Билет 34. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс

 

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила

Закон движения пружинного маятника запишется в виде:

Используя формулу циклической частоты  и Ур-ие коэф.затухания ,придём к уравнению

Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение .Тогда уравнения (дифференциальное уравнение колебаний заряда Q в контуре) и  можно записать в виде .Используя (Ур-ие циклической частоты) и (коэф. Затухания) придём к уравнению  Колебания. Возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся э.д.с., называются соответственно вынужденными механическими и вынужденными электромагнитными колебаниями.

Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты  . Меха­нические и электромагнитные колебания будем рассматривать одновременно, называя колеблющуюся величину либо смещением (х) колеблющегося тела из положения равновесия, либо зарядом (Q) конденсатора.

Из формулы 

 (1)

следует, что амплитуда А смещения (заряда) имеет максимум. Чтобы определить резонансную частоту   — частоту, при которой амплитуда А сме­щения (заряда) достигает максимума, — нужно найти максимум функции (1), или, что то же самое, минимум подкоренного выражения. Продифференцировав подкорен­ное выражение по и приравняв его нулю, получим условие, определяющее :

 

Это равенство выполняется при  , у которых только лишь положи­тельное значение имеет физический смысл. Следовательно, резонансная частота (2)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего переменного напряжения) к ча­стоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы, называется резонансом (соответственно механическим или электрическим). При   значение   практически совпадает с собственной частотой     колебательной системы. Подста­вляя (2) в формулу (1), получим

Резонанс.

Из выражения  следует, что если затухание в системе отсутствует ,то только в этом случае колебания и вынуждающая сила(приложенное переменное напряжение)имеют одинаковые фазы; во всех других случаях .При изменении , а при  независимо от значения коэффециента затухания , т.е. сила(напряжение) опережает по фазе колебания на .При дальнейшем увеличении  сдвиг фаз возрастает и при  т.е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы(переменного напряжения).

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собствен­ная частота колебаний их не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разруше­ния. С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, к примеру, в схемотехнике или геологии.