Основные положения классической механики, специальной теории относительности и классической теории электромагнитного поля

В.Б. Бобров

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ, СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Учебное пособие

по курсу «Квантовая механика» для студентов, обучающихся по направлению «Ядерная энергетика и теплофизика»

Москва Издательство МЭИ 2020

1

СОДЕРЖАНИЕ ___________________________________________________________________________

Введение....................................................................................3 1. Основы нерелятивистской классической механики для систем точечных частиц 1.1. Уравнения Ньютона и законы сохранения...................................12 1.2. Уравнения Лагранжа. Принцип наименьшего действия...................19 1.3. Обобщенные координаты и импульсы.........................................26 1.4. Уравнения Гамильтона...........................................................31 1.5. Зависимость динамических переменных от времени. Скобки Пуассона. Интегралы движения..................................................................34 1.6. Фазовое пространство. Оператор эволюции замкнутой системы........38 1.7. Канонические преобразования. Теорема Лиувилля............................45 Контрольные вопросы и задания.....................................................48 2. Основные положения специальной теории относительности 2.1. Инерциальные системы отсчета и скорость распространения взаимодействий..................................... ........................................ 50 2.2. Событие, интервал, собственное время .......................................... 52 2.3. Преобразование Лоренца........................................................55 2.4. Функция Лагранжа свободной материальной частицы...................59 2.5. Энергия и импульс свободной материальной частицы................... 65 Контрольные вопросы и задания.....................................................68 3. Основы классической теории электромагнитного поля 3.1. Элементарные частицы в теории относительности........................69 3.2. Заряженные частицы. Плотность заряда и плотность электрического тока.........................................................................................70 3.3. Уравнения Максвелла и сила Лоренца.........................................74 3.4. Энергия электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга.....................77 3.5. Электростатическое взаимодействие. Закон Кулона. Дипольный момент....................................................................................79 3.6. Электромагнитные волны........................................................83 3.7. Спектральное разложение и разложение по пространственным плоским волнам.........................................................................88 3.8. Собственные колебания электромагнитного поля..........................92 Контрольные вопросы и задания...................................................96 Заключение................................................................................98 Список литературы.......................................................................99

2

ВВЕДЕНИЕ

Опыт преподавания основ квантовой механики студентам– теплофизикам показывает, что изучение этой дисциплины вызывает у большинства студентов интерес. Однако у части студентов этот процесс сопровождается значительными (впрочем, вполне преодолимыми) трудностями. Это обусловлено не только использованием довольно сложного математического аппарата, а главным образом – непривычными понятиями, далёкими от повседневного человеческого опыта. С другой стороны, когда на студентов, изучающих основы современной физической теории, обрушивается огромное количество фактов, они зачастую совершенно теряются и, как говорится, перестают «из-за деревьев лес видеть». Между тем число основных идей в современной физике совсем не столь обширно.

В этой связи перед непосредственным рассмотрением положений квантовой теории и физических идей, лежащих в ее основании, необходимо в краткой форме «вспомнить» основные положения классической теории, которая окончательно сформировалась к началу XX века, изложению которых и посвящено данное пособие.

Это тем более актуально, что при построении квантовой теории Н. Бор сформулировал принцип соответствия. Суть этого принципа заключается в том, что любая новая теория, являющаяся развитием «классической» теории, не отвергает её полностью. Она включает в себя классическую теорию и указывает границы её применимости. При этом в определённых предельных случаях новая теория переходит в старую теорию.

Кроме того, детальный анализ классической теории и используемого при этом математического аппарата позволяет выявить те ее постулаты, которые представляются спорными, точнее, требующими уточнения. Это хорошо видно на примере специальной теории относительности, в рамках которой было подвергнуто сомнению понятие одновременности. В связи с этим Л.Д. Ландау заметил, что самой замечательной чертой современной физики является то, что в ней существуют правильные, т.е. соответствующие опыту, утверждения, которые невозможно себе представить. Необходимо отметить также, что в силу развития технологий существенно расширяются возможности опытного подтверждения (или опровержения) постулатов принятых теорий.

Прежде чем переходить к изложению основных положений классической механики, специальной теории относительности и классической теории электромагнитного поля, понимание которых необходимо при рассмотрении оснований квантовой теории, кратко обсудим состояние физических представлений к началу XX века. При этом мы сознательно исключаем из рассмотрения те факты, которые привели к

3

необходимости создания квантовой теории. Соответствующее обсуждение будет проведено отдельно при рассмотрении физических оснований квантовой механики.

К началу XX века можно было считать завершенными такие крупные разделы физики как классическая механика, основания которой были заложены Г. Галилеем в XVI и И. Ньютоном в XVII веке; термодинамика с ее основными началами – законом сохранения энергии и законом возрастания энтропии (Ю.Р. Майер, Г. фон Гельмгольц, Р. Клаузиус, У. Томсон (лорд Кельвин)), кинетическая теория газов с классической статистической физикой (Р. Клаузиус, Дж. Максвелл, Л. Больцман, У. Гиббс) и теория электромагнитного поля Фарадея – Максвелла.

В соединении с законом тяготения Ньютона классическая механика с огромной точностью объяснила все особенности движения небесных тел. Равновесие и движение машин и механизмов, созданных руками человека, также подчинялись законам классической механики. Простые и естественные предположения позволили распространить механику на движение сплошных сред: газов, жидкостей и упругих тел, что существенно расширило возможности техники.

Больших успехов достигла термодинамика, понимаемая как учение о превращениях разных видов энергии в работу. Установленные на опыте законы сохранения энергии и возрастания энтропии при стремлении к равновесию позволили создать стройную теорию энергетических превращений, применимую как к широкому кругу явлений природы, так и к технике.

Параллельно созданию феноменологической термодинамики развивалась кинетическая теория материи, основанная на предположении о существовании атомов. На этой же основе с использованием общих положений статистической физики было дано обоснование законам феноменологической термодинамики.

При этом создалась довольно странная ситуация: в то время, как само существование атомов подвергалось рядом крупных ученых того времени сомнению, кинетическая теория газов стремительно развивалась. Особенно впечатляющим был результат вычисления вязкости газов, которая оказалась равной, где – массовая плотность газа, – средняя скорость его атомов и – длина их свободного пробега. Так как величина обратно пропорциональна концентрации атомов (молекул), то вязкость не должна зависеть от плотности газа. Этот вывод показался Дж. Максвеллу настолько парадоксальным, что он собственноручно проверил его на опыте.

Замечательная возможность экспериментального доказательства существования атомов была предложена в 1905 г. А. Эйнштейном и М.

4

Смолуховским, которые независимо друг от друга развили теорию броуновского движения, основываясь на кинетической теории газов.

Броуновское движение было впервые описано в 1827 г. Р. Броуном. Наблюдая под микроскопом взвешенную в жидкости пыльцу растений, он обнаружил, что отдельные частички пыльцы движутся, непрерывно изменяя направление своего движения. При этом даже соседние частички движутся совершенно независимо друг от друга. Отметим, что спустя многие годы историки обнаружили, что еще в 1670 г. изобретатель микроскопа А. Левенгук, видимо, наблюдал аналогичное явление, но редкость и несовершенство микроскопов, зачаточное состояние молекулярного учения в то время не привлекли внимания к наблюдению Левенгука.

Попытки объяснить это движение конвекционными потоками, неравномерным нагревом со стороны падающего света, взаимодействием частиц друг с другом и др. оказались безуспешными. Объяснение броуновского движения движением невидимых молекул было дано только в последней четверти XIX века, но далеко не сразу было принято всеми учеными. В 1863 Л.К. Винер предположил, что явление связано с колебательными движениями невидимых атомов. Это было первое объяснение броуновского движения свойствами самих атомов и молекул. Идеи Винера были приняты и развиты целым рядом ученых, в том числе тремя бельгийскими священниками-иезуитами Карбонелли, Дельсо и Тирьоном, которые в 1877 г. высказали мысль, что броуновское движение вызывается неуравновешенностью ударов молекул жидкости о поверхность взвешенной частицы. Постепенно становилось понятным, что мельчайшие крупинки вещества испытывают со всех сторон удары еще более мелких частиц, которые в микроскоп уже не видны – как не видны с берега волны, качающие далекую лодку, тогда как движения самой лодки видны вполне отчетливо.

Прозорливость А. Эйнштейна и М. Смолуховского проявилась в том, что они связали молекулярно-кинетические характеристики жидкости не с истинным путем, который проходит броуновская частица. Этот путь и не может быть определен в опыте, так как частица изменяет свою скорость порядка раз в секунду. Измеримым является среднее смещение центра масс частицы в заданный промежуток времени, которое оказалось пропорционально не промежутку времени, а корню квадратному из этого промежутка времени.

Решающие опыты над броуновским движением были выполнены Ж. Перреном и его учениками в 1908 г., в результате которых было сделано заключение, что реальность молекул имеет вероятность, близкую к достоверности. Казалось, что законы классической механики имеют

5

универсальный характер, т.е. могут быть применены ко всем телам при любом характере их движения, включая мельчайшие частицы вещества.

Другая обширная область физики возникла при изучении электрических и магнитных явлений. Теория электромагнитного поля Фарадея – Максвелла не только объяснила все стационарные и квазистационарные явления электромагнетизма. В 60-ых годах XIX века Дж. Максвелл показал, что из установленных им уравнений электродинамики следуют решения, описывающие электромагнитные волны, которые распространяются в пространстве. В 80-ых годах XIX века Г. Герц экспериментально подтвердил их существование. В результате в физике утвердилась гипотеза об электромагнитной природе света. При этом, благодаря исследованиям Т. Юнга, Ф. Араго и в особенности О. Френеля, выполненным в начале XIX века, длительный спор между корпускулярной и волновой теориями света был решен в пользу последней. Действительно, интерференция и дифракция света не могли быть объяснены с точки зрения корпускулярной теории.

Физики XIX века не мыслили волн без соответствующей среды, в которой они распространяются. Это привело к идее о мировом эфире. Поскольку свет распространяется и в пустом пространстве, и в прозрачных телах, предполагалось, что мировой эфир заполняет и огромные пространства Вселенной и промежутки между атомами вещества.

Если скорость света по отношению к неподвижному эфиру равна, то в соответствии с обычными представлениями кинематики она иная для наблюдателя, движущегося относительно эфира. Если наблюдатель движется сквозь мировой эфир со скоростью, то скорость света для наблюдателя в направлении, параллельном (антипараллельном), равна. Аналогичный эффект можно учесть при распространении света перпендикулярно направлению скорости движения наблюдателя.

Таким образом, в то время как в механике все системы, движущиеся друг относительно друга поступательно и равномерно, равноценны (принцип относительности Галилея), оптические явления, казалось бы, позволяли обнаружить абсолютное движение относительно мирового эфира. Для обнаружения этого явления А.А. Майкельсон и Э.В. Морли в 1887 г. поставили опыт, в котором движение Земли по ее орбите относительно мирового эфира должно было наблюдаться по смещению интерференционных полос при вращении интерферометра. Однако результаты опыта были отрицательными, т.е. абсолютного движения Земли относительно мирового эфира обнаружить не удалось. Все последующие опыты, выполненные с еще большей точностью, дали тот же отрицательный результат, что поставило под сомнение все представления, основанные на существовании мирового эфира.

6

Вполне естественным явилось предположение, что не только уравнения классической механики, но и уравнения электродинамики должны быть инварианты для всех инерциальных систем. Г.А. Лоренц нашел такие преобразования координат и времени, которые обеспечивали инвариантность уравнений Максвелла. В окончательной формулировке это было сделано А. Пуанкаре. Из преобразований Лоренца следовало, что абсолютно твердое тело сокращает свою длину в направлении движения. Этот результат Г.А. Лоренц связывал с абсолютной скоростью движения сквозь эфир.

А. Пуанкаре еще больше продвинулся в понимании проблемы, связанной с мировым эфиром и инвариантностью уравнений электродинамики в инерциальных системах отсчета и поставил вопрос о необходимости изменения законов классической механики. В свою очередь, А. Эйнштейн не только независимо пришел к выводам А. Пуанкаре, но и провел анализ понятия времени и относительного характера понятия одновременности, указав на всеобщую применимость теории относительности. А. Эйнштейн осознал, что для «одновременного» удовлетворения обоих постулатов, положенных в основу принципа относительности (инвариантность уравнений электродинамики для инерциальных систем отсчета и постоянство скорости света независимо от движения наблюдателя), необходимо подвергнуть критическому анализу понятие одновременности.

Проиллюстрируем этот анализ на простом примере. Рассмотрим две разных точки и в «неподвижной» инерциальной системе отсчета.

Для того, чтобы утверждать, что два события в разных точках и произошли одновременно, необходимо определить моменты времени событий в точках и по часам в этих точках. Однако мы не можем быть уверенными в том, что двое часов, помещенных в одной точке и синхронизованные в ней, уже не будут синхронизованы при переносе одних из пары часов в другую точку, что и происходит в рамках теории относительности.

Поэтому для синхронизации часов, находящихся в разных точках и, используем постоянство скорости света, распространяющегося в выбранной инерциальной системе отсчета в любом направлении.

Пусть световой сигнал, испущенный в момент (по часам) достиг точки в момент (по часам) и, отраженный из этой точки, возвратился в точку в момент. Мы будем считать, что часы и идут синхронно, если.

Это и означает, что скорость света не зависит от того, распространяется ли свет от точки к точке или в противоположном направлении.

7

С точки зрения мирового эфира такое утверждение имело бы место только в системе отсчета, неподвижной относительно эфира. С точки зрения принципа относительности оно справедливо во всех инерциальных системах отсчета. Мы будем говорить, что два события в разных точках и произошли одновременно, если в моменты событий время совпадало со временем.

Наряду с этим, в теорию электромагнетизма к началу XX века проникло и атомистическое учение. Уже М. Фарадеем было установлено, что при прохождении сквозь электролит электричества на электродах во всех случаях выделяется один моль одновалентного вещества. Так как моль любого вещества содержит одно и то же число молекул (число Авогадро), то каждый ион одновалентного вещества несет с собой электрический заряд. Значение, которым располагали физики на тот момент из кинетической теории газов, давало для элементарного заряда значение

, которое только на 25% больше заряда электрона. Решающее значение в установлении существования электрона сыграли исследования прохождения электрического тока через разреженные газы. В 1859 г. Ю. Плюккер открыл лучи, распространяющиеся прямолинейно и перпендикулярно к поверхности катода, которые Э. Гольдштейн в 1876 г. назвал «катодными». В 1869 г. И. В. Гитторф обнаружил их отклонение в магнитном поле, а в 1871 г. К. Варли указал на то, что они заряжены отрицательно. Однако только в 1895 г. Ж. Перрен и в 1897 г. Дж. Дж. Томсон точно установили, что катодные лучи представляют собой поток отрицательно заряженных частиц. Термин «электроны» для них был введен Дж. Стоней в 1891 г.

Изучая отклонение катодных лучей в электрическом и магнитном полях, Дж. Дж. Томсон определил для электронов отношение их заряда к массе:. Современное значение этой величины составляет.

Так как значение заряда было приближенно известно, то можно было определить массу электрона, которая оказалась примерно в 2000 раз меньше массы атома водорода.

Отношение для катодных лучей получалось одинаковым при наполнении разрядной трубки любым газом. Поэтому было естественно предположить, что электроны входят в состав всех атомов. Это предположение получило веское подтверждение, когда в 1896 г., исходя из теории Лоренца, объясняющей эффект Зеемана, в опыте было найдено то же значение отношения.

Так как атомы в целом нейтральны, то они должны содержать и положительный заряд, равный по модулю сумме зарядов электронов в

8

атоме. Это привело к разработке различных моделей атомов. Наибольшей популярностью среди них пользовалась модель атома, предложенная Дж. Дж. Томсоном.

Из электростатики известно, что система точечных зарядов не может образовать пространственно устойчивой статической конфигурации (теорема Ирншоу). Томсон предположил, что положительный заряд атома равномерно распределен по всему его объему, т.е. шарику радиусом. Электроны же вкраплены в этот объемный заряд и образуют устойчивые конфигурации. Колебания электронов около таких конфигураций должны давать атомные спектры. Однако с помощью модели Томсона каких-либо успехов в объяснении атомных спектров добиться не удалось.

Другое выдающееся открытие было сделано также в связи с изучением прохождения электрического тока сквозь разреженные газы. В.К. Рентген в 1895 г. обнаружил особое излучение, исходящее из той части разрядной трубки, на которую падают катодные лучи. Это излучение, которое Рентген назвал лучами, обладало значительной проникающей способностью, однако поглощалось веществами с достаточно высокой плотностью. Рентген получил первую рентгенограмму руки, на которой были ясно видны кости кисти руки. Было быстро осознано, какую огромную роль лучи, которые сейчас называют рентгеновскими, будут играть в медицине.

В ходе своих экспериментов Рентген показал, что лучи не отклоняются в магнитном поле и, следовательно, не являются потоком заряженных частиц. Он обнаружил также, что рентгеновские лучи, проходя сквозь воздух, ионизируют его. Однако, исследуя волновые свойства этих лучей, Рентген не обнаружил их преломления и дифракции и высказал гипотезу, что лучи представляют собой продольные электромагнитные волны. Только 17 лет спустя в экспериментах М. фон Лауэ было убедительно показано, что рентгеновские лучи являются обычными поперечными электромагнитными волнами.

С открытием рентгеновских лучей тесно связано другое великое открытие конца XIX века – явление радиоактивности. А. Беккерель заинтересовался лучами и решил проверить, не связаны ли эти лучи с явлением флюоресценции. Достаточно быстро Беккерель убедился, что флюоресценция не сопровождается рентгеновским излучением, но существует какое-то другое проникающее излучение. Источником этого нового излучения, как установил Беккерель, является металлический уран. Это новое излучение, которое стали называть «лучами Беккереля», как и лучи, проходит через бумагу, дерево, тонкие слои металла, действует на фотографическую пластинку и ионизирует воздух.

9

В 1898 г. Э. Резерфорд, ранее работавший в лаборатории Дж. Дж. Томсона, экспериментально показал, что радиоактивное излучение состоит из двух сортов лучей, которые он назвал и лучи, причем лучи поглощаются примерно в сто раз сильнее, чем лучи. В последующие несколько лет в ходе исследований супругов П. Кюри и М. Склодовской- Кюри, Э. Резерфорда, П. Вилларда и др. было установлено, что лучи являются потоком быстрых электронов, а лучи представляют собой поток положительно заряженных частиц, у которых отношение заряда к массе того же порядка, что и у водородных ионов. Вскоре было выяснено, что они несут двойной элементарный заряд, а их масса равна массе атомов гелия. Кроме того, был обнаружен еще один сорт излучения — лучи, которые представляют собой поперечные электромагнитные волны, еще более жесткие, чем рентгеновские лучи.

Подводя итоги краткого исторического экскурса, приходим к выводу, что к началу XX века классическая физика как область знаний об объективных закономерностях физического мира полностью сформировалась. В общих чертах классическая картина мира сводилась к следующим положениям:

1) мир материален. Смысл этого утверждения таков: – существование и эволюция Вселенной в целом и материи, из которой она состоит, подчиняется объективным законам природы; – Вселенная вечна и бесконечна; – сознание человека, познающего природу и самого себя, является продуктом эволюции материи; – законы природы познаваемы.

2) имеются две разные формы существования материи: вещество и поле, взаимодействующие друг с другом. Поле вызывает изменения динамического состояния вещества. Изменения динамического состояния вещества изменяют поле. При этом поле и вещество, ни при каких условиях, не допускают взаимных превращений.

Для элементов вещества характерны следующие атрибуты: – локализация в пространстве (в каждый момент времени любой малый элемент вещества (материальная точка) находится в строго определённом месте (точке) пространства); – любой конечный объект, состоящий из вещества, занимает в пространстве некоторый объём с определённой длиной, шириной и высотой; – изменение динамического состояния (состояния движения) материальной точки описывается гладкой пространственно-временной кривой.

10

Поле рассматривается классической физикой как материальная субстанция, обеспечивающая взаимодействие между элементами вещества. Предметом изучения классической физики являются гравитационное поле (поле тяготения, поле силы тяжести) и электромагнитное поле — агент взаимодействия между электрически заряженными элементами вещества. В свою очередь наличие в некоторой области пространства вещества, элементы которого характеризуются массой и зарядом, приводит к изменению характеристик поля с течением времени.

Поле как форму существования материи отличают следующие атрибуты: – поле есть непрерывно распределённая в пространстве и во времени структура, не имеющая чёткой пространственной локализации; – изменение динамического состояния поля описывается гладкими пространственно-временными полевыми переменными; – для полевых переменных, определяющих динамическое состояние поля, характерно периодическое в пространстве и во времени поведение, а динамику поля можно охарактеризовать как распространение волн.

Необходимо отметить, что в ряде случаев классическая механика применяет полевое описание динамики вещества, приближённо рассматривая его как сплошную среду, параметры которой непрерывно изменяются в пространстве и во времени.

Для электромагнитного поля, так же как и для других видов волн (например, акустических колебаний или поверхностных волн на воде) характерны такие сугубо волновые явления, как интерференция волн и дифракция волны, огибающей препятствия.

11

Уравнения Гамильтона

Если функцию Лагранжа (1.3.12), (1.3.13) рассматривать как функцию времени и независимых переменных: обобщённых координат и обобщённых скоростей, то полный дифференциал функции Лагранжа имеет вид:

Используя обозначения для обобщённых импульсов и обобщённых сил (1.3.15), а также имея в виду, что в соответствии с (1.3.12), (1.3.13) функция Лагранжа явно зависит от времени только при наличии такой зависимости у потенциальной энергии, перепишем (1.4.1) в виде

Теперь произведём замену переменных — вместо обобщённых скоростей будем использовать обобщённые импульсы. Для этого вычтем из обеих частей равенства (1.4.2) дифференциал выражения:

31

или, с учётом (1.3.16),

где введена функция Гамильтона

Как видно из (1.4.4), функция Гамильтона является функцией обобщенных координат и сопряженных им импульсов, т.е. функцией независимых переменных.

Таким образом, проведенным выше преобразованием в полном дифференциале (1.4.2) функции (1.3.12) заменены независимые переменные, а именно вместо обобщенных координат и скоростей введены новые независимые переменные. В итоге мы получили полный дифференциал (1.4.3) новой функции (1.4.4). Такое преобразование известно под названием преобразования Лежандра.

Заметим теперь, что, как видно из (1.3.11) и (1.3.17),

С помощью (1.4.5) можно выразить кинетическую энергию, определённую в (1.3.11) как функцию обобщённых координат и скоростей, через обобщённые координаты и импульсы. Для этого выразим обобщённые скорости через обобщённые импульсы, решив систему линейных алгебраических уравнений (1.3.17):

где — элементы матрицы, обратной матрице (1.3.11). Подставив (1.4.6) в (1.4.5), получим:

32

В итоге с учётом (1.3.12), (1.4.5) и (1.4.7) выразим функцию Гамильтона (1.4.4) через обобщённые координаты и импульсы:

Соотношение (1.4.8) показывает, что функция Гамильтона механической системы есть энергия (полная) этой системы, выраженная через обобщённые координаты и импульсы.

Возвращаясь к полному дифференциалу функции Гамильтона (1.4.3), получим из него уравнения Гамильтона:

Уравнения Гамильтона (1.4.9), число которых равно, для системы с заданной функцией Гамильтона являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка относительно неизвестных функций — обобщённых координат и обобщённых импульсов.

Эти функции в принципе можно вычислить, если решить уравнения (1.4.9), задав значения координат и импульсов в начальный момент времени:

Наряду с уравнениями Лагранжа (1.3.14), уравнения Гамильтона (1.4.9) являются уравнениями движения системы. Их называют также каноническими уравнениями механики. «Одноимённые», т.е. относящиеся к одной степени свободы, обобщённые координата и импульс, называют канонически сопряжёнными, взаимно сопряжёнными или просто сопряжёнными.

Какие из уравнений (Лагранжа или Гамильтона) выбрать для описания движения механической системы, определяется соображениями удобства. В ряде теоретических построений удобнее оказываются уравнения Гамильтона (1.4.9). Хотя их вдвое больше, чем уравнений Лагранжа, но они — первого порядка, тогда как уравнения Лагранжа — второго порядка.

33

Кроме того, определённое удобство связано с тем, что уравнения Гамильтона, как видно из (1.4.9), симметричны относительно координат и импульсов. Симметрия этих уравнений позволяет, например, без труда вывести уравнение баланса энергии системы. В самом деле, из соотношения (1.4.3) непосредственно следует:

Поскольку два последних слагаемых в равенстве (1.4.11) взаимно уничтожаются, то из него следует искомое соотношение:

i

Как видно из (1.4.12), если потенциальная энергия явно не зависит от времени, то энергия системы сохраняется (ср.:

В статистической физике предпочтение отдается использованию динамики Гамильтона. Ее дополнительные преимущества будут видны из дальнейшего рассмотрения.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Используя законы Ньютона, вывести закон сохранения энергии для

механической системы, состоящей из частиц.

2. Используя законы Ньютона, вывести закон сохранения импульса для

механической системы, состоящей из частиц.

3. Используя законы Ньютона, вывести закон сохранения момента

импульса для механической системы, состоящей из частиц.

4. Записать функцию Лагранжа для механической системы, состоящей из частиц и находящейся во внешнем потенциальном поле. Записать уравнения Лагранжа для такой системы.

5. Сформулировать принцип наименьшего действия и вывести на его

основе уравнения Лагранжа.

48

6. Записать функцию Гамильтона для механической системы, состоящей из частиц и находящейся во внешнем потенциальном поле. Записать уравнения Гамильтона для такой системы.

7. Используя уравнения Гамильтона, вывести закон сохранения энергии для механической системы, состоящей из частиц и находящейся во внешнем потенциальном поле.

8. Записать функцию Гамильтона для системы, состоящей из двух частиц, как функцию координат и импульсов движения центра масс и относительного движения частиц.

9. Дать определение скобок Пуассона для двух динамических функций и записать свойства скобок Пуассона. Используя тождество Якоби доказать справедливость утверждения о том, что динамическая функция, являющаяся скобкой Пуассона двух интегралов движения, также является интегралом движения.

10. Записать уравнение движения для динамической функции и получить из него уравнения Гамильтона. Дать определение понятию интеграла движения. Сколько интегралов движения характеризует замкнутую механическую систему, состоящую из частиц?

11. Дать определение фазового объема. Сформулировать теорему Лиувилля для фазового объема. Чем (какими динамическими функциями) определяется поверхность, ограничивающая фазовый объем замкнутой системы?

49

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Сформулировать принцип относительности. Чем отличается принцип относительности Эйнштейна от принципа относительности Галилея? 2. Как определить скорость распространения взаимодействий? Чему равна эта скорость? Зависит ли эта скорость от выбора инерциальной системы отсчета? 3. Как определяется событие в релятивистской механике? Дать

определение мировой точки и мировой линии. 4. Записать выражение для интервала между событиями. Изменится ли значение этого интервала при переходе в другую инерциальную систему отсчета? Дать определение времениподобного и пространственноподобного интервалов. 5. Является ли время абсолютной величиной? Как определить

промежуток времени между двумя событиями? 6. Дать определение собственного времени. Какие часы показывают больший промежуток времени между двумя событиями – покоящиеся или движущиеся? 7. Записать формулы преобразований Лоренца и Галилея. Установить

связь между ними. 8. Дать определение понятиям собственной длины и лоренцева сокращения. Какова связь между длиной и объемом покоящегося и движущегося стержня? 9. Записать выражение для функции Лагранжа. На этой основе найти импульс релятивистской частицы и ее энергию. Дать определение энергии покоя. 10. На основе выражений (2.4.2) и (2.4.6) установить соотношение между энергией, импульсом и скоростью свободной частицы. Каково соотношение между энергией и импульсом частицы с массой, равной нулю?

68

В.Б. Бобров

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ, СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Учебное пособие

по курсу «Квантовая механика» для студентов, обучающихся по направлению «Ядерная энергетика и теплофизика»

Москва Издательство МЭИ 2020

1

СОДЕРЖАНИЕ ___________________________________________________________________________

Введение....................................................................................3 1. Основы нерелятивистской классической механики для систем точечных частиц 1.1. Уравнения Ньютона и законы сохранения...................................12 1.2. Уравнения Лагранжа. Принцип наименьшего действия...................19 1.3. Обобщенные координаты и импульсы.........................................26 1.4. Уравнения Гамильтона...........................................................31 1.5. Зависимость динамических переменных от времени. Скобки Пуассона. Интегралы движения..................................................................34 1.6. Фазовое пространство. Оператор эволюции замкнутой системы........38 1.7. Канонические преобразования. Теорема Лиувилля............................45 Контрольные вопросы и задания.....................................................48 2. Основные положения специальной теории относительности 2.1. Инерциальные системы отсчета и скорость распространения взаимодействий..................................... ........................................ 50 2.2. Событие, интервал, собственное время .......................................... 52 2.3. Преобразование Лоренца........................................................55 2.4. Функция Лагранжа свободной материальной частицы...................59 2.5. Энергия и импульс свободной материальной частицы................... 65 Контрольные вопросы и задания.....................................................68 3. Основы классической теории электромагнитного поля 3.1. Элементарные частицы в теории относительности........................69 3.2. Заряженные частицы. Плотность заряда и плотность электрического тока.........................................................................................70 3.3. Уравнения Максвелла и сила Лоренца.........................................74 3.4. Энергия электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга.....................77 3.5. Электростатическое взаимодействие. Закон Кулона. Дипольный момент....................................................................................79 3.6. Электромагнитные волны........................................................83 3.7. Спектральное разложение и разложение по пространственным плоским волнам.........................................................................88 3.8. Собственные колебания электромагнитного поля..........................92 Контрольные вопросы и задания...................................................96 Заключение................................................................................98 Список литературы.......................................................................99

2

ВВЕДЕНИЕ

Опыт преподавания основ квантовой механики студентам– теплофизикам показывает, что изучение этой дисциплины вызывает у большинства студентов интерес. Однако у части студентов этот процесс сопровождается значительными (впрочем, вполне преодолимыми) трудностями. Это обусловлено не только использованием довольно сложного математического аппарата, а главным образом – непривычными понятиями, далёкими от повседневного человеческого опыта. С другой стороны, когда на студентов, изучающих основы современной физической теории, обрушивается огромное количество фактов, они зачастую совершенно теряются и, как говорится, перестают «из-за деревьев лес видеть». Между тем число основных идей в современной физике совсем не столь обширно.

В этой связи перед непосредственным рассмотрением положений квантовой теории и физических идей, лежащих в ее основании, необходимо в краткой форме «вспомнить» основные положения классической теории, которая окончательно сформировалась к началу XX века, изложению которых и посвящено данное пособие.

Это тем более актуально, что при построении квантовой теории Н. Бор сформулировал принцип соответствия. Суть этого принципа заключается в том, что любая новая теория, являющаяся развитием «классической» теории, не отвергает её полностью. Она включает в себя классическую теорию и указывает границы её применимости. При этом в определённых предельных случаях новая теория переходит в старую теорию.