Индуктивность в контуре. Самоиндукция

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого, по закону Био-Савара-Лапласа, пропорциональ­на току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому пропорционален току I в контуре: Ф=LI, где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура.

При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуцироваться э.д.c. Возникновение э.д.c. индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.

Единица индуктивности генри (Гн): 1 Гн — ин­дуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1 А равен 1 Вб:

1 Гн=1 Вб/А=1 В с/А. Рассчитаем индуктивность бесконечно длинного соленоида. Полный магнитный поток сквозь соленоид (потокосцепление) равен μ μ0N I S/l.

                             L=μμNNS/l

т. е. индуктивность соленоида зависит от числа витков соленоида N, его длины l, площади S и магнитной проницаемости μвещества, из которого изготовлен сердечник соленоида.

Можно показать, что индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится. В этом смысле индуктивность контура — аналог электричес­кой емкости уединенного проводника, которая также зависит только от формы провод­ника, его размеров и диэлектрической проницаемости среды Применяя к явлению самоиндукции закон Фарадея (см. (123.2)), получим, что э. д. с. самоиндукции

               εs=-dФ/dt=-d(LI)/dt=-(LdI/dt+IdL/dt)

Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется, то L=const и  εs=-LdI/dt, где знак минус, обусловленный правилом Ленца, показывает, что наличие индуктив­ности в контуре приводит к замедлению изменениятока в нем. Если ток со временем возрастает, то (dI/dt)>0 и εs <0, т. е. ток самоиндукции направлен навстречу току, обусловленному внешним источником, и замедляет его возрастание. Если ток со временем убывает, то (dI/dt)<0 и εs>0, т. е. индукционный ток имеет такое же направление, как и убывающий ток в контуре, и замедляет его убывание. Таким образом, контур, обладая определенной индуктивностью, приобрета­ет электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индуктивность контура.

Токи при размыкании и замыкании цепи

При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает э. д. с. самоиндук­ции, в результате чего в контуре появляются дополнительные токи, называемые стратокамм самоиндукции. Экстратоки самоиндукции, согласно правилу Ленца, всегда направлены так, чтобы препятствовать изменениям тока в цепи, т. е. направлены противоположно току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстратоки имеют такое же направление, что и ослабевающий ток. Следовательно,наличие индуктивности в цепи приводит к замедлению исчезновения или установления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения тока в цепи, содержащей источник тока с э.д.с. ε, резистор с сопротивлением R и катушку индуктивностью L. Под действием внешней э. д. с. в цепи течет постоянный ток Iо=ε /R (внутренним сопротивлением источника тока пренебрегаем).В момент времени t=0 отключим источник тока. Ток в катушке индуктивностью L начнет уменьшаться, что приведет к возникновению э.д.c.самоиндукции εs=─LdI/dt, препятствующей, согласно правилу Ленца, уменьшению тока. В каждый момент време­ни ток в цепи определяется законом Ома I=εs/R или

IR=─LdI/dt.  (2) Разделив переменные, получим dI/I=─Rdt/L. Интегрируя это уравнение по I (от I₀ до I) и t (от 0 до t), находим ln(I/I0)=—Rt/L, или I=I0exp(-t/τ)

где τ= L / R — постоянная, называемая временем релаксации. τ есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону и определяется кривой lна рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше τ и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

При замыкании цепи помимо внешней э. д. с.εвозникает э. д. с. Самоиндукции εs=─LdI/dt, препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома IR=ε+εs,или

IR=ε─LdI/dt. Введя новую переменную u=IR— E, преобразуем это уравнение к виду du/u=─dt/τ

где τ-время релаксации.

В момент замыкания (t=0) сила тока I=0 u=─ε. Следовательно, интегрируя по и (от -ε до IR-ε) и t (от 0 до t), находим ln[(IR-ε)]/-ε, или I=I0(1-exp(-t/τ))

Рис. 183

гдеIо=ε/R — установившийся ток (при t→ ∞).

Таким образом, в процессе включения источника тока нарастание силы тока в цепи задается функцией и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I=0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I₀ =ε / R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации τ= L / R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индук­тивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндукции ε, возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от Rо до R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток Iо=ε /R0. При размыкании цепи ток изменяется по формуле (2). Подставив в нее выражение для I₀ и τ, получим I=ε exp(-Rt/L)/R0

Э.д.с. самоиндукции εs=─LdI/dt=Rε exp(-Rt/L)/ R0, т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R/R0 >> 1), обладающей боль­шой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникнове­ние значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет больших значений.

 

27.Энергия системы проводников с током.Объёмная плотность энергии.

I= (ε+ εc)/R; εc=─LdI/dt; IR= (ε─LdI)/dt | (*I)↔ I*I*R*dt= εIdt─LIdI.Отсюда следует, что сторонние силы работают над созданием магнитного поля.

dW=LIdI; W=∫LIdI=(L*I*I)/2. 

Энергия магнитного поля соленоида. L= μ μ0 n*n V, Если соленоид длинный, то V=Vполя.

B= μ μ0 nI; W= (μ μ0 n*nVB*B)/2 (μ μ0 μ μ0 n n)=B*BV/(2 μ μ0)

Объёмная плотность- ωm=W/V=B*B/(2μ μ0)= μ μ0 H*H/2=BH/2; Wm=∫ ωmdV