Уравнения Лагранжа. Принцип наименьшего действия

Теперь обратим внимание, что наряду с полной энергией системы (1.1.20) можно ввести в рассмотрение функцию Лагранжа в декартовых координатах

С учетом соотношений (1.1.22) нетрудно убедиться, что уравнения Ньютона (1.1.2) могут быть записаны с помощью функции Лагранжа в виде _{Соотношение (1.2 2) носит название уравнений Лагранжа в} декартовых координатах.

Остается неясным, зачем вводить в рассмотрение еще одну функцию — функцию Лагранжа. В этой связи учтем, что, как и все точные науки, классическая механика построена аксиоматически. В её основе лежат уравнения движения Ньютона (1.1.1), которые являются обобщением опытных данных о движении материи в форме вещества и рассматриваются как постулат. Сведения о динамике любых механических систем могут быть выведены из этого постулата путём логических операций и строгих математических преобразований. Результаты подобных выводов можно проверить путём измерений и тем самым косвенно подтвердить справедливость исходного положения теории, из которого они вытекают. Прямая же экспериментальная проверка самой

19

аксиомы (1.1.1), которая сформулирована в виде предельно общего и весьма абстрактного утверждения, невозможна.

Как и в других точных науках, система аксиом, лежащих в основе механики, может быть выбрана по–разному. Например, вместо уравнений движения Ньютона (1.1.1) в качестве постулата можно принять уравнения Лагранжа (1.2.1), (1.2.2). Тогда уравнения Ньютона окажутся строгим логическим и математическим следствием этого постулата.

В механике известно ещё одно важное утверждение, которое можно использовать в качестве постулата — принцип наименьшего действия. Уравнения Лагранжа оказываются следствием этого постулата.

Рассмотрим динамическую траекторию механической системы, вдоль которой система двигалась в промежутке времени. Поставим этой траектории в соответствие интеграл от функции Лагранжа (1.2.15) по времени в пределах заданного интервала времени:

Величина (1.2.3) называется действием. С математической точки зрения действие является функционалом от траектории системы, т.е. числом, зависящим от функции — иначе говоря, отображением множества функций на множество чисел (в отличие от функции, которая является отображением множества чисел на множество чисел).

Зададимся произвольной траекторией, которая начинается в точке с координатой и заканчивающейся в точке с координатой. Среди всех этих траекторий только одна является «истинной», т.е. реализуется на самом деле для механической системы. Все остальные траектории являются лишь «виртуальными», т.е. воображаемыми. Принцип наименьшего действия гласит, что действие (1.2.3) минимально для «истинной» траектории.

При использовании этого принципа необходимо учесть, что задача нахождения функций, дающих экстремальное значение интегралу, решается операцией варьирования. Подчеркнем различие между дифференциалом функции и вариацией функции. В то время как дифференциал представляет собой приращение функции при бесконечно малом приращении аргумента, вариация функции означает приращение самой функции, а вариация интеграла — приращение этого интеграла при бесконечно малом изменении вида функций, от которых зависит

20

подынтегральное выражение. Символ варьирования принято обозначать знаком.

Пусть есть как раз та траектория системы, для которой величина действия принимает минимальное значение. Соответствующее ей действие равно:

Пусть виртуальная траектория, для которой вычислен интеграл (1.2.3), близка к траектории. Рассмотрим функцию, которая представляет собой «малое отклонение» траектории от траектории

и называется вариацией траектории:

При этом согласно сформулированному выше условию об общих «точках» начала и конца всех рассматриваемых траекторий вариация удовлетворяет условиям

Соответствующая вариация функционала (1.2.3) равна

Чтобы вычислить вариацию действия (1.2.7), используем условие малости вариации траектории (1.2.5):

Напомним, что величины и являются многомерными векторами, хотя запись (1.2.8) выполнена так, как будто бы у системы одна степень свободы. Полные записи легко восстановить.

Подставив (1.2.8) в (1.2.7), получим с точностью до бесконечно малых второго порядка:

21

Интеграл от второго слагаемого в подынтегральном выражении правой части (1.2.9) вычислим по частям:

Первое слагаемое в правой части (1.2.10) равно нулю вследствие условий (1.2.6). Подставляя (1.2.10) в (1.2.9), окончательно получаем:

Для того, чтобы величина действия (1.2.4) была минимальна, необходимо, чтобы выполнялось условие экстремума:

для произвольных вариаций траектории.

Из (1.2.11) непосредственно следует, что условие (1.2.12) выполняется, если траектория, по отношению к которой вычислена вариация действия (1.2.7), удовлетворяет уравнениям Лагранжа (1.2.2), так как интеграл в (1.2.11) должен равняться нулю при произвольных значениях.

Такое возможно только в том случае, когда выражение, стоящее в фигурных скобках под знаком интеграла в (1.2.11), равно нулю. Утверждение о том, что этот экстремум действия — минимум, примем без доказательства.

Принцип наименьшего действия как утверждение о том, что для реальной траектории системы действие (1.2.3) минимально, может быть положен в основу механики как аксиома. Как мы убедились, из условия минимальности действия следуют «правильные» уравнения механики, следствия из которых полностью адекватны результатам наблюдений. Принцип наименьшего действия является одним из ключевых положений в современной физике.

22

При использовании принципа наименьшего действия в качестве аксиомы механики необходимо сделать общее замечание. Рассмотрим две функции Лагранжа и, отличающиеся друг от друга на полную временную производную от какой–либо функции координат и времени:

Вычисленные с помощью этих двух функций интегралы (1.2.3), определяющие величину действия, связаны соотношением

т.е. отличаются друг от друга дополнительным членом, исчезающим при варьировании действия, так что условие совпадает с условием

поэтому вид уравнений движения остается неизменным. Таким образом, функция Лагранжа в соответствии с принципом наименьшего действия определена лишь с точностью до прибавления к ней полной производной от любой функции координат и времени.

Рассмотрим далее вопрос о зависимости потенциальной энергии, которая определяет действующую на каждую из частиц силу (см. (1.1.18)), от пространственных переменных.

Согласно (1.1.6), (1.1.18) мы можем записать общую потенциальную энергию системы из взаимодействующих частиц, находящихся во внешнем потенциальном поле, в виде суммы

где и соответственно, потенциальная энергия взаимодействия частиц рассматриваемой системы между собой и потенциальная энергия частиц во внешнем поле. Отметим, что потенциальная энергия взаимодействия между частицами не зависит явно от времени.

23

В силу того, что известные в классической теории поля (гравитационное и электростатическое) удовлетворяют принципу суперпозиции, мы можем утверждать, что

Здесь учтено, что внешнее поле воздействует на каждую из частиц рассматриваемой системы в отдельности. При этом взаимодействие между частицами осуществляется попарно, так что

По этой причине в первом соотношении в (1.2.16) стоит множитель, исключающий повторный учет взаимодействия между каждой из пар частиц. Отметим, что потенциальную энергию взаимодействия между частицами можно записать также в виде

Далее рассмотрим подробнее потенциальную энергию взаимодействия двух частиц, пространственное положение которых характеризуются радиус-векторами и. Без ограничения общности мы можем рассматривать потенциальную энергию как функцию

от переменных

Другими словами,

В новых переменных сила, с которой частица 1 действует на частицу 2, равна

24

Аналогично, сила, с которой частица 2 действует на частицу 1

Учитывая третий закон Ньютона:, согласно (1.2.21), (1.2.22) приходим к выводу, что при любых значениях переменных и справедливо равенство

Это означает, что функция не зависит от переменной:

Таким образом, потенциальная энергия взаимодействия двух частиц зависит только от взаимного расположения этих частиц относительно друг друга: _{При этом согласно (1.2.17)}

Если учесть экспериментально установленные законы гравитационного и электростатического взаимодействия, в соответствии с (1.2.26) естественно предположить, что потенциальная энергия взаимодействия двух частиц зависит только от расстояния между этими частицами:

При этом принято считать, что соотношение (1.2.27) справедливо в любой момент времени. В этом случае, как следует из проведенного выше рассмотрения, будут справедливы законы сохранения полного импульса,

25

полного момента импульса и полной энергии системы взаимодействующих частиц.

В результате функция Лагранжа для механической системы, состоящей из взаимодействующих частиц во внешнем поле, имеет вид

где функции и определяются соотношениями (1.2.18), (1.2.27) и (1.2.16), соответственно.