Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования основан на применении табличных интегралов, и называется непосредственным интегрированием. При этом данный интеграл может быть приведен к табличному с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла.

Примеры:

a)

b)

с) .

Замена переменной

Этот метод интегрирования основан на введении новой переменной интегрирования. Приведем пример: пусть дана сложная функция f (x), где  - функция имеющая непрерывную производную . Применяется свойство инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла, получаем: .

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Примеры:

a)

 

b)

.

с) .

Первый вариант замены: = =

Второй вариант замены:

= =

d) . Первый вариант замены:

=

Второй вариант замены: =  

= .

При интегрировании заменой переменной важно удачно сделать подстановку. Однако нельзя дать общее правило выбора замены переменной для интегрирования любой функции. Это можно сделать только для интегрирования отдельных классов функций: рациональных, тригонометрических и т.д. (интегрирование этих классов функций предложены в таблицах 3 – 7).

Интегрирование по частям

Этот метод интегрирования основан на применении формулы дифференцирования произведения d (uv)= udv + vdu и вычислении затем интеграла . Из этого равества получаем формулу интегрирования по частям:                 .

Примеры:

a)

Интегирируется по частям: пусть ; тогда , . Следовательно, .

Еще раз интегрируется по частям: пусть  тогда . Получаем,

.

b)

Интегирируется по частям: пусть ; тогда . Следовательно,

.

c)

Интегирируется по частям: пусть ; тогда , . Следовательно, .

Получившийся интеграл вычисляется методом замены переменной:

. Тогда

.

d)

Пусть . Тогда .

Интегирируется по частям: пусть ; тогда . Следовательно,

.

e)

Интегирируется по частям: пусть ; тогда , . Следовательно,

.

Обозначается, . Тогда .

Следовательно, .

f)

Интегирируется по частям: пусть ; тогда . Следовательно,

.

g)

Интегрируется по частям: пусть  тогда . Следовательно, .

Еще раз интегрируется по частям: пусть  тогда . Получается,

=

= .

Обозначается, . Тогда .

Следовательно,

h)

Интегрируется по частям: пусть  тогда . Следовательно,

.

Еще раз интегрируется по частям: пусть  тогда . Получается,

Обозначают, . Тогда

Следовательно,

k)

Интегрируется по частям: пусть  

тогда .

Следовательно,

Приведем в таблице 2 некоторые распространённые случаи использования метода интегрирования по частям.

Таблица 2.

вид интеграла	метод интегрирования
, , .	За u принимается многочлен , а за dv все остальные подынтегральные выражения.
, , , , .	За dv принимается , а за u все остальные подынтегральные выражения.
, , , .	данные бесконечные интегралы, решаются как уравнения, после двукратного интегрирования по частям.
, , a > 0.	За dv принимается d х, а за u остальные подынтегральные выражения.