Магнитное поле и его характеристики

Опыт показывает, что, подобно тому, как в пространстве, окружающем.электрические заряды, возникает электростатическое поле, так и в пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает силовое поле, называемое магнитным. Наличие магнитного поля обнаруживается по силовому действию на внесенные в него провод­ники с током или постоянные магниты. Название «магнитное поле» связывают с ориен­тацией магнитной стрелки под действием поля, создаваемого током (это явление впервые обнаружено датским физиком X. Эрстедом (1777—1851)).

Электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся в нем электрические заряды. Важнейшая.особенность магнитного поля состоит в том, что оно действует только на движущиеся в этом поле электрические заряды. Опыт показы­вает, что характер воздействия магнитного поля на ток различен в зависимости от формы проводника, по которому течет ток, от расположения проводника и от направ­ления тока. Следовательно, чтобы охарактеризовать магнитное поле, надо рассмот­реть его действие на определенный ток.

Подобно тому, как при исследовании электростатического поля использовались точечные заряды, при исследовании магнитного поля используется замкнутый плоский контур с током (рамка с током), линейные размеры которого малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле. Ориентация контура в простран­стве определяется направлением нормали к контуру. Направление нормали определя­ется правилом правого винта: за положительное направление нормали принимается направление поступательного движения винта, головка которого вращается в направ' лении тока, текущего в рамке.

Опыты показывают, что магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующие действие.

Этот результат используется  для выбора направления магнитного поля. За направление магнитного поля в данной точке принимается направление, вдоль которого располагается положитель­ная нормаль к рамке. За направление магнитного поля может быть также принято направление, совпадающее с направлением силы, которая действует на север-вый полюс магнитной стрелки, помещенной в данную точку/ Так как оба полюса магнитной стрелки лежат в близких точках поля, то силы, действующие на оба полюса, равны друг другу. Следовательно, на магнитную стрелку действует пара сил, поворачи­вающая ее так, чтобы ось стрелки, соединяющая южный полюс с северным, совпадала с направлением поля.

Рамкой с током можно воспользоваться также и для количественного описания магнитного поля. Так как рамка с током испытывает ориентирующее действие поля, то на нее в магнитном поле действует пара сил. Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств рамки и определяется формулой М=[ p_m B]                                                 

где p_m — вектор магнитного момента рамки с током (В — вектор магнитной индукции,

количественная характеристика магнитного поля). Для плоского контура с током I p_m=ISn,                                                   

где S- площадь поверхности контура (рамки), n - единичный вектор нормали к по­верхности рамки. Направление p_m совпадает, таким образом, с направлением по­ложительной нормали.

Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с различными магнитными моментами, то на них действуют различные вращающие моменты, однако отношение ММАХ / p_m (ММАХ — максимальный вращающий момент) для всех контуров одно и то же и поэтому может служить характеристикой магнитного поля, называемой магнитной индукцией: B= ММАХ / p_m.

Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным момен­том, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Следует отметить, что вектор В может быть выведен также из закона Ампера и из выражения для силы Лоренца.

Так как магнитное поле является силовым, то его, по аналогии с электрическим, изображают с помощью линий магнитной индукции — линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора В. Их направление задается правилом правого винта: головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, враща­ется в направлении линий магнитной индукции.

Линии магнитной индукции можно «проявить» с помощью железных опилок, намагничивающихся в исследуемом поле и ведущих себя подобно маленьким магнит­ным стрелкам. Линии магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с током. Этим они отличаются от линий напряженности электростатического поля, которые являются разомкнутыми (начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных.

Опыты показали, что, разрезая магнит на части, его полюсы разделить нельзя, т. е. в отличие от электрических зарядов свободные магнитные «заряды» не существуют, поэтому линии магнитной индукции не могут обрываться на полюсах. В дальнейшем было установлено, что внутри полосовых магнитов имеется магнитное поле, аналогичное полю внутри соленоида, и линии магнитной индукции этого магнитного поля являются продолжением линий магнитной индукции вне магнита. Таким образом, линии магнитной индукции магнитного поля постоянных магнитов являются также замкнутыми.

До сих пор мы рассматривали макроскопические токи, текущие в проводниках. Однако, согласно предположению французского физика А. Ампера (1775—1836), в лю­бом теле существуют микроскопические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах. Эти микроскопические молекулярные токи создают свое маг­нитное поле и могут поворачиваться в магнитных полях макротоков. Например, если вблизи какого-то тела поместить проводник с током (макроток), то под действием его магнитного поля микротоки во всех атомах определенным образом ориентируются, создавая в теле дополнительное магнитное поле. Вектор магнитной индукции В харак­теризует результирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками, т. е. при одном и том же токе и прочих равных условиях вектор В в различных средах будет иметь разные значения.

Магнитное поле макротоков описывается вектором напряженности Н. Для однород­ной изотропной среды вектор магнитной индукции связан с вектором напряженности следующим соотношением:

B=μ0μH,                                                

где μо — магнитная постоянная, μ - безразмерная величина — магнитная проницае­мость среды, показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков Н усиливается за счет поля микротоков среды.

Сравнивая векторные характеристики электростатического (Е и D) и магнитного (В и Н) полей, укажем, что аналогом вектора напряженности электростатического поля Е является вектор магнитной индукции В, так как векторы Е и В определяют силовые действия этих полей и зависят от свойств среды. Аналогом вектора электрического смещения D является вектор напряженности Н магнитного поля.

   Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774—1862) и Ф. Саваром (1791—1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком д. Лапласом.

Закон Био-Савара-Лапласа для проводника с током І, элемент dl которого создает в некоторой точке A(рис. 164) индукцию поля dB, записывается в виде dB=

где dl- вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, г -радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, r— модуль радиуса-вектора г. Направление dB перпендикулярно dl и r, т. е. перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление враще­ния головки винта дает направление dB, если поступательное движение винта соответ­ствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dB определяется выражением dB=μμ0 Idl sinα/

где ά — угол между векторами dl и г.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

В= ∑Вi

Расчет характеристик магнитного поля (В и Н) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную сим­метрию, то применение закона Био - Савара — Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

1. Магннтное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на расстояние R,векторы dB от всех элементов тока имеют одинаковое направление

  

перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол а (угол между векторами dl и г), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что

r=R/sinα, dl=rdα/sinα            

(радиус дуги CD вследствие малости dl равен г, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна dB=μ0μIsinαdα/4πR. Так как угол ά для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до π, то согласно (110.3) и (110.4), B=∫dB=μ0μI/4πR∫sinαdα= μ0μI/2πR

2. Магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 166). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления вдоль нормали от витка. Поэтому сложение век­торов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin ά=l) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),

 Тогда B=∫dB=(μμ/4π)*(І/R)*∫dl=. μ0μI/2R

Закон Ампера

Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие, следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия силна отдельные ее элементы. Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнит­ам поле, равна

dF=I[dl,B],

где dl — вектор, по модулю равный dl и совпадающий по направлению с током, В — вектор магнитной индукции.

Направление вектора dF может быть найдено, согласно (111.1), по общим правилам векторного произведения, откуда следует правши) левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца рас­положить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

dF=IBdl sin ά (111.2),где α— угол между векторами dl и В.

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I1и I2(направления токов указаны на рис. 167), расстояние между которыми равно R. Каждый из провод­ников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой провод­ник с током. Рассмотрим, с какой силой действует магнитное поле тока I1 на элемент dl

второго проводника с током I2. Ток I1создает вокруг себя магнитное поле, линии

магнитной индукции которого представляют собой концентрические окружности. На­правление вектора B1 определяется правилом правого винта, его модуль равен μ0μ2I1/4πR

 

Направление силы dFj, с которой поле В) действует на участок d/ второго тока, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке. Модуль силы, согласно (П1.2), с учетом того, что угол а между элементами тока /₂ и вектором Bj прямой, Равен dF1=I2B1dl

.

подставляя значение для В_ъ получим dF1= μ0μ2I1I2dl/4πR

Рассуждая аналогично, можно показать, что сила dF₂, с которой магнитное поле тока I₂ действует на элемент dl первого проводника с током I_ь направлена в проти­воположную сторону и по модулю равна dF2= I1B2dl== μ0μ2I1I2dl/4πR.Сравнение выражений (111.3) и (111.4) показывает, чтоdF1=dF2

т. е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой

dF= μ0μ2I1I2dl/4πR. Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания.

Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля

Если два параллельных проводника с током находятся в вакууме (μ= 1 ), то сила взаимодействия на единицу длины проводника, согласно (111.5), равна dF/dl=

Для нахождения числового значения μо воспользуемся определением ампера, согласно

которому dF/dl=2-10 ⁷ Н/м при Ii=I₂= 1 А и R = 1 м. Подставив это значение в формулу (112.1), получим

где генри (Гн) — единица индуктивности (см. § 126).

Закон Ампера позволяет определить единицу магнитной индукции B. Предположим, что элемент проводника dl с током I перпендикулярен направлению магнитного поля. Тогда закон Ампера (см. (111.2)) запишется в виде dF = IBdl, откуда B=

Единица магнитной индукции- тесла (Тл): 1 Тл — магнитная индукция однородного магнитного поля, которое действует с силой 1 Н на каждый метр длины прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению магнитного поля, если по этому проводнику проходит ток 1 А:          1 Тл=1 Н/(А*м).

Так как μо=4π 10-⁷ Н/А², а в случае вакуума (μ= 1), В= μоН, то для данного случая

 H=B/μо

Единица напряженности магнитного поля — ампер на метр (А/м): 1 А/м — напря­женность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4π *10 -⁷ Тл.

21.. Циркуляция вектора В магнитного поля в вакууме

Аналогично циркуляции вектора напряженности электростатического поля введем циркуляцию вектора магнитной индукции. Циркуляцией вектора В по заданно­му замкнутому контуру называется интеграл

где dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, Вl=В cos a — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), α— угол между векторами В и dl.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В): циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μо на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим кон­туром:

∫Bdl=∫Bldl= μо∑Ik (1)

где n — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным.

Выражение (1) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи. Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на примере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярного плоскости чертежа и направленного к нам. Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса г (рис). В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касатель­ной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектора В равна ∫B,dl=∫ Bdl=B∫dl=B2πr.

                                              

Согласно выражению (1), получим B2πr=μоI (в вакууме), откуда B=μ0I/2πr

Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора В получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока.

Сравнивая выражения для циркуляции векторов Е и В, видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростати­ческого поля всегда равна нулю, т. е. электростатическое поле является потенциаль­ным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

Теорема о циркуляции вектора В имеет в учении о магнитном поле такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике, так как позволяет находить магнитную индукцию поля без применения закона Био — Савара — Лапласа.