Уравнения Ньютона и законы сохранения

Основой классической механики являются уравнения Ньютона (второй закон Ньютона) для динамики (изменению во времени) системы из материальных точек, записанные в декартовой системе координат:

Здесь – вектор положения (радиус- вектор) в пространстве для й частицы, имеющей массу;

– вектор скорости частицы:; – вектор ускорения частицы:; – вектор силы, действующей на ю частицу, с проекциями,. Величина силы в общем случае может зависеть как от положения этой частицы в пространстве, так и от положений остальных частиц, где – символическое обозначение совокупности векторов положений всех частиц:

. Обратим внимание, что утверждение о том, что сила, действующая на частицу, зависит только от положения частиц, но не их скоростей, не выполняется в теории относительности, учитывающей конечность скорости света.

При записи каждого векторного уравнения (1.1.1) в проекциях придётся выписать три уравнения – для каждой из трёх проекций на оси декартовых координат. Из соображений компактности будем обозначать проекции векторов не буквами, а номерами: вместо

. Аналогично для каждого их других векторов,,. Тогда из (1.1) получим систему взаимосвязанных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по переменной

Решение системы уравнений (1.1.2), в общем случае нелинейных (за исключением случая, когда силы являются линейными функциями координат),

12

однозначно определяется начальными значениями координат

и скоростей. Здесь символы и обозначают наборы начальных координат и скоростей.

Обратим внимание, что любое движение относительно, поэтому движение системы материальных точек или тел следует рассматривать по отношению к какому-либо другому телу (телу отсчета) или системе тел. Напомним, что в механике системой отсчета называют систему координат, связанных с телом, по отношению к которому изучается движение каких–либо материальных точек или тел.

Выбор системы отсчета зависит от целей исследования. В задачах динамики, которые представляют для нас наибольший интерес, преимущественную роль играют инерциальные системы отсчета, по отношению к которым уравнения движения и имеют вид закона Ньютона (1.1.1). _{Инерциальной называют систему отсчета, в которой справедлив} закон инерции: материальная точка, когда на нее не действуют никакие силы (или действуют силы, которые взаимно уравновешены), находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения (первый закон Ньютона). Всякая система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета равномерно и прямолинейно, также является инерциальной системой отсчета. Следовательно, теоретически может существовать сколько угодно равноправных инерциальных систем отсчета. Важнейшее свойство инерциальных систем отсчета — во всех таких системах законы физики одинаковы (так называемый принцип относительности). В классической механике при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой справедливо преобразование Галилея. Пусть имеются две инерциальные системы отсчета ИС0–1 и ИС0– 2, причем ИС0–2 движется по отношению к ИС0–1 с постоянной скоростью u. Тогда преобразования Галилея для координат материальной точки в системах ИС0–1 и ИС0–2 будут иметь вид:

(1.1.3)

(индекс 2 относится к ИС0–2, индекс 1 – к ИС0–1). Таким образом, время в классической механике, как и расстояние между двумя фиксированными точками, считается одинаковым во всех системах отсчета.

Рассмотрим теперь такую динамическую переменную, как импульс механической системы. При рассмотрении механической системы как

13

совокупности материальных точек в декартовых координатах импульс механической системы равен

где — импульс й частицы, величина которого непосредственно связана со скоростью частицы:. Продифференцировав (1.4) по времени, с учётом (1.1.1) получим:

где — равнодействующая сил, действующих на рассматриваемую систему.

Величина д ействующей на ю частицу силы определяется суммой двух составляющих: внутренней силы, т.е. силы взаимодействия с другими частицами динамической системы, и внешней, обусловленной наличием внешнего источника поля (гравитационного, электрического, магнитного):

Равнодействующая внутренних сил всегда равна нулю:

что является следствием третьего закона Ньютона — сила, с которой частица 1 действует на частицу 2, равна с обратным знаком силе

, с которой частица 2 действует на частицу 1:.

С этой точки зрения, внутренняя сила, с которой на ю частицу действуют остальные частицы рассматриваемой системы, можно записать как, где сила, с которой на ю частицу действует ая частица.

Поэтому из (1.5) – (1.7) следует, что скорость изменения импульса системы равна равнодействующей внешних сил:

14

Пусть теперь равнодействующая внешних сил, действующих на систему, равна нулю:. Тогда из (1.8) следует, что импульс системы (1.1.4) не изменяется во времени:

Точнее, независимыми от времени являются каждая из трех проекций вектора.

То же самое можно сказать, используя другую точку зрения: закон сохранения импульса есть следствие однородности пространства. Под однородностью пространства понимается равноценность (в смысле физических условий, в которых находится система) любых положений системы в пространстве при смещениях её как целого. Очевидно, что наличие внешней силы, которая воздействует на систему, приводит к нарушению этого условия, так как система под действием этой силы стремится попасть в ту область пространства, куда её тянет внешняя сила, и покинуть ту пространственную область, откуда её внешняя сила выталкивает.

Рассмотрим теперь вектор момента импульса материальной точки, которая в момент t находится в точке и движется с импульсом. По определению момент импульса — это векторное произведение:

Скорость изменения момента импульса равна

Поскольку, а векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю, то в правой части (1.1.11) отлично от нуля только второе слагаемое:

15

С другой стороны, с учётом уравнения движения материальной точки (1.1.1) соотношение (1.1.12) приобретает вид

Вектор в правой части (1.1.13) называется моментом силы. Соотношение (1.1.13) можно рассматривать как обобщение второго закона Ньютона на вращательное движение материальной точки. Если момент силы равен нулю, то момент импульса материальной точки сохраняется. Точнее, сохраняются три его проекции.

Заметим, что момент силы равен нулю не только, когда равна нулю сама сила, но и в том случае, когда векторы и коллинеарны. Такая ситуация имеет место при движении материальной точке в поле центральной силы, которая всегда действует вдоль прямой, соединяющей точку в пространстве, где находится частица, с положением источника поля. Пример — движение планеты по орбите относительно центральной звезды в поле силы гравитации.

Момент импульса системы частиц складывается из моментов импульсов отдельных частиц:

Скорость изменения вектора с учётом (1.1.12), (1.1.13) равна

Согласно (1.1.6) сила, действующая на частицу, имеет внутреннюю и внешнюю составляющие. Суммарный момент внутренних сил равен нулю:

Соотношение (1.1.16) является следствием того, что величина силы взаимодействия между двумя частицами зависит только от взаимного

16

расстояния между ними и определяются по формуле

. Справедливость этого утверждения мы обсудим далее. Изменить момент импульса можно, только приложив к системе момент внешней силы:

В самом деле, находясь на карусели, невозможно добиться её вращения, не прибегая к воздействию внешней силы — например, отталкиваясь от земли ногами.

Сохранение момента импульса системы, как видно из (1.1.17), имеет место лишь при условии, что суммарный момент внешних сил, действующих на частицы, входящих в состав рассматриваемой системы, равен нулю. К этому и сводится закон сохранения момента импульса. Это же утверждение можно сформулировать, используя другую точку зрения — закон сохранения момента импульса есть следствие того, что пространство изотропно. Имеется в виду, что воздействие на систему внешних сил не меняется, если, не смещая систему в пространстве, как целое, менять её ориентацию относительно неподвижной системы координат.

Для установления закона сохранения энергии потребуется ввести в рассмотрение потенциальную энергию системы, которая определяет силы, действующие на материальные точки:

Подчеркнем, что запись в форме (1.1.18) подразумевает, что рассматриваемые силы носят потенциальный характер. Это означает, что работа силы не зависит от траектории, по которой двигалось тело, а определяется только его начальным и конечным положением. Фактически, возможность для введения понятия потенциальной энергии является прямым следствием утверждения о том, что рассматриваемые силы зависят от положения частиц, но не их скоростей.

Из (1.1.18) также следует, что потенциальная энергия может быть задана только с точностью до постоянной величины, которая в большинстве случаев определяет начало отсчета энергии. Далее введем в рассмотрение кинетическую энергию

17

и полную энергию, которая равна сумме кинетической энергии и потенциальной энергии системы:

Скорость изменения величины полной энергии равна

Из определения (1.1.20) непосредственно следует, что

Подставляя (1.1.22) в (1.1.21) и учитывая уравнения движения Ньютона (1.1.1), находим

Как видно из (1.1.23), если потенциальная энергия системы явно не зависит от времени, то её полная энергия сохраняется:

В противном случае энергия системы меняется с течением времени со скоростью, равной работе, совершаемой за единицу времени полем внешней силы, в котором находится система. Если мощность внешней силы положительна, т.е. работа совершается этой силой над системой, то энергия системы увеличивается, и наоборот.

Таким образом, если механическая система замкнута (изолирована), так что с течением времени условия, в которых она находится, не меняются, то её энергия сохраняется (1.1.24). Это утверждение известно как закон сохранения энергии.

18

То же самое можно сказать, используя другую точку зрения — закон сохранения энергии есть следствие однородности времени. Под однородностью времени понимается неизменность с течением времени условий, в которых находится система.

Общий вывод закона сохранения энергии из однородности времени, закона сохранения импульса — из однородности пространства и закона сохранения момента импульса — из изотропии пространства составляет предмет теоремы Нетер. Интересно отметить, что такой подход к выводу законов сохранения равным образом справедлив как для систем, подчиняющихся классической механике, так и для квантовых систем.