Зависимость динамических переменных от времени. Скобки Пуассона. Интегралы движения

Физическая величина, значение которой в данный момент времени определяется динамическим состоянием системы (1.4.10), называется динамической переменной (динамической функцией):

Динамическая переменная может зависеть от времени как неявно «через» обобщенные координаты и импульсы, так и явно:

34

Динамической переменной типа (1.5.2) является функция Гамильтона. Она зависит от времени явно, если имеет место динамика источника внешнего поля, действующего на систему, например, в случае, когда электрическое поле, действующее на заряженную частицу, создаётся конденсатором, у которого с течением времени меняется заряд или расстояние между пластинами.

Выведем дифференциальное уравнение, описывающее зависимость динамической переменной (1.5.2) от времени. Для этого продифференцируем уравнение (1.5.2) по времени:

Преобразуем сумму в правой части (1.5.3), используя уравнения Гамильтона (1.4.9):

Новая динамическая переменная, т.е. функция координат, импульсов и, возможно, времени, называется скобкой Пуассона для динамических переменных и.

Скобки Пуассона обладают следующими свойствами, которые легко выводятся из их определения:

если в скобке Пуассона переставить местами функции, то скобка переменит знак:

если в скобке Пуассона одна из функций величина постоянная:

, то скобка равна нулю:

Кроме того, скобки Пуассона удовлетворяют следующим равенствам:

35

Если одна из функций в скобке Пуассона является обобщенной координатой или обобщенным импульсом, то нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:

Из (1.5.8) непосредственно следует

где символ Кронекера. Равенства (1.5.9) определяют основной набор канонически сопряженных переменных.

Если взять частную производную от скобки Пуассона по времени, получим _{Наконец, между скобками Пуассона от трех функций, если они взяты} попарно, существует соотношение, которое носит название тождества Якоби: _{С учётом (1.5.4) уравнение (1.4.3) можно записать в виде}

Если динамическая переменная удовлетворяет условию

то она называется интегралом движения. Как видно из (1.5.12), для интеграла движения справедливо уравнение

36

Скобка Пуассона для функции Гамильтона самой с собой, как следует из (1.5.4), тождественно равна нулю:

Тогда из (1.5.12) непосредственно следует, что

Равенство (1.5.16) означает, что если функция Гамильтона системы не зависит явно от времени, то она является интегралом движения, и, следовательно, энергия системы сохраняется.

Ясно, что аналогичными свойствами обладает любая динамическая переменная, которая однозначно зависит от функции Гамильтона:

Как следует из (1.5.12), (1.5.13), динамическая переменная, которая явно не зависит от времени, является интегралом движения, если скобка Пуассона для этой динамической переменной и функции Гамильтона равна нулю. _{Как уже было показано ранее, интегралами движения для замкнутой} системы, на которую не действуют внешние силы, являются вектор импульс механической системы (1.1.9) и вектор момента импульса механической системы (1.1.17). Это означает, что для такой системы справедливы равенства:

Приведём еще один простейший пример интеграла движения. Допустим, что функция Гамильтона механической системы не зависит от обобщённой координаты. Такие координаты называются циклическими. Для любой циклической координаты

Но тогда, как следует из соответствующего уравнения Гамильтона (1.5.9), Отсюда видно, что импульс, сопряжённый циклической координате, сохраняется, т.е. является интегралом движения:

37

Важное свойство скобок Пуассона состоит в том, что если динамические переменные и являются интегралами движения, то составленная из них скобка Пуассона тоже является интегралом движения:

Это утверждение называется теоремой Пуассона, оно может быть доказано с использованием (1.5.10) и тождества Якоби (1.5.11).

Таким образом, применяя теорему Пуассона, мы не всегда будем получать новые интегралы движения. В некоторых случаях скобки Пуассона сведутся к тривиальному результату — постоянной величине. В других случаях полученный результат оказывается просто функцией исходных интегралов движения и. В остальных случаях скобки Пуассона дают новый интеграл движения.