Химические приложения определенного интеграла

Приведем в виде таблицы 11 химические приложения определенного интеграла.

Таблица 11.

Вычислить	Формула
Количество электричества, протекшее через электролизер за время Т
Средняя и истинная теплоемкости	,
Теплота испарения жидкости для температур, далеких от критической
Теплота возгонки твердого тела
Измерение энтропии при нагревании (охлаждении) от Т1 до Т2 при постоянном объеме или постоянном давлении	,

Примеры:

1. При электролизе раствора CuSO₄ силу тока в цепи, измеренную в амперах, изменяли по закону , где t - время электролиза, измеренное в часах. Чему равна скорость осаждения меди в начале и конце электролиза, если электролиз длился 2 ч и выход по току меди равен 100%? Определить количество меди, образовавшееся за это время на катоде.

Решение.

Скорость электрохимической реакции определим, согласно законам Фарадея, по формуле . Тогда по условию задачи для t=0 и t=2 ч получим (моль×с^-1) и

 (моль×с^-1).

Соответственно количество меди, образовавшееся на катоде, найдем, предварительно определив количество электричества, протекшее через электролизер за это время:

(Кл).

(г).

2. Теплоты образования LiI при 298 К в газообразном и твердом состояниях составляют –67,0 и –271,3 кДж/моль соответственно. Зависимость теплоемкости твердого LiI от температуры выражается уравнением Т. Теплоемкость газообразного LiI  Т. Определить теплоту возгонки LiI при 680 К.

Решение.

Теплоту возгонки определяем по уравнению .

 Дж/моль.

3. Термический коэффициент объемного расширения ртути дается выражением: , где t – температура (⁰С) и V₀=V при t =0. Если показания идеального газового и ртутного термометров совпадают при 0 и 100⁰ С, то какой кажущейся температуре по ртутной шкале будет соответствовать 50⁰ С по шкале идеального газового термометра?

Решение.

Вычисляется с помощью формулы: .

Воспользуемся формулой: .

;

;

Тогда .

2.9. Задания для самопроверки №3

1. Постройте на бумаге в клетку систему координат, где единичный отрезок - 1см. Найдите приближенные значения следующих интервалов с помощью графиков подынтегральных функций:

a) ;

b) ;

c)  .

2. Пусть имеется кардиоида (рис. см. приложение №1). Найти:

a) площадь фигуры ограниченной кардиоидой;           Ответ: .

b) длину дуги кардиоиды;                                  Ответ: 8 а.

3.Пусть имеется одна арка циклоиды , ограниченная осью Ох (рис. см. приложение №1). Найти:

a) площадь циклоиды                                         Ответ: .

b) длину дуги циклоиды;                                  Ответ: 8 а.

c) вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной арки циклоиды.                                                            Ответ: 5π²а³.

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями  и .                                          Ответ: .

5. Определить площадь части круга , ограниченной кривыми .                            Ответ: .

6.Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высокой h = 3,5 м и радиусом основания r = 1,5 м, на его стенки, если .                                     Ответ:

7.Найти работу, совершенную при выкачивании воды из емкости, имеющую форму полуцилиндра, длина которого a, радиус r.

Ответ:

8. Вычислить силу давления воды на пластину, имеющую форму параллелограмма с основанием а = 2 м и высота Н = 3 м, опущенную вертикально вниз на глубину 4 м, если основание параллельно поверхности воды. Плотность воды 1 т/м³.

Ответ: 156,8 кН.

9. Найти координаты центра масс однородной дуги окружности радиусом R с центром в начале координат, расположенной в первом квадранте.

Ответ: (; ).

10. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной линиями .

Ответ: (; ).

11. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, диаметр которого 20 м, если плотность воды  т/м³.

Ответ: 76969 кДж.

12. Найти координаты центра масс однородной плоской фигуры, ограниченной линиями .

Ответ: (9;9).

13. Производительность труда рабочего в течение дня задается функцией (ден.ед./ч.), где t – время в часах от начала работы, . Найти функцию u = u (t), выражающую объем продукции (в стоимостном выражении) и его величину за рабочий день.

Ответ: 4,53 ден. ед.

14. Стоимость перевозки одной тонны груза на один километр (тариф перевозки) задается функцией (ден.ед./км.). Определите затраты на перевозку одной тонны груза на расстояние 20 км.

Ответ: 23,98 ден. ед.

15. Вычислить среднюю теплоемкость аммиака  в интервале температур от 298 до 1000 К.

Ответ: 45,79 Дж/(моль К).

Вопросы и предложения для самопроверки

Неопределенный интеграл

1. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?

2. Что называется первообразной от данной функции?

3. Сформулируйте теорему о существовании неопределенного интеграла.

4. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.

5. В чем состоит метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле?

6. Какая рациональная дробь называется правильной?

7. Как производится разложение правильной рациональной дроби на простейшие?

8. В чем состоит метод интегрирования рациональной функции?

9. Приведите примеры интегрирования простейших иррациональных функций.

Определенный интеграл

10. Что называется определенным интегралом от данной функции в данном интервале?

11. В чем состоит теорема существования определенного интеграла?

12. Сформулируйте свойства определенного интеграла.

13. Каков геометрический смысл определенного интеграла от данной функции  в данном интервале  в системе декартовых координат?

14. Разъясните понятие интеграла как функции своего верхнего предела.

15. Сформулируйте теорему о связи между неопределённым интегралом и определённым интегралами.

16. В чем состоит метод замены переменной в определенном интеграле?

17. В чем особенность вычисления определенного интеграла, взятого по симметричному интервалу ?

18. Что называется несобственным интегралом от данной функции по бесконечному интервалу?

19. Что называется несобственным интегралом от данной функции по данному конечному интервалу?