Оценка точности результатов равноточных измерений по разностям двойных измерений. Формулы, порядок вычислений.




ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Оценка точности результатов равноточных измерений по разностям двойных измерений. Формулы, порядок вычислений.



На практике часто производят 2-ые равноточные измерения.

Пусть некоторые однородные величины измерены дважды и получены результаты: l1',l2'…ln' и l"1,l2"…ln".

При абсолютно точных измерениях разности этих величин должны быть равны 0. Из-за влияния различных ошибок этого не получается, если предположить, что влияние оказывают только случайные ошибки, то разности можно считать случайными ошибками. d=li'-li"

Значит по ним как по случайным ошибкам можно вычислить СКО с применением формулы Гаусса:

md=√[d2]/n.

Формула для определения СКО одного измерения: ml=√([d2]/2n)

Для оценки точности требуется вычислить СКО вероятнейшего значения получаемого через разность 2-ных измерений: ml=0.5√([d2]/n)

Эти формулы справедливы когда в измерениях отсутствуют систематические ошибки. Если есть систематическая ошибка то ее нужно определить и исключить. Если бы в разностях не было случайных ошибок, а была бы одна систематическая, то все разности равнялись бы систематической ошибке, тогда наиболее надежное значение систематической ошибке получается по формуле арифметического среднего θ =[d]/n. Исключая величину систематической ошибки из разности получим остаточные разности ∂i=di- θ, которые имеют тот же смысл, что и вероятнейшие ошибки. Поэтому можно применять формулы Бесселя. md=√[∂2]/n-1, me=md/√2, ml=√[∂2]/2(n-1), mL=0.5√[∂2]/n-1. Правильность вычислений контролируют по формулам: [∂]=0, [θ 2]=[d2]-[d2]/n, [∂2]=[ ∂d].

18. Средняя квадратическая ошибка арифметической середины. Вывод формулы.

M=L-x.

Для вывода этой формулы примем

1=l1-x

2=l2-x

…,

n=ln-x

Сложим и разделим все и получим [∆]/n=[l]/n-xn/n. Возведем это равенство в квадрат М2=(∆12+∆22+…+∆n2+2∆12+2∆13+…+2∆1n+2∆23+2∆24+…+2∆2n+…+2∆n-1n)/n2

Т.к. в этой формуле на основании свойства случайных ошибок удвоенные произведения могут иметь разные знаки и при возрастании числа сумма их будет стремиться к 0, поэтому отбросив их получим приближенное равенство. M2=(∆12+∆22+…+∆n2)/n2=[∆2]/n2.

М=ml/√n,

ML=ml/√n-СКО вероятнейшего значения.

Следовательно, СКО арифметической середины равноточных измерений одной и той же величины в √n раз меньше СКО одного измерения. Следовательно, вероятнейшее значение будет наиболее точным по сравнению с каждым результатом измерения.

19.СКО функции общего вида: U = F ( X 1 , X 2 ,…, XN ). Вывод формулы.

U=f(X1,X2,…,Xn), где X1,X2,Xn - непосредственно измеренные величины содержащие ошибки ∆х1,∆х2,∆хn. Если меняются значения аргументов функции на величину ошибки, то меняется и сама функция U+∆U=f(x1+∆х12+∆х2,,хn+∆хn) Раскладывая правую часть в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми его членами, содержащими лишь первые степени малых ошибок, получаем: U+∆U=f(x1,x2,…,xn) + (∂f/∂x)∆x1+(∂f/∂x2)∆x2+…+(∂f/∂xn)∆xn.

∆U=∂f/∂x1*∆x1+∂f/∂x2*∆x2+…+∂f/∂xn*∆xn,

mU2=(∂f/∂x1)2mx12+(∂f/∂x2)mx22+…+(∂f/∂xn)mxn2,

mU= √∑(∂f/∂xi)2mXi2

20.СКО функции вида U = KX ( K - const ). Вывод формулы.

U=KX, где K-const, х -непосредственно измеряемая величина, полученная в результате однократного измерения со случайной ошибкой ∆x: U+∆U=K(x+∆x), где ∆U-случайная ошибка ∆U=K∆x.

При многократном измерении величины Х получим ряд соотношений:

∆U1=K∆x1

∆U2=K∆x2

…………………

∆Un=K∆xn

Возведем в квадрат каждый член функций, сложим и разделим на n:

[∆U2]/n = K2 [∆x2]/n

m2u=K2m2x ; mu=Kmx – величина С.К.О, произведение с постоянным множителем.

Функция имеет следующий вид: U=K1X1+ K2X2+…+ KnXn , где К1, К2n –постоянные величины для каждой группы измерений. X1, X2, Xn – независимые величины в каждой группе измерений, определенные со С. К.О. m1, m2 … mn.

m2u=K12m2x1+ K22m2x2 + …+ Kn2m2xn

Если mX1=mX2=…=mXn, то mu=mx√∑ni=1K2i

21. СКО функцийй вида U = X + Y . Вывод формулы.

U=X±Y (1), где х,у -независимые величины, полученные в результате однократных непосредственных измерений. Если измеренные величины были определены со случайными ошибками, то тогда и сумма их будет содержать ошибку

U+∆U=(x+∆x)+(y+∆y)(2).

Вычтем из (2)-(1) ∆U=∆x+∆y.

При многократных непосредственных измерениях каждой величины получим ряд ошибок и ряд уравнений функций ∆U1=∆x1+∆y1,

∆U2=∆x2+∆y2

,…..,

∆Un=∆xn+∆yn.

Возведем в квадрат и сложим почленно и остаток разделим на n. При многократных измерениях каждой величины произведение обладает всеми свойствами и при увеличении числа измерений, произведение стремится к нулю.  [∆U2]=[∆x2]+[∆y2]+2[∆x∆y].

 [∆U2]/n =[∆x2]/n+[∆y2]/n,

m2U=mx2+my2

mU=√(mx2+my2)- формула для алгебраической суммы независимых величин.

m=mx=my,

mU= m√2.- СКО





Последнее изменение этой страницы: 2020-03-02; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.239.242.55 (0.009 с.)