Заряженные частицы. Плотность заряда и плотность электрического тока

Опыт показывает, что свойства частицы в отношении ее взаимодействия с электромагнитным полем определяется всего одним параметром – так называемым зарядом частицы, который может быть как положительной, так и отрицательной (или равной нулю) величиной. Далее величину заряда частицы мы будем записывать в виде, где – величина заряда, выраженного в количестве элементарных зарядов, – абсолютная величина заряда электрона.

В целях математического удобства вместо того, чтобы рассматривать заряды как точечные, часто описывают заряд как распределенный в пространстве непрерывным образом. Тогда можно ввести в рассмотрении плотность заряда таким образом, что величина есть заряд, находящийся в объеме около пространственной точки, характеризующейся радиус-вектором в момент времени. Интеграл от плотности заряда по некоторому объему есть заряд, находящийся в этом объеме в заданный момент времени.

При этом следует помнить, что в действительности заряды являются точечными, так что плотность заряда равна нулю везде, кроме тех точек, где находятся точечные заряды, а интеграл должен быть равен сумме тех зарядов, которые находятся в данном объеме.

Поэтому плотность заряда можно записать с помощью функции Дирака в следующем виде:

70

где сумма берется по всем имеющимся зарядам, находящимся в точках пространства с радиус-вектором.

функция Дирака относится к классу так называемых обобщенных функций и определяется следующим образом: при всех значениях, не равных нулю, при, причем так, что интеграл

Из этого определения вытекают следующие свойства функции Дирака: если – любая непрерывная функция, то

В частности,

Пределы интегрирования в (3.2.2)-(3.2.4) не обязательно должны быть. Областью интегрирования может быть любая область, включающая ту точку, в которой функция Дирака не равна нулю.

Смысл следующих равенств заключается в том, что левая и правая части дают одинаковые результаты, если их применять в качестве множителей под знаком интеграла:

Последнее равенство является частным случаем более общего соотношения:

71

где – однозначная функция, – корни уравнения,. При этом функция, обратная функции, не обязана быть однозначной функцией.

Подобно определению функции для одной переменной, мы можем рассмотреть трехмерную функцию (см. (3.2.1)), которая равна нулю везде, кроме начала трехмерной системы координат, и трехмерный интеграл от которой по всему пространству равен 1. Эту функцию, очевидно, можно записать как.

Изменение со временем заряда, находящегося в некотором объеме, дается производной

С другой стороны, изменение за единицу времени определяется количеством заряда, выходящего за это время из данного объема наружу, или, наоборот, входящего внутрь этого объема. Количество заряда, проходящего за единицу времени через элемент поверхности, ограничивающий рассматриваемый объем, равно, где есть скорость заряда в данный момент времени в той точке пространства, где находится элемент поверхности. Вектор направлен по внешней нормали к поверхности, т.е. по нормали, направленной наружу от рассматриваемого объема. Поэтому значение положительно, если заряд «выходит» из объема, и отрицательно, если заряд «входит» в него.

Следовательно, полное количество заряда, выходящего в единицу времени из данного объема, равно. Здесь интеграл взят по замкнутой поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем.

Таким образом,

В соотношении (3.2.8) справа поставлен знак минус, так как левая часть положительна, если полный заряд в данном объеме увеличивается. Уравнение (3.2.8), выражающее собой закон сохранения заряда, есть уравнение непрерывности, записанное в интегральном виде. Величина представляет собой плотность электрического тока, поэтому соотношение (3.2.8) можно переписать в виде

72

Применяя к правой части (2.2.9) теорему Гаусса

находим

Поскольку равенство (3.2.11) имеет место при интегрировании по любому объему, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю:

Используя (3.2.12) и микроскопическое определение (3.2.1) для плотности заряда, мы имеем возможность установить явное микроскопическое выражение для плотности электрического тока. Действительно,

Но есть не что иное, как скорость для ого заряда. При этом

Следовательно,

73

Сравнивая (3.2.12) и (3.2.14), получаем микроскопическое выражение для плотности электрического тока:

Отметим, что по своему определению заряд частицы есть величина инвариантная, т.е. не зависящая от выбора системы отсчета. Плотность заряда не является инвариантом, таковым является лишь произведение.