Введение. Предмет математического программирования

Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества возможных ва­риантов в условиях рыночных отношений приходится находить наилуч­шие в некотором смысле при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. До недавнего времени большинство таких задач решалось, исходя из здравого смысла и опыта лиц, принимающих решения или просто «на глаз». При таком подходе не было и не могло быть никакой уверенности, что найденный вариант наи­лучший, а при современных масштабах производства даже незначитель­ные ошибки оборачиваются громадными потерями. В связи с этим воз­никла необходимость применять для анализа экономической ситуации математические методы и вычислительную технику. Такие методы объе­диняются под общим названием математическое программирование или математическое моделирование.

Математическое программирование − область математики, раз­раба­тывающая теорию и численные методы решения многомерных экстре­мальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции мно­гих переменных с ограничениями на область определения этих перемен­ных. Функция, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называется целевой функцией или показа­телем эффективности, или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это со­ставляет математическую модель задачи.

Математическая модель задачи – это отражение оригинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д. Модель задачи математиче­ского программирования включает:

1) совокупность неизвестных величин , действуя на которые, систему можно совершенствовать. Её называют планом задачи (вектором управления, решением, стратегией, поведением и т. д.);

2) целевую функцию (она позволяет выбирать наилучший вариант из множества возможных). Её обозначают Z = Z (х). Это может быть прибыль, объем выпуска или реализация продукции, затраты производства, издержки и т. д.;

3) условия (или систему ограничений), налагаемые на неизвестные величины; эти условия могут быть материальные, финансовые, трудовые ресурсы, возможности технического и научного потенциала. Математические ограничения выражаются в виде уравнений и нера­венств. Их совокупность образует область допустимых решений (ОДР). Если ОДР обозначим заq, то модель задачи математического программи­рования примет вид:

mах (min) Z = Z ( }, Î Q.

Илив развернутом виде: найти план = (х₁ ... х_n), доставляющий экстремальное значение це­левой функции z при ограничениях j_i (х₁ ... х_n){£ = ³} B_i. Из экономиче­ских соображений на план задачи налагаются условия неотрицательности х_i ³ 0, иногда целочисленности. Допустимый план, доставляющий функ­ции цели экстремальное значение, называется оптимальным.

 Начало ма­тема­тического программирования было положено в 1939 г. советским математиком-экономистом Л. В. Канторовичем. Составными частями ма­тематического программирования являются линейное, нелинейное, дискретное, ди­намическое программирование, а также теория игр и графов.