Основные методы интегрирования

Основные понятия неопределенного интеграла

Неопределенным интегралом функции f (x) называется множество всех первообразных функций F (x) + C.

Записывается это так:

Первообразной функцией  для функции f (x) на промежутке (a; b) называется такая функция F (x), производная которой равна f (x) на рассматриваемом промежутке, то есть .

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Имеет место теорема: Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга в этом промежутке на некоторое постоянное слагаемое.

Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [ a, b ], если 1) она определена на этом множестве; 2) непрерывна в каждой точке этого отрезка, то есть  справедливо равенство , где .

Теорема (условие существования неопределенного интеграла). Всякая непрерывная на отрезке [ a, b ] функция имеет на этом промежутке неопределенный интеграл.

Основные теоремы (свойства неопределенного интеграла):

1.  где C-const.

2. .

3. .

4.  где u, v, w – некоторые функции от х.

5.

6. (Инвариантность формулы интегрирования). Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Ниже приводится таблица основных интегралов, которые используются при вычислениях неопределенных интегралов различных функций. Верность этой таблицы проверяется непосредственно дифференцированием.                                                                                                

Таблица 1.

Интеграл		Значение	Интеграл		Значение
1			11
2			12
3			13
4			14
5			15
6			16
7			17
8			18
9			19
10			20

Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования основан на применении табличных интегралов, и называется непосредственным интегрированием. При этом данный интеграл может быть приведен к табличному с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла.

Примеры:

a)

b)

с) .

Замена переменной

Этот метод интегрирования основан на введении новой переменной интегрирования. Приведем пример: пусть дана сложная функция f (x), где  - функция имеющая непрерывную производную . Применяется свойство инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла, получаем: .

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Примеры:

a)

 

b)

.

с) .

Первый вариант замены: = =

Второй вариант замены:

= =

d) . Первый вариант замены:

=

Второй вариант замены: =  

= .

При интегрировании заменой переменной важно удачно сделать подстановку. Однако нельзя дать общее правило выбора замены переменной для интегрирования любой функции. Это можно сделать только для интегрирования отдельных классов функций: рациональных, тригонометрических и т.д. (интегрирование этих классов функций предложены в таблицах 3 – 7).

Интегрирование по частям

Этот метод интегрирования основан на применении формулы дифференцирования произведения d (uv)= udv + vdu и вычислении затем интеграла . Из этого равества получаем формулу интегрирования по частям:                 .

Примеры:

a)

Интегирируется по частям: пусть ; тогда , . Следовательно, .

Еще раз интегрируется по частям: пусть  тогда . Получаем,

.

b)

Интегирируется по частям: пусть ; тогда . Следовательно,

.

c)

Интегирируется по частям: пусть ; тогда , . Следовательно, .

Получившийся интеграл вычисляется методом замены переменной:

. Тогда

.

d)

Пусть . Тогда .

Интегирируется по частям: пусть ; тогда . Следовательно,

.

e)

Интегирируется по частям: пусть ; тогда , . Следовательно,

.

Обозначается, . Тогда .

Следовательно, .

f)

Интегирируется по частям: пусть ; тогда . Следовательно,

.

g)

Интегрируется по частям: пусть  тогда . Следовательно, .

Еще раз интегрируется по частям: пусть  тогда . Получается,

=

= .

Обозначается, . Тогда .

Следовательно,

h)

Интегрируется по частям: пусть  тогда . Следовательно,

.

Еще раз интегрируется по частям: пусть  тогда . Получается,

Обозначают, . Тогда

Следовательно,

k)

Интегрируется по частям: пусть  

тогда .

Следовательно,

Приведем в таблице 2 некоторые распространённые случаи использования метода интегрирования по частям.

Таблица 2.

вид интеграла	метод интегрирования
, , .	За u принимается многочлен , а за dv все остальные подынтегральные выражения.
, , , , .	За dv принимается , а за u все остальные подынтегральные выражения.
, , , .	данные бесконечные интегралы, решаются как уравнения, после двукратного интегрирования по частям.
, , a > 0.	За dv принимается d х, а за u остальные подынтегральные выражения.

 

Примеры интегралов, не выражающихся через

Элементарные функции

1. Интеграл вида :

a) Р(х) – многочлен третей или четвёртой степени без кратных

корней, такой многочлен называется эллиптическим:

·   – эллиптический интеграл 1 рода;

·  – эллиптический интеграл 2 рода;

·   – эллиптический интеграл 3 рода.

(0 < k < 1, h – комплексное число)

b) Р(х) – многочлен степени выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

c) Р(х) – многочлен выражаемый через элементарные функции называется псевдоэллиптическим.

2.  - интеграл Пуассона[2].

3.  - интегралы Френеля[3].

4.  - интегральный логарифм.

5.  - интегральная показательная функция.

6.  - интегральный синус.

Задания для самопроверки №1

Вычислить:

1.                                             Ответ:

2.                          Ответ:

3.                                                Ответ:

4.                                              Ответ:

5.                                          Ответ:

6.                                    Ответ:

7.                                  Ответ:

8.                                          Ответ:  

9.                                       Ответ:

10.                                             Ответ:

11.                                           Ответ:

12.                                    Ответ:

13.                                           Ответ:

14.                                    Ответ:

15.             Ответ:

16.                      Ответ:

17.                                    Ответ:

18.                                        Ответ:

19.                            Ответ:

20.                                           Ответ:

21.                           Ответ:

22.                                          Ответ:

23.                              Ответ:

24.                               Ответ:

25. Используя метод интегрирования по частям, доказать, что:

а) ;

b) ;

c) .

 

§2.   Определенный интеграл

Основные понятия и методы решения

 определенного интеграла

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f (x) [см. § 1]. Разобьём отрезок [a, b] произвольным образом на п частей точками . На каждом отрезке  длины  выберем произвольную точку . Составим сумму , называемую интегральной суммой для функции f (x) на отрезке [a, b].

Определённым интегралом от функции f (x) на отрезке [a, b] называется число равное пределу интегральных сумм при стремлении к нулю

максимальной из длин отрезков разбиения: , этот предел конечен и не зависит от способов разбиения отрезка [a, b] на части и выбора точек , на отрезках .

Определённый интеграл обозначается символом , где а называется нижним пределом, b называется верхним пределом, х называется переменной интегрирования, f (x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx называется подынтегральным выражением, [ a, b ] – отрезок интегрирования.

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью Ox, сбоку прямыми x = a и x = b, называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл равен площади «криволинейной трапеции» ограниченной функцией , осью О Y, и прямыми х=а и у= b.

Теорема. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то определённый интеграл  существует.

Отметим, что если оставить постоянным нижний предел интегрирования а, а верхний х изменить так, что бы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл: , называется определённым интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х.

Теорема ( Связь между неопределённым интегралом и определённым интегралами). Всякая непрерывная на отрезке [ a, b ] функция  имеет первообразную, равную интегралу , и тогда согласно определению неопределённого интеграла имеет место равенство .

Теорема (Ньютона – Лейбница). Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f (x), то   – это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница [4].

Основные свойства определенного интеграла:

1. .

2. .

3. .

4. Если f (x) £ j (x) на отрезке [ a, b ] a < b, то .

5. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на отрезке [ a, b ], то: .

6. Теорема о среднем. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что .

7. Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: , где равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.

8. .

9.

Формула прямоугольников

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция f (x).

Разобьем отрезок [ a, b ] на n равных частей, длины которых равны , где x₁, x₂, … x_n – точки разбиения. Тогда можно записать, что .

При таком разбиении имеем прямоугольники, площадь которых равна , где , а  – некоторая точка на отрезке, которая в частности выбирается середина отрезка .

Тогда сумма площадей всех прямоугольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение определенного интеграла и называемое общей формулой прямоугольников:

.

Формула трапеций

Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников.

Подынтегральная функция в этом случае заменяется на вписанную ломаную. Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций.

Замечание: чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

;

.

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула)

Данный метод основан на разбиении дуги линии f (x), соответствующую [ a, b ], дугами парабол, что позволяет получить более точную формулу приближенного вычисления. Для этого разделим отрезок интегрирования [ a, b ] на четное число отрезков (2 m).

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси OY и проходящей через точки кривой, со значениями f (x ₀), f (x ₁), f (x ₂).

Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

0

y

x

x0

x2

x1

Уравнения этих парабол имеют вид

Ax² + Bx + C,

где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

Для определения А, В, С имеется система уравнений:

  (1)

 Если обозначим и примем х₀ = - h, x ₁ = 0, x ₂ = h, то   (2)

Выразается S через величины (1):    

C учетом этого: .

Отсюда выражение (2) примет вид: 

Тогда для каждой пары отрезков имеется:

...

Суммируя эти выражения, получаем формулу называемую формулой Симпсона:

Пример:

Вычислим приближенное значение определенного интеграла  с помощью формулы Симпсона и формулы трапеций, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. По формуле Симпсона получим:

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
f(x)	2.828	3.873	4	4.123	4.899	6.557	8.944	11.874	15.232	18.947	22.978

Точное значение этого интеграла: 91.173.

Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

Несобственные интегралы

1.Несобственные интегралы первого рода

Если функция  определена и непрерывна на любом отрезке [ a, b ], то несобственным интегралом с бесконечным пределом или несобственным интегралом первого рода называется интеграл:

 или , или

, с – произвольное число.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Теоремы о сходимости и расходимости:

1. Если на промежутке  непрерывные функции  и  удовлетворяют условию: , то из сходимости интеграла следует сходимости интеграла , а из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла  («признак сравнения»).

2. Если при  и существует конечные предел , то интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).

3. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл , который в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Примеры:

1. - не существует  несобственный интеграл расходится.

2.  - интеграл сходится.

2.Несобственные интегралы второго рода (интеграл от разрывной функции)

Если функция  непрерывна на промежутке  и имеет разрыв II-го рода при , то несобственным интегралом неограниченной функции или несобственным интегралом второго родва называется интеграл:  или , если функция терпит бесконечный разрыв в точке .

Если функция  терпит разрыв II-го рода во внутренней точке , то несобственным интегралом второго рода называют интеграл: .

Замечание: внутренних точек разрыва II-го рода внутри отрезка может быть несколько.

Теоремы о сходимости и расходимости:

1. Если на промежутке  функции  и  непрерывны, при  терпит разрыв II-го рода и удовлетворяют условию: , то из сходимости интеграла следует сходимости интеграла , а из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла  («признак сравнения»).

2. Пусть функции  и  непрерывны на промежутке  и в точке  терпит разрыв II-го рода. Если существует предел , то интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).

3. Если функция , знакопеременная на отрезке , имеет разрыв в точке , и несобственный интеграл  сходится, то сходится и интеграл .

Задания для самопроверки №2

Вычислить:

1.                                                       Ответ: 6-2ln4

2.                                                  Ответ:

3.                                                     Ответ: 0

4.                                                 Ответ:  

5.                                                 Ответ:   

6.                                                            Ответ:

7.                                                       Ответ: π

8. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

a)                                                    Ответ: сходится

b)                                             Ответ: расходится

c)                                            Ответ: сходится

d)                                                      Ответ: расходится

Интеграла

1. Вычисление объём тела по известным площадям параллельных сечений

Пусть тело, заключеное между двумя плоскостями x = a и x = b, имеет площадь сечения S (x) при , проведенного перпендикулярно к оси Ох, и которое является известной и непрерывной изменяющейся при изменении х.

Тогда объем этого тела вычисляется по формуле .

2. Объёмы тел вращения

Пусть кривая, задана уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.    

y=f(x)

, где V – объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции 0 £ y £ f(x),

a £ x £ b вокруг оси Ох.

х=j(у)

, где V – объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции 0 £ x £ j (y),

 c £ y £ d вокруг оси ОУ.