Функция Лагранжа свободной материальной частицы

При рассмотрении нерелятивистской классической механики мы исходили из описания динамики системы материальных точек на основе второго закона Ньютона, который был постулирован в результате обобщения наблюдений (опытных данных). Однако при построении релятивистской динамики мы фактически лишены опоры на подобные опытные данные.

В этой ситуации предпочтительней выглядит использование принципа наименьшего действия в качестве исходного постулата (см. (1.2.7)). Но в этом случае законы Ньютона выступают следствием этого принципа. Поэтому необходима некоторая процедура для установления вида функции Лагранжа, определяющей величину действия, без использования законов Ньютона.

Рассмотрим сначала эту процедуру на примере нерелятивистской материальной частицы. Напомним, что задание обобщенных координат механической системы необходимо для однозначного определения положения системы. Но это еще не определяет «механического состояния» системы в данный момент времени в том смысле, что оно не позволяет предсказать положение системы в последующие моменты времени. При заданных значениях координат система может обладать произвольными скоростями, а в зависимости от значения последних различным будет и положение системы в следующий момент времени.

Одновременное же задание всех координат и скоростей, как показывает опыт, полностью определяет состояние системы и позволяет в

59

принципе предсказать ее дальнейшее движение. Таким образом, зависимость функции Лагранжа только от координат и скоростей является выражением того факта, что механическое состояние полностью определяется заданием координат и скоростей. При этом из уравнений Лагранжа (1.2.2), которые являются следствием принципа наименьшего действия для нерелятивистской механической системы, следует, что динамика такой системы полностью определяется функцией Лагранжа.

Очевидно, что умножение функции Лагранжа на произвольную постоянную само по себе не отражается на уравнениях движения (уравнениях Лагранжа) механической системы. Отсюда, казалось бы, могла вытекать существенная неопределенность: функции Лагранжа различных механических систем могли бы умножаться на любые различные постоянные величины. Однако свойство аддитивности функции Лагранжа устраняет эту неопределенность.

Суть этого свойства сводится к следующему примеру. Пусть механическая система состоит из двух частей и, каждая из которых, будучи замкнутой, имела бы в качестве функции Лагранжа соответственно функции и. Тогда при разведении двух частей и настолько далеко, чтобы взаимодействием между ними можно было пренебречь, функция Лагранжа всей системы будет стремиться к пределу.

Это свойство аддитивности функции Лагранжа выражает тот факт, что уравнения движения каждой из невзаимодействующих частей не могут содержать величины, относящиеся к другим частям системы.

Таким образом, свойство аддитивности допускает лишь одновременное умножение функций Лагранжа всех систем на одинаковую постоянную, что сводится просто к естественному произволу в выборе единиц измерения этой физической величины. Тем не менее, функция Лагранжа нерелятивистской механической системы определена лишь с точностью до прибавления к ней полной производной по времени от любой функции координат и времени (см. (1.2.14)).

Напомним, что для изучения механических явлений необходимо выбрать ту или иную систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения имеют, вообще говоря, различный вид. Если использовать произвольную систему отсчета, то может оказаться, что законы даже совсем простых явлений будут выглядеть весьма сложно. Это обусловлено тем, что по отношению к произвольной системе отсчета пространство является неоднородным и не изотропным. Другими словами, в произвольной системе отсчета различные положения и различные ориентации некоторого тела, которое не взаимодействует ни с какими другими телами, не эквивалентны в механическом отношении. То же самое относится в общем случае и ко времени, которое будет неоднородным, т.е. его различные моменты неэквивалентны. Так, например, свободное тело не

60

могло бы покоиться: если скорость тела в некоторый момент времени и равна нулю, то уже в следующий момент тело начало бы двигаться в некотором направлении.

С этой точки зрения система отсчета является инерциальной, если по отношению к ней пространство является однородным и изотропным, а время – однородным. В инерциальной системе отсчета, в частности, свободное тело, покоящееся в некоторый момент времени, остается в покое неограниченно долго, что фактически является частной формулировкой первого закона Ньютона.

На этой основе мы можем сделать некоторые заключения о виде функции Лагранжа для свободно движущейся нерелятивистской материальной точки. Однородность пространства и времени означает, что эта функция не может содержать явным образом ни радиус-вектора этой точки, ни времени, т.е. функция Лагранжа для свободной материальной точки является функцией лишь от скорости.

В силу же изотропии пространства функция Лагранжа не может зависеть и от направления вектора, так что она является функцией лишь от его абсолютной величины, т.е. функцией от квадрата скорости:

В силу независимости функции Лагранжа от радиус-вектора имеем

, поэтому уравнение Лагранжа (1.2.2) принимает вид

Следовательно,. Но поскольку является функцией только от скорости, то отсюда следует, что

Таким образом, в инерциальной системе отсчета всякое свободное движение материальной точки происходит с постоянной по величине и направлению скоростью. Это утверждение составляет содержание закона инерции.

Для установления явного вида функции Лагранжа свободной материальной точки воспользуемся принципом относительности Галилея, суть которого сводится к утверждению о том, что в инерциальных системах отсчета свойства пространства и времени одинаковы и одинаковы все законы механики.

61

Если инерциальная система отсчета движется относительно системы отсчета с бесконечно малой скоростью, то скорости движения свободной материальной частицы в этих системах отсчета связаны соотношением:

Так как уравнения движения во всех инерциальных системах отсчета должны иметь один и тот же вид, то функция Лагранжа (2.4.1) должна при таком преобразовании перейти в функцию, которая если и отличается от, то лишь на полную производную от функции координат и времени (см. (1.2.14)). Согласно (2.4.4) имеем:

Разлагая это выражение в ряд по степеням, а также пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получим:

Второй член в левой части этого равенства будет полной производной по времени только в том случае, если производная не зависит от скорости. Это означает, что функция Лагранжа в рассматриваемом случае прямо пропорциональна квадрату скорости:

Согласно принципу относительности Галилея функция Лагранжа должна быть инвариантна и в случае конечной скорости относительного движения инерциальных систем отсчета и. Действительно,

Второй член в последнем равенстве (2.4.8) является полной производной и может быть опущен.

Постоянную принято обозначать как, где величина называется массой материальной точки. Таким образом, функция Лагранжа свободно движущейся материальной точки принимает окончательный вид:

62

При этом масса не может быть отрицательной, так как при отрицательном значении интеграл (1.2.3), определяющий величину действия, не имел бы минимума.

В силу свойства аддитивности функции Лагранжа для системы невзаимодействующих частиц имеем

Необходимо подчеркнуть, что лишь при учете этого свойства понятие массы приобретает реальный смысл. Как уже было отмечено выше, при умножении функции Лагранжа на любую постоянную уравнения движения не изменяются. Для функции (2.4.10) такое умножение сводится к изменению единицы измерения массы. Но отношения масс различных частиц, которые только и имеют физический смысл, остаются при таком преобразовании неизменными.

Перейдем теперь к определению функции Лагранжа для свободной релятивистской материальной точки. С этой целью рассмотрим интеграл, определяющий действие для такой материальной точки. Отметим, что такой интеграл не должен зависеть от выбора той или иной инерциальной системы отсчета, т.е. он должен быть инвариантом относительно преобразований Лоренца. В этом случае подынтегральная функция должна быть скаляром. Кроме того, под интегралом должны стоять дифференциалы в первой степени. Единственным таким скаляром, который можно построить для свободной материальной частицы, является интервал или, где – некоторая постоянная.

Таким образом, действие для свободной релятивистской частицы должно иметь вид:

где интеграл берется вдоль мировой линии между двумя заданными событиями и, а именно, нахождением частицы в начальном и конечном местах в определенные моменты времени и, т.е. между заданными мировыми точками. При этом величина в (2.4.11) есть некоторая постоянная, характеризующая рассматриваемую частицу.

Отметим, что для любых частиц значение должно быть положительным. Действительно, как уже было отмечено при рассмотрении

63

собственного времени, интеграл имеет максимальное значение вдоль прямой мировой линии, а интегрируя вдоль кривой мировой линии, можно сделать его значение сколь угодно малым. Следовательно, интеграл, взятый с положительным знаком, не может иметь минимума, а интеграл, взятый с обратным знаком, имеет минимум вдоль прямой мировой линии.

С другой стороны, согласно (1.2.4) действие представляется в виде интеграла по времени:

где – функции Лагранжа для свободной релятивистской материальной точки. _{Подставляя (2.2.6) в (2.4.11), находим:}

где – скорость свободной релятивистской материальной точки.

Сравнивая (2.4.12) и (2.4.13), получаем искомое выражение для функции Лагранжа такой материальной точки:

Величина, как уже отмечалось, характеризует данную частицу. В нерелятивистской механике всякая частица характеризуется ее массой. Нам остается установить связь между величинами и. Это нетрудно сделать, если учесть, что при предельном переходе выражение (2.4.14) для функции должно перейти в соотношение (2.4.9) для функции Лагранжа нерелятивистской материальной точки.

С той целью разложим выражение (2.4.14) в ряд по степеням

. Пренебрегая членами высших порядков, получаем:

64

Постоянные члены в функции Лагранжа не отражаются на уравнениях движения и могут быть опущены. Поэтому при сравнении (2.4.15) с (2.4.9) можно не учитывать величину, Следовательно,. _{Таким образом, действие для свободной релятивистской} материальной точки равно

а функция Лагранжа