Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Интегрирование рациональных дробей
Дробно-рациональной функцией называется функция вида: , где - многочлен степени m, - многочлен степени n. Замечание: Если m < n, то рациональную дробь называется правильной. Если m ³ n, то рациональную дробь называется неправильной. Примеры: a) = ; b) . c) d) . Интеграл вычисляется с помощью: · рекуррентной формулы: Она выведена в курсе математического анализа: Следовательно, . · интегрирования по частям:
В таблице 3 приведены общие виды правильных рациональных дробей и способы их интегрирования с помощью замены переменной. Таблица 3.
m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и D <0.
Подынтегральные выражения не вошедшие в таблицу 3 интегрируются с помощью метода неопределенных коэффициентов. Теорема (метод неопределенных коэффициентов). Если - правильная рациональная дробь, где знаменатель имеет вид: P (x) = (x - a) a …(x - b) b (x 2 + px + q) l …(x 2 + rx + s) m ) (причем множители типа x 2 + px + q неразложимы на действительные множители первой степени), то эта дробь может быть разложена на сумму простейших дробей: где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины. Примеры: a) = Подынтегральное выражение представляется в виде суммы простейших дробей . После освобождения от знаменателей, получается: . Сгруппировываются члены с одинаковыми степенями:
В итоге получается: b) . Так как дробь неправильная, то выделяется целая часть: 6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7 3x3 – 4x2 – 17x + 6 6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2 2x2 + 3 9x3 + 8x2 – 76x - 7 9x3 – 12x2 – 51x +18 20x2 – 25x – 25 Следовательно, Для нахождения корней уравнения применяем схему Горнера:
Получаются: . Следовательно, корни этого уравнения: 3; -2; 1/3. Отсюда . Получившееся подынтегральное выражение раскладывается на элементарные дроби: Применяем метод произвольных значений, суть которого состоит в том, что в полученное выражение подставляем поочередно (по числу неопределенных коэффициентов) значения х. Для упрощения вычислений принимают точки, при которых знаменатель дроби равен нулю. В нашем случае: 3, -2, 1/3. Получаем:
В итоге получаем: = 1.4. Интегрирование тригонометрических функций · Метод тождественных преобразований. Примеры: a) b) · Метод замены переменной. Примеры: c) d) e)
· Метод универсальной тригонометрической подстановки (универсальной замены). Примеры: f) g)
h) Интеграл вычисляется методом неопределенных коэффициентов:
Получается: . Учитывая выше сказанное, представим основные типы тригонометрических функций в виде таблицы 4. Таблица 4.
Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sin (x) и cos (x). Функции sec(x)=1/cos(x) и csc(x)=cosec(x)=1/sin(x).
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-01-08; просмотров: 111; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.16.76.43 (0.017 с.) |