Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Интегрирование иррациональных функций
Выделяют четыре основных типа интегралов, содержащих иррациональные функции: · Первый тип включает в себя интегралы, которые вычисляются методом замены переменной. Примеры: a) b) с)
Таким образом, к первому типу можно отнести следующие подынтегральные выражения, представленные в таблице 5.
Таблица 5.
· Ко второму типу относят интегралы вида , где Pn (x) – многочлен п- ой степени. Интеграл находится с помощью тождества, называемое методом неопределённых коэффициентов: = , где Qn -1 (x) – многочлен степени равной п-1 с неопределёнными коэффициентами, λ – некоторый неопределённый коэффициент. Примеры: а) Здесь n = 3, поэтому соответствующее тождество имеет вид: . Продифференцируем полученное выражение: Умножим на и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х: = = Итого = =
b) Здесь n = 4, поэтому соответствующее тождество имеет вид:
Дифференцируем полученное выражение: Перегруппировываем:
· К третьему типу относят интегралы вида . Интегрируются с помощью тригонометрической подстановки, которая называются подстановкой Эйлера. При необходимости выделяют под радикалом полный квадрат, т.е. , и вводят обозначение: , . Примеры: a) b) с) Таким образом, введя новые обозначения имеем следующие подынтегральные выражения, которые будут иметь соответствующие тригонометрические подстановки, представленные в таблице 6.
Таблица 6.
· Четвёртый тип , где m, n, и p – рациональные числа, называют интегралами от дифференциального бинома. Академиком Чебышевым П.Л.[1] было доказано, что интеграл от дифференциального бинома может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях: Таблица 7.
Примеры:
a) b) Примеры интегралов, не выражающихся через Элементарные функции 1. Интеграл вида : a) Р(х) – многочлен третей или четвёртой степени без кратных корней, такой многочлен называется эллиптическим: · – эллиптический интеграл 1 рода; · – эллиптический интеграл 2 рода; · – эллиптический интеграл 3 рода. (0 < k < 1, h – комплексное число) b) Р(х) – многочлен степени выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим. c) Р(х) – многочлен выражаемый через элементарные функции называется псевдоэллиптическим. 2. - интеграл Пуассона[2]. 3. - интегралы Френеля[3]. 4. - интегральный логарифм. 5. - интегральная показательная функция. 6. - интегральный синус. Задания для самопроверки №1 Вычислить: 1. Ответ: 2. Ответ: 3. Ответ: 4. Ответ: 5. Ответ: 6. Ответ: 7. Ответ: 8. Ответ: 9. Ответ: 10. Ответ: 11. Ответ: 12. Ответ: 13. Ответ: 14. Ответ: 15. Ответ: 16. Ответ: 17. Ответ: 18. Ответ: 19. Ответ: 20. Ответ: 21. Ответ: 22. Ответ: 23. Ответ: 24. Ответ: 25. Используя метод интегрирования по частям, доказать, что: а) ; b) ; c) .
§2. Определенный интеграл Основные понятия и методы решения определенного интеграла
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f (x) [см. § 1]. Разобьём отрезок [a, b] произвольным образом на п частей точками . На каждом отрезке длины выберем произвольную точку . Составим сумму , называемую интегральной суммой для функции f (x) на отрезке [a, b]. Определённым интегралом от функции f (x) на отрезке [a, b] называется число равное пределу интегральных сумм при стремлении к нулю максимальной из длин отрезков разбиения: , этот предел конечен и не зависит от способов разбиения отрезка [a, b] на части и выбора точек , на отрезках . Определённый интеграл обозначается символом , где а называется нижним пределом, b называется верхним пределом, х называется переменной интегрирования, f (x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx называется подынтегральным выражением, [ a, b ] – отрезок интегрирования. Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу – осью Ox, сбоку прямыми x = a и x = b, называется криволинейной трапецией. Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл равен площади «криволинейной трапеции» ограниченной функцией , осью О Y, и прямыми х=а и у= b. Теорема. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то определённый интеграл существует. Отметим, что если оставить постоянным нижний предел интегрирования а, а верхний х изменить так, что бы , то величина интеграла будет изменяться. Интеграл: , называется определённым интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х. Теорема ( Связь между неопределённым интегралом и определённым интегралами). Всякая непрерывная на отрезке [ a, b ] функция имеет первообразную, равную интегралу , и тогда согласно определению неопределённого интеграла имеет место равенство . Теорема (Ньютона – Лейбница). Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f (x), то – это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница [4]. Основные свойства определенного интеграла: 1. . 2. . 3. . 4. Если f (x) £ j (x) на отрезке [ a, b ] a < b, то . 5. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f (x) на отрезке [ a, b ], то: . 6. Теорема о среднем. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что . 7. Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: , где равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов. 8. . 9.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 118; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.217.15.228 (0.046 с.) |