Энергия и импульс свободной материальной частицы

Импульсом частицы, как обычно, называют вектор, где – символическое обозначение вектора, компоненты которого равны производным от функции по соответствующим компонентам вектора. Используя соотношение (2.4.17), находим:

При малых скоростях это выражение переходит в классический результат:. В предельном случае импульс обращается в бесконечность.

Производная от импульса по времени есть сила, действующая на частицу. Пусть скорость частицы изменяется только по направлению, т.е. сила направлена перпендикулярно скорости. В этом случае

Если же скорость меняется только по величине, т.е. сила направлена по скорости, то

65

Таким образом, в рассмотренных случаях отношение силы к ускорению различно.

Как и в классической механике, энергией частицы называется величина

Подставляя в (2.5.4) выражения (2.4.17) для функции Лагранжа и (2.5.1) для импульса, получаем:

Эта важная формула показывает, в частности, что в релятивистской механике энергия свободной частицы не обращается в нуль при условии

, а остается конечной величиной, равной

Эту величину называют энергией покоя частицы, а величину

– массой покоя. При малых скоростях, разлагая выражение (2.5.5) по степеням, находим классическое выражение для кинетической энергии (за вычетом энергии покоя):

Необходимо отметить, что хотя мы говорим о «частице», ее «элементарность» нигде не используется. Поэтому представленные формулы в равной степени применимы и к любому «сложному» телу, состоящему из многих частиц, причем под величиной следует понимать полную массу тела, а под величиной – скорость его движения как целого. В частности, формула (2.5.6) справедлива и для любого покоящегося как целое тела. Это означает, что в релятивистской механике энергия свободного тела, т.е. энергия замкнутой системы, оказывается вполне определенной, всегда положительной величиной, непосредственно связанной с массой тела. При этом в классической механике энергия тела определена с точностью до произвольной аддитивной постоянной и может быть как положительной, так и отрицательной величиной.

Отметим также, что энергия покоящегося тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц и энергию их взаимодействия друг с другом. Другими словами, величина не равна сумме, где – масса ой

66

частицы. Поэтому величина массы тела не равна сумме масс входящих в состав тела частиц. Таким образом, в релятивистской механике не имеет места закон сохранения массы: масса сложного тела не равна сумме масс его частей. Справедливым остается только закон сохранения энергии, в которую включается и энергия покоя частиц, составляющих рассматриваемое тело.

Далее возводя выражения (2.5.1) и (2.5.5) в квадрат и сравнивая их, находим следующее соотношение между энергией и импульсом частицы:

Как и в классической механике, энергия, выраженная через импульс, называется функцией Гамильтона:

При малых импульсах

т.е. за вычетом энергии покоя функция Гамильтона соответствует известному классическому выражению.

Из выражений (2.5.1) и (2.5.5) также следует соотношение между энергией, импульсом и скоростью свободной частицы:

При условии импульс и энергия частицы, имеющей конечную энергию (и массу) покоя обращаются в бесконечность. Это означает, что частица с отличной от нуля массой не может двигаться со скоростью света. Однако в релятивистской механике могут существовать «частицы» с нулевой массой, движущиеся со скоростью света. В этом случае из (2.5.11) следует

Пусть, как обычно, система отсчета движется относительно системы отсчета со скоростью вдоль оси. Формулы преобразования импульса и энергии свободной частицы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой имею вид:

67

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Сформулировать принцип относительности. Чем отличается принцип относительности Эйнштейна от принципа относительности Галилея? 2. Как определить скорость распространения взаимодействий? Чему равна эта скорость? Зависит ли эта скорость от выбора инерциальной системы отсчета? 3. Как определяется событие в релятивистской механике? Дать

определение мировой точки и мировой линии. 4. Записать выражение для интервала между событиями. Изменится ли значение этого интервала при переходе в другую инерциальную систему отсчета? Дать определение времениподобного и пространственноподобного интервалов. 5. Является ли время абсолютной величиной? Как определить

промежуток времени между двумя событиями? 6. Дать определение собственного времени. Какие часы показывают больший промежуток времени между двумя событиями – покоящиеся или движущиеся? 7. Записать формулы преобразований Лоренца и Галилея. Установить

связь между ними. 8. Дать определение понятиям собственной длины и лоренцева сокращения. Какова связь между длиной и объемом покоящегося и движущегося стержня? 9. Записать выражение для функции Лагранжа. На этой основе найти импульс релятивистской частицы и ее энергию. Дать определение энергии покоя. 10. На основе выражений (2.4.2) и (2.4.6) установить соотношение между энергией, импульсом и скоростью свободной частицы. Каково соотношение между энергией и импульсом частицы с массой, равной нулю?

68