Охлаждение неограниченной пластины при нестационарном режиме 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Охлаждение неограниченной пластины при нестационарном режиме



 

Рассмотрим охлаждение плоскопараллельной пластины толщиной 2δ (характерный размер l =δ). Размеры пластины в направлении осей Y и Z бесконечно велики. С обеих сторон пластина омывается жидкостью с температурой t о.с., причем коэффициент теплоотдачи α для обеих поверхностей имеет одинаковое и постоянное значение.

В начальный момент времени при τ = 0 пластина имеет во всех своих точках постоянную температуру t 0=соnst, поэтому избыточная температура θ 0= t 0t о.с. будет также постоянной для всех точек тела. Кроме того, заданы коэффициент теплопроводности λ ст, плотность тела ρ и его теплоемкость С, величины которых полагаются постоянными.

Так как пластина безгранична как по высоте, так и по ширине, то дифференциальное уравнение принимает вид

Начальное условие при τ = 0 θ = θ 0.

Граничное условие при хδ

Для аналитического решения дифференциального уравнения совместно с условиями однозначности используют метод разделения переменных. Решение ищется в виде произведения двух функций, из которых одна является функцией только τ, а другая – только х:

После подстановки последнего выражения в дифференциальное уравнение получим

В последнем уравнении переменные легко разделяются, и его можно записать следующим образом:

Решение данного дифференциального уравнения может быть представлено в виде

где μi – промежуточная переменная, которая находится из трансцендентного уравнения

Из анализа трансцендентного уравнения следует, что при каждом значении числа Вi существует бесконечное множество решений. Наиболее просто это уравнение можно решить графическим способом.

Обозначим левую часть уравнения через у 1=сtg μ, а правую – через у 2= μ /Вi. Пересечение котангенсоиды у 1 с прямой у 2 дает нам значение корней уравнения, т. е. μi.

Из рис. следует, что мы имеем бесконечное множество значений величины μi, причем каждое последующее значение больше предыдущего

 

 

При

 
 

 

 


то есть функция у 2 совпадает с осью абсцисс, получим

 

 

При

 

 

то есть функция у 2 совпадает с осью ординат, получим

 
 

 


Известно, что если частные решения линейного дифференциального уравнения сложить, то полученная сумма также будет решением этого дифференциального уравнения. Следовательно, значения μi нужно использовать в совокупности. В инженерных расчетах можно ограничиться первыми тремя-четырьмя значениями μi.

Для , с достаточной точностью, можно ограничиться только первым членом ряда μ1, тогда:

 
 

 


В последней формуле .

Пусть

тогда последнее уравнение примет вид

В центре пластины ( =0)

На поверхности пластины ( =1)

 

Функции , , , , зависящие от числа Био,Bi, табулированы и могут быть взяты из справочника.

 

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-19; просмотров: 471; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.228.188.171 (0.006 с.)