Фазовое пространство. Оператор эволюция замкнутой системы

Для геометрической интерпретации динамики механической системы часто используется понятие о так называемом фазовом пространстве как о пространстве измерений, на координатных осях которого откладываются значения обобщенных координат и обобщенных импульсов данной механической системы. Каждая точка этого пространства, которую мы будем обозначать

и называть фазовой точкой, отвечает определенному состоянию системы. Таким образом, фазовое пространство является абстрактным пространством измерений, состоящим из всевозможных векторов, каждому их которых соответствует одно из микросостояний рассматриваемой системы материальных точек (с учётом наложенных связей).

При движении системы изображающая ее фазовая точка описывает в фазовом пространстве соответствующую линию, называемую фазовой траекторией. Другими словами, решения уравнений Гамильтона (1.4.9) при начальных условиях определяют параметрическую зависимость от времени, вдоль которой с течением времени перемещается фазовая точка системы, т.е. фазовую траекторию системы. Положение фазовой точки однозначно определяет

38

динамическое состояние (вектор состояния) системы в данный момент времени.

Если начальные точки не лежат на одной фазовой траектории, т.е. из одной точки нельзя попасть в другую за конечное время, то они порождают различные фазовые траектории. Совокупность всевозможных фазовых траекторий образует фазовый портрет динамической системы. Изучение фазовых портретов как способа геометрического представления решений обыкновенных дифференциальных уравнений было начато А. Пуанкаре в XIX веке.

Различные фазовые траектории динамической системы, описываемые достаточно гладкими функциями, не пересекаются в фазовом пространстве. В противном случае, выбирая точку пересечения за начальное условие, мы получили бы, что из одной точки начинаются более одной фазовой траектории. А это противоречит теореме Коши о единственности решения соответствующей системы дифференциальных уравнений первого порядка. Строго говоря, теорема Коши имеет локальный характер, т.е. единственность решения гарантируется в некоторой окрестности начальной точки. Кроме того, теорема Коши содержит только достаточные условия существования и единственности решения — при нарушении условий теоремы Коши решение динамической задачи может или не иметь решений, или иметь несколько решений. Тем не менее, считается, что через каждую точку фазового пространства проходит одна и только одна траектория, удовлетворяющая уравнениям Гамильтона (1.4.9). Поэтому фазовый портрет можно представить как фазовое пространство, заполненное непересекающимися фазовыми траекториями. Его можно трактовать как изображение некоторой воображаемой фазовой жидкости, отдельные частицы которой движутся по фазовым траекториям.

Фазовые траектории могут представлять собой отдельные стационарные (особые) точки, замкнутые кривые, отрезки кривых конечной длины, кривые, неограниченные в одну или обе стороны. Траектории, являющиеся точками, отвечают особым, стационарным состояниям динамической системы. Периодическое движение, очевидно, изображается замкнутой фазовой траекторией, обегаемой фазовой точкой за время, равное периоду изменения состояния динамической системы. Устойчивость стационарного состояния или состояния периодического движения означает, что фазовые траектории, близкие к изображающим эти состояния фазовым траекториям, не удаляются от них со временем.

Рассмотрим теперь произвольную динамическую переменную, которая не зависит от времени явно:. Ее значение также изменяется во времени вследствие движения. Скорость такого изменения согласно (1.5.12) определяется равенством

39

Соотношение (1.6.1) является наиболее фундаментальным уравнением классической механики. С учетом свойства скобок Пуассона (1.5.8) уравнения Гамильтона (1.4.9) содержатся в нем в качестве частного случая. _{В этой связи обратим внимание на постановку задачи в динамике.} Чтобы получить уравнение (1.6.1) мы считали, что вид динамической переменной, которая задана в некоторый начальный момент времени, остается неизменным с течением времени:. При этом, независимые переменные — обобщенные координаты и импульсы удовлетворяют уравнениям Гамильтона.

Однако мы можем сформулировать центральную задачу динамики иначе: зная динамическую переменную в момент времени —, найти динамическую переменную в момент времени, если закон движения выражен уравнением (1.6.1). Такая постановка задачи позволит нам в дальнейшем последовательно перейти к решению задач статистической физики.

Для решения поставленной задачи обратим внимание, что представление о скобках Пуассона можно использовать для определения класса операторов, действующих на динамические переменные, определенные в фазовом пространстве. В частности, запишем результат действия скобки Пуассона на динамическую переменную в операторном виде:

Оператор будем называть оператором Пуассона:

В этих обозначениях соотношение (1.6.1) принимает следующий вид:

Запишем решение этого уравнения с начальным условием при

40

Для доказательства справедливости равенства (1.6.5) необходимо определить оператор вида.

Пусть оператор преобразует по некоторому правилу функцию, причем в результате образуется другая функция:. Тогда, по определению, для любого оператора можно определить оператор, где – любое число. Результатом действия оператора на функцию является ряд

При этом применение оператора к функции есть воздействие оператора на эту функцию раз:

Чтобы доказать равенство (1.6.5), представим решение уравнения (1.6.1) в виде ряда по степеням:

Подставляя (1.6.7) в уравнение (1.6.4), учитывая определение оператора Пуассона (1.6.2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра, нетрудно убедиться, что коэффициенты разложения удовлетворяют соотношению

что и требовалось доказать.

Теперь мы можем определить оператор

41

Тогда соотношение (1.6.5), которое дает формальное решение начальной задачи для уравнения (1.6.1), принимает вид

Оператор называют оператором эволюции (оператором Грина). Он определяет преобразование динамической переменной от начального значения к значению в момент времени.

Прежде чем следовать дальше, отметим важнейшие свойства оператора эволюции. Очевидно, все действительные числа не изменяются при осуществлении преобразования. В самом деле, в силу равенства (1.5.6) для скобок Пуассона и определения (1.6.9) легко убедиться, что

Из (1.6.9) непосредственно следует, что при совпадающих моментах времени оператор эволюции равен единичному оператору:

Преобразование эволюции (1.6.10) позволяет аналогичным образом связать два последовательных динамических состояния системы, которые в соответствии с уравнением движения (1.6.4) реализуются в моменты времени и. Аналогично (1.6.10) запишем

При этом из (1.6.10) и (1.6.13) следует, что

Тогда из (1.6.14) вытекает следующее операторное равенство для любых трех последовательных моментов времени:

Свойство оператора эволюции (1.6.15) непосредственно следует из свойства экспоненты, фигурирующей в соотношении (1.6.9): сложение показателей экспоненты приводит к умножению самих экспонент.

42

Теперь мы можем найти оператор, обратный оператору эволюции:

который согласно (1.6.9) и (1.6.14) равен

Таким образом, из уравнения динамики (1.6.1) строго следует замечательное соотношение:

Оператор эволюции, фигурирующий в (1.6.18), описывает эволюцию системы «в обратном времени»:

Если в (1.6.13) эволюция системы следует от более раннего момента времени к более позднему, то соотношение (1.6.19) описывает движение системы от момента времени к предшествующему моменту, т.е. в прошлое. При этом происходит «возврат» исходного значения динамической переменной к точно тому же значению

, которое «в прямом времени» было начальным. Этот результат, проявляющий детерминистский характер классической механики, является следствием обратимости во времени уравнений динамики, что не противоречит очевидному факту о невозможности повернуть время вспять. Речь идет о возможности, имея результат для динамической переменной в некоторый момент времени, с помощью уравнений классической механики «посмотреть», каково было значение этой динамической переменной в предыдущие моменты времени. Ситуация аналогична возможности «прокрутить» фильм, в котором запечатлен некоторый процесс, в обратном направлении.

Очевидно, обобщенная координата, как и обобщенный импульс, являются частным случаем динамической переменной, поэтому полученные выше результаты в равной степени относятся и к этим величинам.

В результате можно показать, что преобразование эволюции, связанное с оператором эволюции, связывает с каждым элементом

43

из пространства для динамических переменных другой элемент из этого же пространства. Тем самым, если в качестве базисных координат в фазовом пространстве взяты величины

то преобразованные величины

образуют эквивалентный базис. Рассматриваемые величины в момент времени подчиняются тем же самым уравнениям динамики, что и в начальный момент. Это утверждение является отражением инвариантности законов механики относительно эволюции системы.

Еще одно следствие можно выразить следующим образом. Пусть с использованием оператора эволюции базисные переменные преобразуются в величины:

Тогда имеется следующее совершенно общее соотношение, справедливое для любой динамической переменной:

Иными словами, при преобразовании эволюции, основанном на использовании оператора, произвольная динамическая переменная переходит в ту же самую функцию преобразованных переменных. Таким образом, мы показали, что результаты различных формулировок динамической задачи эквивалентны.

Исходя из единственности решения уравнений Гамильтона, нетрудно обратить уравнения (1.4.10). Действительно, если считать величины и новыми начальными условиями и решать уравнения Гамильтона для времени, то мы приходим снова к начальной точке. Такой результат является следствием обратимости уравнений динамики:

44

В результате мы нашли функций, и от обобщенных переменных и времени, которые обладают свойством оставаться постоянными вдоль любой траектории системы частиц.

Если исключить из этих уравнений зависимость от времени, то останется функций, которые постоянны вдоль фазовой траектории и зависят только от переменных и, т.е. являются интегралами движения. Таким образом, мы в самом общем виде установили, что число интегралов движения у системы, которая обладает степенями свободы, равно.

1.7. Канонические преобразования. Теорема Лиувилля

Выбор обобщенных координат при рассмотрении динамики системы не ограничен никакими условиями. Этими координатами могут быть любые величин, которые однозначно определяют положение в пространстве входящих в состав системы материальных точек. Формальный вид уравнений Лагранжа (1.3.14) не зависит от этого выбора, т.е. уравнения Лагранжа инвариантны по отношению к преобразованию от координат к любым другим наборам независимых величин. Новые координаты являются функциями прежних координат:

Наряду с уравнениями Лагранжа при таком преобразовании сохраняют свою форму и уравнения Гамильтона (1.4.9). При этом уравнения Гамильтона допускают гораздо более широкий класс преобразований переменных. Это связано с тем, что в динамике Гамильтона импульсы играют роль независимых переменных наряду с координатами. Таким образом, понятие преобразования может быть расширено, в частности, оператор эволюции является частным примером преобразования всех 2 независимых переменных и к новым величинам и:

Такое расширение класса допустимых преобразований является одним из существенных преимуществ динамики Гамильтона.

Соответствующие преобразования, при которых уравнения движения сохраняют свой канонический вид, называют каноническими. Для рассматриваемого случая замкнутой системы функция Гамильтона инвариантна относительно любого канонического преобразования.

Всякое каноническое преобразование характеризуется своей функцией, которую называют производящей функцией преобразования.

45

Например, если задать производящую функцию как функцию «старых» координат и «новых» координат:, то установление связи между старыми и новыми переменными осуществляется по формулам:

Иногда бывает удобно выразить производящую функцию не через переменные, а через прежние координаты и новые импульсы. Тогда, используя преобразование Лежандра, можно показать, что производящей будет функция:

Аналогичным образом можно перейти к формулам канонических преобразований, выраженных через производящие функции, зависящие от переменных или.

Вернемся теперь к рассмотрению фазового пространства. Произведение дифференциалов

можно рассматривать как «элемент объема» фазового пространства. Тогда интеграл, взятый по определенной области фазового пространства, задает объем этой области. При рассмотрении замкнутой системы, для которой выполняется закон сохранения энергии, соответствующая область фазового пространства определяется поверхностью заданной энергии: и другими независимыми интегралами движения, число которых равно.

Покажем, что величина объема определенной области фазового пространства обладает свойством инвариантности по отношению к каноническому преобразованию: если произвести каноническое преобразование от переменных к «новым» переменным, то величины объемов областей фазовых пространств и одинаковы:

46

Как известно, преобразование переменных в кратном интеграле производится по формуле

где — якобиан преобразования:

Поэтому доказательство теоремы (1.7.5) сводится к доказательству того, что якобиан всякого канонического преобразования равен единице:

Воспользуемся известным свойством якобианов, которое позволяет обращаться с ними в определенном смысле как с дробями. «Разделив числитель и знаменатель» якобиана на, получим:

Согласно другому известному правилу якобиан, у которого в «числителе» и «знаменателе» фигурируют одинаковые величины, сводится к якобиану от меньшего числа переменных, причем при всех дифференцированиях в нем выпавшие одинаковые величины должны считаться постоянными. Поэтому

Рассмотрим якобиан, стоящий в числителе соотношения (1.7.9). Согласно определению это есть определитель ранга, составленный из элементов (элемент на пересечении –й строки и –го столбца). Для их вычисления используем каноническое преобразование с помощью производящей функции в форме (1.7.4):

47

Таким же образом найдем, что в знаменателе (1.7.9) элемент на пересечении –й строки и –го столбца определителя равен. Это значит, что оба определителя отличаются только заменой строк на столбцы и обратно. Поэтому они равны друг другу, так что отношение (1.7.9) равно единице, что и требовалось доказать.

Представим себе теперь, что каждая точка данной области фазового пространства перемещается со временем согласно уравнениям движения рассматриваемой системы. Тем самым будет перемещаться и вся область. При этом ее объем остается неизменным:

Это утверждение, известное как теорема Лиувилля, непосредственно следует из инвариантности фазового объема при канонических преобразованиях, а также из того, что и изменение переменных во времени может быть рассмотрено как каноническое преобразование.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Используя законы Ньютона, вывести закон сохранения энергии для

механической системы, состоящей из частиц.

2. Используя законы Ньютона, вывести закон сохранения импульса для

механической системы, состоящей из частиц.

3. Используя законы Ньютона, вывести закон сохранения момента

импульса для механической системы, состоящей из частиц.

4. Записать функцию Лагранжа для механической системы, состоящей из частиц и находящейся во внешнем потенциальном поле. Записать уравнения Лагранжа для такой системы.

5. Сформулировать принцип наименьшего действия и вывести на его

основе уравнения Лагранжа.

48

6. Записать функцию Гамильтона для механической системы, состоящей из частиц и находящейся во внешнем потенциальном поле. Записать уравнения Гамильтона для такой системы.

7. Используя уравнения Гамильтона, вывести закон сохранения энергии для механической системы, состоящей из частиц и находящейся во внешнем потенциальном поле.

8. Записать функцию Гамильтона для системы, состоящей из двух частиц, как функцию координат и импульсов движения центра масс и относительного движения частиц.

9. Дать определение скобок Пуассона для двух динамических функций и записать свойства скобок Пуассона. Используя тождество Якоби доказать справедливость утверждения о том, что динамическая функция, являющаяся скобкой Пуассона двух интегралов движения, также является интегралом движения.

10. Записать уравнение движения для динамической функции и получить из него уравнения Гамильтона. Дать определение понятию интеграла движения. Сколько интегралов движения характеризует замкнутую механическую систему, состоящую из частиц?

11. Дать определение фазового объема. Сформулировать теорему Лиувилля для фазового объема. Чем (какими динамическими функциями) определяется поверхность, ограничивающая фазовый объем замкнутой системы?

49