис. 4.29

Второй закон Кирхгофа.

По второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений всех участков любого контура электрической цепи в каждый момент времени равна нулю:

,          (136)

где напряжения, положительные направления которых совпадают (противоположны) с произвольно выбранным направлением обхода контура, записываются со знаком плюс (минус); m – число участков; k – порядковый номер участка.

Для контура схемы цепи, содержащего только пассивные элементы (резисторы, катушки, конденсаторы) и источники ЭДС, в каждый момент времени алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах контура равна алгебраической сумме ЭДС, т.е. второй закон Кирхгофа принимает вид

,         (137)

где n и m - числа пассивныз элементов и источников ЭДС в контуре.

В выражении (137) напряжения и ЭДС, для которых положительные направления совпадают (противоположны) с произвольно выбранным направлением обхода контура, записываются со знаком плюс (минус).

 

Расчет электрических цепей символическим методом. Векторные диаграммы.

 

Комплексный метод расчета цепи синусоидального тока заключается в следующем.

1. Представляем исходные данные о параметрах всех элементов цепи в комплексной форме, т.е. синусоидальные ЭДС источников напряжений и токи источников тока, заданных мгновенными значениями (в тригонометрической форме), индуктивные и емкостные элементы цепи соответствующими им комплексными значениями и комплексными сопротивлениями или проводимостями (см. таблицы).

2. Выбираем положительные направления комплексных токов во всех ветвях и указываем их стрелками на схеме цепи.

3. По законам Ома и Кирхгофа в комплексной форме составляем систему уравнений, определяющую режим работы цепи.

4. Решаем полученную систему уравнений и определяем комплексные значения токов в ветвях цепей и напряжений на ее элементах.

5. По найденным комплексным значениям токов и напряжений определяем соответствующие им мгновенные значения синусоидальных токов и напряжений.

Для упрощения вычислений при расчете линейных цепей синусоидального тока, так же как и линейных цепей постоянного тока, применимы различные расчетные методы: преобразования схем, узловых потенциалов, контурных токов, наложения.

При этом математические формулировки методов расчета цепей синусоидального тока. Нужно только все ЭДС, напряжения и токи заменить комплексными значениями соответствующих синусоидальных величин, в сопротивления элементов – комплексными сопротивлениями.

Рассмотрим общий, а затем – частные случаи цепи с последовательным соединением элементов, т.е. неразветвленные цепи.

Цепь с последовательным соединением элементов R, L, C (рис. 4.30).

Рис. 4.30

В данной цепи при действии источника с синусоидальной ЭДС ток также синусоидальный и напряжения на резисторе, катушке и конденсаторе равны

; ; .

Для расчета режима работы цепи комплексным методом представим все синусоидальные величины соответствующими комплексными величинами по (126)

; ; ; ; .

На рис. 4.30 стрелками показаны положительные направления тока, ЭДС и напряжений. Выберем направление обхода контура и запишем уравнение по второму закону Кирхгофа (137):

.       (138)

Здесь учтен закон Ома для всех трех элементов цепи в комплексной форме.

Из (138) найдем комплексный ток в цепи

,

или

,       (139)

где  - напряжение между выводами источника и пассивного участка.

Величина, стоящая в знаменателе формулы (139), называется комплексным сопротивлением неразветвленного участка цепи:

.        (140)

Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется комплексной проводимостью:

.

Обозначения комплексных сопротивлений и проводимости отличаются от обозначений комплексных значений тока и напряжения потому, что вторым соответствуют физические величины, изменяющиеся во времени, а первым – нет.

Каждому значению комплексного сопротивления  как комплексному числу соответствует точка на комплексной плоскости. Ее положение определяется вектором на комплексной плоскости (рис. 4.31).

Рис. 4.31

Этот вектор является геометрической интерпретацией комплексного сопротивления и имеет такое же обозначение . Слагаемые комплексного сопротивления изображены на рис. 4.31 также в виде векторов для двух случаев:  (рис. 4.31 а) и  (рис. 4.31 б). Геометрическая интерпретация комплексного сопротивления позволяет легко перейти от алгебраической формы записи комплексного сопротивления к тригонометрической и показательной формам

,          (141)

где  - модуль комплексного сопротивления, или полное сопротивление,  - аргумент комплексного сопротивления.

В зависимости от знака величины  аргумент комплексного сопротивления может быть либо положительным (  - индуктивный характер комплексного сопротивления, как на рис. 4.31 а), либо отрицательным (  - емкостной характер комплексного сопротивления, как на рис. 4.31 б), но всегда .

Подставив значение комплексного сопротивления в показательной форме в (139), получим выражение закона Ома для неразветвленной цепи:

,

или

,            (142)

где  - действующее значение тока;  - начальная фаза тока.

При известном комплексном токе в цепи комплексные напряжения на резисторе, катушке и конденсаторе рассчитываются по соответствующим формулам.

На рис. 4.32 приведены векторные диаграммы тока и напряжения неразветвленной цепи (см. рис. 4.30) для двух случаев:  (рис. 4.32 а) и  (рис. 4.32 б) при одинаковом напряжении .

Рис. 4.32

Если комплексное сопротивление цепи имеет индуктивный характер, то ток в цепи отстает по фазе от напряжения, так как угол  (см. рис. 4.31 а) и по (142) . Если комплексное сопротивление цепи имеет емкостной характер, то ток в цепи опережает по фазе напряжение, так как угол  (см. рис. 4.31 б) и по (142) . На векторной диаграмме положительное (отрицательное) значение угла  отсчитывает против направления (по направлению) движения часовой стрелки от вектора комплексного значения тока .

Цепь с последовательным соединением элементов R и L (рис. 4.33).

В цепи с последовательным соединением резистора и катушки (рис. 4.33 а) выражения (138) и (140) принимают вид

,         (143)

которым соответствуют на векторных диаграммах прямоугольные треугольники напряжений и сопротивлений (рис. 4.33 б и в).

Из прямоугольных треугольников напряжений и сопротивлений следует, что полное сопротивление цепи равно

,

а приложенное к ней напряжение и ток в цепи равны

; .

Рис. 4.33

Цепь с последовательным соединением элементов R и С (рис. 4.34).

В цепи с последовательным соединением резистора и конденсатора (рис. 4.34 а) выражения (138) и (140) принимают вид

,         (143)

которым соответствуют на векторных диаграммах прямоугольные треугольники напряжений и сопротивлений (рис. 4.34 б и в).

Из прямоугольных треугольников напряжений и сопротивлений следует, что полное сопротивление цепи равно

,

а приложенное к ней напряжение и ток в цепи равны

; .

Рис. 4.34

 

Электрические цепи с взаимной индукцией.

 

Рассмотрим особенности расчета цепей, в которых есть индуктивно связанные катушки. Начнем в простейшей цепи, состоящей из двух последовательно соединенных катушек, представленных последовательными схемами замещения. В этом случае возможно их согласное или встречное включение.

При согласном включении (рис. 4.35 а) магнитный поток первой катушки Ф₁₁ и часть магнитного потока второй катушки, пронизывающего первую Ф₂₁, суммируются. Также суммируются потоки Ф₂₂ и Ф₁₂, суммируются и возбуждаемые ими ЭДС индукции и взаимной индукции, соответственно равны

;             (144)

и

; ,    (145)

где при последовательном соединении .

Рис. 4.35

Напряжение u1 на выводах первой катушки при согласном соединении состоит из трех слагающих:

или в комплексной форме

.            (146)

Уравнение (146) записано так же, как и уравнение по второму закону Кирхгофа в комплексной форме, только слева вместо ЭДС источника питания стоит напряжение на выводах (т.е. напряжение питания цепи из двух последовательно соединенных катушек), а справа дополнительно учтено падение напряжения, компенсирующее ЭДС взаимной индукции.

Аналогично напряжение на выводах второй катушки

или в комплексной форме

.            (147)

Напряжение на выводах цепи

или

.       (148)

Векторная диаграмма цепи при последовательном согласном включении двух катушек показана на рис. 4.35 б.

Для того, чтобы отличить на схемах согласное включение от встречного, один из выводов катушек называют началом, а другой – концом. У одной из катушек начало и конец могут быть выбраны произвольно. У второй катушки началом называется тот вывод, который надо присоединить к концу первой, чтобы получилось согласное соединение. Т.е. при согласном включении катушки соединены друг с другом разноименными выводами. Начало катушек отмечается каким-либо знаком, например точкой (рис. 4.35 а), звездочкой и т.д.

При встречном включении катушек ЭДС самоиндукции и взаимной индукции вычитаются. Поэтому напряжение на выводах первой катушки

или

.            (149)

Аналогично

.            (150)

и

.       (151)

Рис. 4.36

Встречное включение получается, если катушки соединены друг с другом одноименными выводами (рис. 4.36 а). На рис. 4.36 б дана векторная диаграмма цепи при встречном включении катушек.

Суммарная (эквивалентная) индуктивность цепи и ее индуктивное сопротивление при согласном включении (148) больше, чем при встречном (151). При согласном соединении

,

и

;            (152)

при встречном соединении

,

и

;            (153)

В качестве примера параллельного соединения катушек рассмотрим воздушный трансформатор (рис. 4.37).

Рис. 4.37

Обмотка трансформатора, присоединяемая к источнику питания с напряжением , называется первичной, другая, к которой подключается приемник, например, с активным сопротивлением R, называется вторичной.

Положительные направления напряжения  на вторичной обмотке и тока  во вторичной цепи могут быть выбраны произвольно, например так, чтобы токи входили в одноименные выводы (рис. 4.37). В этом случае, как и при последовательном соединении, надо считать, что ЭДС самоиндукции и взаимной индукции суммируются и компенсирующие их напряжения записываются в уравнениях с одинаковыми знаками. Следовательно, напряжение на выводах первичной обмотки записывается аналогично (146):

.            (154)

Таким образом, напряжение  состоит из активной составляющей , совпадающей по фазе с током  (рис. 4.38), составляющей , опережающей по фазе ток  на 90°, и составляющей , опережающей по фазе ток  на 90°.

Рис. 4.38

Так как во вторичной цепи нет источника питания, то можно по второму закону Кирхгофа записать

, (155)

где  - напряжение на приемнике и оно же (рис. 4.37) на выводах вторичной обмотки;  - сопротивление вторичной цепи.

ЭДС взаимной индукции во вторичной обмотке согласно (145)

,

или из (155)

. (156)

На диаграмме (рис. 4.38) показано, что ЭДС  отстает по фазе от тока  на 90° и равна сумме падений напряжений на сопротивлениях  и  и на индуктивности .

Из (156) определяется ток вторичной цепи

.

Подставив это выражение тока  в (154), для напряжения на первичной обмотке получим

.            (157)

где  - входное сопротивление наружного трансформатора.

Второе слагаемое входного сопротивления называется вносимым сопротивлением в первичную цепь:

                   (158)

и учитывая влияние вторичной цепи с сопротивлением  на ток  первичной.

Для источника питания нагруженный трансформатор можно представить простой схемой замещения (рис. 4.39).

Действительно, по закону Ома

,

что совпадает с (157).

Из (157) определяется ток

,              (159)

после чего ток  рассчитывается по (156).

Рис. 4.39

Итак, при заданных параметрах первичной и вторичной цепей и напряжении источника питания можно рассчитать токи  (159), а затем  (156), после чего построить векторную диаграмму.

В частном случае ненагруженного трансформатора, т.е. в режиме холостого хода, =0,  и по (155) напряжение на вторичной обмотке

.               (160)

Возможны два случая параллельного соединения катушек: одноименными и разноименными выводами к общему узлу.

Рис. 4.40

На рис. 4.40 а показано присоединение катушек одноименными выводами – началами к общему верхнему узлу. Выбрав положительные направления токов так, как показано на рис. 4.40 а, будем считать такое соединение согласным (точки входят в одноименные выводы).

Напряжение на первой ветви

.      (161)

Напряжение на второй ветви

,      (162)

где  и .

Исключая из (161) и (162) ток , определяем ток в первой ветви:

.       (163)

Аналогично, исключая ток , находим ток во второй ветви:

.      (164)

Уравнения для напряжения  при встречном соединении катушек отличаются от написанных для согласного соединения только знаком перед слагаемым с взаимной индуктивностью M.

Естественно, что ток в неразветвленной части цепи для любой из параллельных схем соединения катушек определяется по одной и той же формуле:

.                        (165)

На рис. 4.40 б показана векторная диаграмма для цепи при параллельном соединении катушек по рис. 4.40 а.