Общее выражение для колебания с угловой модуляцией. Спектр ЧМ и фм сигналов.

(Лекции для КТ)

Фазовая и частотная модуляции имеют общее название "угловая модуляция". Все основные свойства сигналов с угловой модуляцией достаточно четко видны при гармоническом сообщении. При этом оба вида модуляции неразличимы.

Фазовая модуляция (ФМ)

При данном виде модуляции пропорционально сообщению S(t) изменяется полная фаза θ(t) несущего колебания:

, ,

где  – коэффициент пропорциональности.

Если сообщение S(t) есть гармоническое колебание, т.е. , то

,

где – коэффициент или индекс фазовой модуляции.

При этом математическая модель сигнала с фазовой модуляцией имеет вид

.

Для мгновенной частоты этого сигнала имеем:

,

где  – девиация или максимальное отклонение мгновенной частоты сигнала от ω₀.

Таким образом, при фазовой модуляции изменяется также мгновенная частота.

Частотная модуляция (ЧМ)

При данном виде модуляции пропорционально сообщению S(t) изменяется мгновенная частота:

.

Если , то

,

где  – девиация частоты.

Для полной фазы имеем

,

где – постоянная интегрирования,

– коэффициент или индекс частотной модуляции.

Математическая модель сигнала с частотной модуляцией имеет вид:

.

Различие сигналов с фазовой и частотной модуляциями проявляется только при модуляции сложным сообщением (смотри приведённые ниже рисунки).

 

 

      Рис.17 – Качественное поведение параметров сигналов при фазовой и частотной модуляциях

 

Осциллограмма сигнала с ЧМ имеет вид

 

                        

                                   Рис.18 – Осциллограмма сигнала с ЧМ

 

Спектры сигналов с угловой модуляцией

 

Полагаем , φ₀ и ψ₀ с целью упрощения опускаем. Тогда:

 .

Следует иметь в виду 2 случая.

1.  β_УМ << 1. В этом случае справедливы соотношения:

                                       

Тогда

.

В спектре – те же частоты, что и при АМ-колебании. Ширина спектра та же, что и у АМ-сигнала и равна .

 

2.  β_УМ >> 1. При этом справедливы следующие разложения:

 

 

Тогда имеем следующее:

 ,

где J_n(o) – функция Бесселя порядка n.

Ширина спектра:

.

Замечание: сигналы с угловой модуляцией получили достаточно широкое распространение, т.к. в условиях действия помех дают возможность передать сообщения по каналу связи с более высокой достоверностью, чем при АМ.

(Баскаков, с. 100)

Физический смысл девиации частоты и индексов частотной и угловой модуляции. Связь между мгновенной частотой и мгновенной фазой колебания.

(Баскаков, с. 101)

Физический смысл этого коэффициента поясняется на рисунке, где изображены модулирующий сигнал и полная фаза ФМ сигнала.

С увеличением сигнала полная фаза растет во времени быстрее, чем по линейному закону.