Автокорреляционная функция (акф) детерминированного сигнала, ее свойства и практическое использование. Ее связь со спектральной плотностью сигнала.

(Баскаков, с. 78)

Применение

· Для работы импульсных радиолокаторов

· Для изучения пространственного распределения галактик

· Для узкого рассеивания рентгеновских лучей (изучение наноструктур)

 

 

Случайные процессы и их происхождение. Основные характеристики случайных процессов.

(Баскаков, с. 155)

(Лекции для КТ.doc, с. 25)

Случайным процессом называют некоторую случайную функцию, зависящую от текущего аргумента, чаще всего – времени, мгновенные значения которой в любые моменты времени сами являются случайными величинами.

Бесконечный ансамбль случайных величин также можно назвать случайным процессом.

Наиболее часто случайный процесс принято определять множеством .

Наиболее важными характеристиками являются:

1. функция распределения ,

2. плотность распределения вероятностей p(x₁, x₂,… x_n, t₁, t₂,…  t_n),

3. энергетический спектр .

Функция распределения

Она определяется так:

.

Её свойства:

1) ,                     2) .

 

Плотность распределения вероятностей

Она определяется через  соотношением

                                  ,

и удовлетворяет условию:

.

Очевидно, что

.

В приведённых соотношениях опущены аргументы времени для упрощения.

Свойства плотности распределения вероятностей:

1) условие положительной определённости:

  ,

Условие нормировки

  ,

Условие симметрии:

 не изменяется при произвольной перестановке своих аргументов:

                                 ,

 4) условие согласованности

.

Совместный центральный момент второго порядка двух случайных величин служит мерой статистической связи этих случайных величин и называется корреляционной функцией:

.

Если в этом выражении m_i и m_j не вычитать (опустить, т.е. использовать не центрированные случайные величины), то такая функция называется ковариационной:

.

В западной литературе и в некоторых наших источниках эти функции принято менять

на противоположные (корреляционная функция называется ковариационной, а ковариационная – корреляционной).

Применение в теории случайных процессов известной пары преобразований Фурье позволяет ввести понятие спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса (спектра мощности):

– пара преобразования Винера-Хинчина.

.

W(ω) – чётная функция частоты (как и R(τ)).

Тогда мы приходим к наиболее употребительным формулам:

,

,

.

F(ω) и N(f) – односторонние спектры мощности случайного процесса.

8. Основные свойства плотности вероятности и функции распределения случайных величин. Методы и примеры определения числовых характеристик случайных процессов.

(Баскаков, с. 144)

(также см. прошлый вопрос – свойства плотности вероятности и функции распределения выделены жирным)

(Баскаков, с. 160)