Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Применение диаграмм Эйлера-Венна при решении практических задачСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Для наглядного представления множеств и отношений между ними используются диаграммы Эйлера-Венна. Универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а множества, входящие в универсальное множество, в виде кругов внутри прямоугольника; элементу множества соответствует точка внутри круга (рис. 1). С помощью диаграмм Эйлера-Венна удобно иллюстрировать операции над множествами. Результирующее множество каждой операции выделено штриховкой.
Рис. 1. Представление операций над множествами с помощью диаграмм Эйлера-Венна Пример. Рассмотрим операцию дополнения множества, являющегося пересечением множеств MА и MВ. Необходимо доказать, что её результат совпадает с объединением дополнений этих множеств: Решение. M = =` MА È` MВ. В этом можно убедиться с помощью диаграмм Эйлера-Венна (рис. 2).
Рис. 2 Для любых подмножеств А, В и С универсального множества U выполняются следующие тождества (основные тождества алгебры множеств):
Примеры. 1. Рассмотрим предположение о том, что произвольные множества A и B попарно эквивалентны: 1) A Ì B; 2) A Ç B = A; 3) A È B = B. Решение. Докажем, что из первого предположения следует второе. Действительно, так как A Ç B Ì A, то достаточно показать, что в этом случае A Ì A Ç B. Но если х Î A, то х Î B, т. к. A Ì B и, следовательно, х Î A Ç B.
Докажем, что из второго предположения следует третье. Так как A Ç B = A, то A È B = (A Ç B) È B. По закону поглощения (см. тождество 9) B È (A Ç B) = B. Отсюда, используя закон коммутативности, получаем A È B = B. Докажем, что из третьего предположения следует первое. Так как A Ì A È B, а по условию третьего предположения A È B = B, то А Ì В. Задания Для аудиторных занятий 1.Записать множество М целых чисел х, которые делятся на три и находятся в интервале 3 £ х £ 15. Записать двумя способами. 2.Записать множество А целых чисел х, которые делятся на 2 и на 3 и находятся в интервале 20 £ х £ 25. Записать двумя способами. 3.Принадлежит ли х множеству М, если: а) М = {2, 6, 8, …, 50}; х = 35; б) М = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, …, 100}; х = 23; в) М = {-2, 2, -4, 4, …, 120}; х = -30. Записать приведенные множества с указанием свойств их элементов. 4.Доказать неравенство: {{1, 2}, { 2, 3}} ¹ {1, 2, 3}. 5.Какие из следующих выражений являются истинными и какие ложными: а) Æ Î {{Æ}}; б) 1 Î {{1, 2}}; в) {1, 2} Î {{1, 2}}; г) {1, 2} Î {{1, 2}, {1, 3}, 1, 2}. 6. Привести примеры таких множеств А, В, С, чтобы были истинными следующие высказывания: а) А Î В Ù В Î С Ù А Ï С; б) А Î В Ù В Î С Ù А Î С. 7. Какие из следующих множеств конечны и какие бесконечны: а) { x Î R ç x 2 - 5 x + 4 = 0}; б) { x Î N ç x 2 - 5 x + 4 > 0}; в) { x Î N ç x 2 / 24}. 8. Равны ли множества: а) { x Î R ç x 2 - 2 x – 2 = 0} и { x Î Q ç x 2 - 2 x – 2 = 0}; б) { x Î Z ç4/ x Ù 15/ x } и { x Î Z ç4/ x Ù 15/ x }{ x Î Z ç20/ x Ù 30/ x }. 9. Перечислить элементы следующих множеств: а) { x Î R ç x 2 - 3 x + 2 = 0}; б) { x Î R ç x 2 + 1 = 0}; в) множество всех корней уравнения x 2 + 6 x + 9 = 0. 10. Перечислить все элементы каждого из следующих множеств: а) { x ç x Í{ 1}}; в) { x ç x Í {1, 2, 3}}; б) { x ç x Í {1, 2}}; г) { x ç x Í Æ}. Для самостоятельной работы 1. Перечислить элементы следующих множеств: а) множество четных чисел от 0 до 20 включительно; б) множество всех двузначных чисел, делящихся на 5 и не делящихся на 10; в) множество всех последовательностей, содержащих все числа 1, 2, 3, 4, 5 и только эти числа, в которых четные и нечетные числа чередуются.
2. Равны ли множества: а) {2, 4, 5} и {2, 4, 2, 5}; б) {1, 2} и {{1, 2}}; в) {1, 2, 3} и {3, 1, 2, 1}}; г) {1, 2, 3} и {{1}, {2},{3}}. 3. Перечислить подмножества следующих множеств: а) {{1, 2}, {3}, 4}; б) {{5, 2}}; в) {{2}, {6}, {3} }; г) {{4, 6}, {1}, 1}. 4. Вставить между множествами символ Î или Ì так, чтобы получилось истинное высказывание: а) {1} {1, {1, 2}}; б) Æ {Æ}; в) Æ {{Æ}}; г) {1, 2} {1, 2, {1, 2}}. 5. Найти А È В, А Ç В, А \ В, В \ А,` А,` В: а) А = {1, 2, 3}, В = {2, 3, 5, 4}, U = {1, 2, …, 9}; б) А = { х ׀ х делится на 2}, В = { х ׀ х делится на 3}, U = N. 6. Доказать следующие тождества:
7. Показать с помощью диаграмм Эйлера-Венна, какие из следующих утверждений верны:
8. Найти мощность множеств, мощность их булеанов и | А È В | – мощность объединения множеств: а) А = {4, 5, 6}, В = {4, 5, 6, 7, 8}; б) А = {1, 3, 5, 6}, В = {4, 5, 6, 7}; в) А = {3, 5, 7}, В = {2, 5, 6, 7, 9}; г) А = {1, 2, 3, 5}, В = {2, 4, 5, 6, 7}. 9. Вставить между множествами символ Î или Í так, чтобы получилось истинное высказывание: а) {1} {1, {1, 2}}; г) Æ {1, 2, {1}, {Æ}}; б) {1, 2} {1, 2, {1},{2}}; д) Æ {{Æ}}; в) {1, 2} {1, 2,{1, 2}}; е) Æ {Æ}. 10. Привести пример множеств A, B, C, таких, чтобы выполнялись условия: а) A Î B, B Ï C, A Í C; б) A Î B, A Ï C, C Í B; в) A Í B, B Î C, A Ï C. Литература 1. Куликов, Л. Я. Сборник задач по алгебре и теории чисел / Л. Я. Куликов, А. И. Москаленко, А. А Фомин. – М.: Просвещение, 1993. – 288 с. 2. Ерусалимский, Я. М. Дискретная математика. Теория, задачи, приложения: учеб. пособие для вузов / Я. М. Ерусалимский. – М.: Вузовская книга, 2008. – 288 с. 3. Новиков, Ф. А. Дискретная математика для программистов: учебник для вузов / Ф. А. Новиков. – СПб.: Питер, 2001. – 304 с.
Практическое занятие № 2 Тема: «Бинарные отношения» Цель занятия: усвоение таких понятий, как упорядоченная пара, прямое произведение множеств, бинарное отношение, типы бинарных отношений, свойства (рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность). Пояснение к работе Время выполнения практического задания – 2 часа. Последовательность выполнения 1. Руководствуясь приведенным теоретическим материалом, ответить на следующие вопросы: Какие способы задания бинарного отношения вы знаете? Что является областью определения бинарного отношения r? Что является областью значений бинарного отношения r? Какое отношение r называется рефлексивным на множестве X? Какое отношение r называется симметричным на множестве X? Главная диагональ матрицы какого отношения содержит только единицы? Для какого отношения r всегда выполняется условие r = r – 1? Для какого отношения r всегда выполняется условие r r Í r. 2. Дать определение следующих понятий: – бинарное отношение; – композиция отношений. 3. Выполнить задания для аудиторных занятий. 4. Выполнить задания для самостоятельной работы.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2020-12-09; просмотров: 207; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.217.104.36 (0.011 с.) |