Дифференциальное уравнение переноса тепла

Литература

 

1. Хрусталев Б.М. и др. Тепло- и массообмен: учеб. пособие в 2ч. Мн. 2007.

2. Аметистов Е.В. и др. Тепло- и массообмен: справочник. М. 1982.

3. Юдаев Б.Н. Теплопередача. М. 1991.

4. Цветков Ф.Ф. Задачник по тепломассообмену. М. 2008

 

Часть1. Основные положения и определения

 

Основные определения

 

Теплообмен или теплоперенос - самопроизвольный необратимый процесс распространения теплоты в пространстве, обусловленный разностью температур. различают три элементарных способа переноса теплоты:

1) теплопроводность - перенос, обусловленный взаимодействием микрочастиц соприкасающихся тел (или частей одного тела), имеющих разную температуру;

2) конвекция - перенос вследствие пространственного перемещения вещества. Наблюдается в текучих средах (жидкости, газы) и, как правило, сопровождается теплопроводностью. Процесс обмена теплотой между твердой поверхностью и жидкостью (газом) путем теплопроводности и конвекции одновременно называют конвективным теплообменом или теплоотдачей. Процесс переноса теплоты от одной жидкой среды к другой через разделяющую их твердую стенку - теплопередачей.

3) тепловое излучение - перенос посредством электромагнитного поля с двойным взаимным превращением - теплоты в энергию поля и наоборот.

В реальных случаях переноса теплоты элементарные способы обычно сопутствуют друг другу; если при этом вклад хотя бы двух из них существенен, то говорят о сложном теплообмене.

Для практических расчетов стационарных процессов теплообмена с не очень сложными граничными условиями установились формулы:

;

,

 

где - количество теплоты, отданной или полученной данной средой, Дж;

Q - тепловой поток, Вт;

- некоторым образом осредненная температура поверхности тела (стенки) и характерная температура окружающей среды (например, температура газа (воздуха) на бесконечном удалении от погруженного в него тела или средняя по сечению канала температура жидкости), К;

- характерные температуры греющей и обогревающей сред, разделенных перегородкой (неподвижной или подвижной), К;

F - расчетная площадь поверхности теплообмена, м²;

τ - время протекания процесса, с.

Из приведенных формул видно. что тепловой поток Q существенно зависит от разности температур и размеров поверхности теплообмена.

Множители пропорциональности α и k, Вт/(м²∙К), называются соответственно коэффициентами теплоотдачи и теплопередачи.

 

Температурное поле

 

Совокупность значений температуры всех точек тела в данный момент времени представляет температурное поле

,

где Т - температура; х, у, z - пространственные координаты; τ - время.

Последняя зависимость отвечает наиболее общему трехмерному случаю, когда температура изменяется по каждой из трех пространственных координат. А так же случаю неустановившегося или нестационарного поля, когда температура изменяется во времени. Возможны более простые случаи. Температурное поле может быть одномерным, когда температура зависит только от одной координаты. Если температура остается постоянной с течением времени, то поле называют стационарным (установившимся).

Геометрическое место точек, имеющих одинаковую температуру, образуют изотермическую поверхность. Форма и положение такой поверхности в пространстве меняются во времени, если поле нестационарное. и остаются неизменными, если поле стационарное. Кривые, образующиеся в результате пресечения изотермической поверхности и плоскости, называют изотермами.

Изменение температуры в пространстве характеризуется градиентом температуры grad T (пояснение), который определяется как вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности и равный частной производной температуры по этому направлению.

Передача теплоты вследствие теплопроводности происходит всегда в направлении уменьшения температуры. количество теплоты, переносимое за единицу времени через произвольную изотермическую поверхность площадью F, называется тепловым потоком Q. Тепловой поток, приходящийся на единицу площади изотермической поверхности, называется плотностью теплового потока q, Вт/м². связь между этими величинами устанавливается из их определений:

; .

скалярная величина q может рассматриваться как модуль вектора плотности теплового потока , направление которого совпадает распространения теплоты в данной точке.

 

Закон Фурье

Основной закон теплопроводности - закон Фурье - постулирует пропорциональность вектора плотности теплового потока градиенту температуры:

,

где λ - коэффициент теплопроводности, характеризующий способность вещества проводить теплоту. Или, в другой записи, имеем:

 

(пояснения)

 

Вектор плотности теплового потока есть количество энергии, проходящей в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной каждой оси. Знак минус в последней формуле означает, что вектор плотности теплового потока противоположен направлению вектора градиента температурного поля.

Коэффициент пропорциональности l называется коэффициентом теплопроводности. С физической точки зрения он характеризует способность тел или среды проводить теплоту. Чтобы понять его физический смысл, запишем последнее соотношение в следующем виде:

.

Принимая значение =1°К/м, получим .

Коэффициент теплопроводности является физическим свойством вещества и зависит от его природы, а также температуры и в меньше степени от давления. При не слишком низкой температуре (Т >100 K) значения λ изменяются в указанных ниже пределах.

Коэффициент теплопроводности зависит от свойств среды: агрегатного состояния, состава, структуры, плотности, давления, температуры и других параметров.

В общем случае зависимость коэффициента теплопроводности от температуры для сред разного агрегатного состояния является практически линейной и описывается уравнением:

, (1.6)

где: l_t – коэффициент теплопроводности среды при температуре t;

l₀ - коэффициент теплопроводности среды при температуре t =0°С;

b – постоянная, которая определяется эмпирическим (опытным) путем.

Рассмотрим особенности теплопроводности в различных средах.

Газы. λ=0.005÷0.5 Вт/(м∙К).

Согласно кинетической теории переносу теплоты в газах при умеренных температурах и давлениях определяется переносом кинетической энергии молекул вследствие их хаотического движения и столкновения отдельных молекул. Коэффициент теплопроводности определяется следующим соотношением:

,

где - средняя скорость движения молекул, м/с; - средняя длина свободного пробега молекул, м; - теплоемкость при постоянном объеме, Дж/кг·К; r - плотность газа, кг/м³.

С ростом давления уменьшается, а r увеличивается. Поэтому коэффициент теплопроводности газов практически не зависит от температуры. С увеличением температуры коэффициент теплопроводности возрастает.

Жидкости. λ=0.08÷0.7 Вт/(м∙К). В жидкостях образуются нестойкие молекулярные структуры (наличествует т.н. ближний порядок). Поэтому в дополнение к молекулярным носителям перенос тепла осуществляется также через упругие колебания этих структур. С увеличением температуры коэффициент теплопроводности обычно падает (исключение вода и глицерин).

Твердые тела. λ=0.02÷400 Вт/(м∙К). Материалы с λ<0.2 Вт/(м∙К) (диэлектрики) используются как теплоизоляционные. Для них повышение температуры приводит к росту коэффициента теплопроводности. Металлы имеют значение коэффициента теплопроводности в пределах λ=20÷400 Вт/(м∙К). Сплавы отличаются меньшей теплопроводностью, чем чистые металлы. С увеличением температуры коэффициент теплопроводности падает для чистых металлов, и увеличивается для сплавов.

Так как теплопроводность металлов, так же как и их электропроводность, в основном определяется диффузией свободных электронов, то эти величины для чистых металлов пропорциональны друг другу (закон Видемана-Франца).

Пористые материалы. Большинство огнеупорных, строительных и теплоизоляционных материалов имеет пористую структуру (кирпич, бетон, шлак, асбест и др.).

Скорость распространения тепла в таких средах определяется, в основном, их структурой, формой, размерами и взаимным расположением пор и капилляров.

С увеличением пористости коэффициент теплопроводности падает. Например, при увеличении плотности асбеста от 400 до 800 кг/м³ его коэффициент теплопроводности увеличивается от 0,105 до 0,248 Вт/м·К. Такое явление объясняется тем, что теплопроводность воздуха, который заполняет поры, существенно меньше, чем теплопроводность самого материала.

Коэффициент теплопроводности пористых материалов зависит также от влажности. Например, для сухого красного кирпича λ =0,35 Вт/м·К, для воды λ =0,67 Вт/м·К, а для влажного кирпича λ =1,0 Вт/м·К. Этот факт объясняется конвективным переносом теплоты в самих порах.

С повышением температуры пористых материалов коэффициент теплопроводности увеличивается, что объясняется увеличением теплопроводности воздуха в порах.

 

Часть2. Теплопроводность

 

Часть3. Теплопередача

 

Бесконечный тонкий стержень

 

Имеется ребро, имеющее несущую плоскую поверхность F, которое имеет круглое сечение с диаметром d. В этом стержне, площадь основания которого равна . Корень стержня контактирует с нагретой несущей поверхностью. Теплообмен вначале происходит теплопроводностью в направлении длины x стержня, а затем путем теплоотдачи от его поверхности к окружающему воздуху. Сток теплоты с поверхности стержня обеспечивается притоком теплоты к поверхности. Поэтому температура у основания цилиндрического тела убывает по длине.

Для удобства выкладок переменную температуру стрежня (t) будем отсчитывать относительно температуры окружающей среды (). Обозначим избыточную температуру как

Если диаметр стержня невелик, а коэффициент теплопроводности имеет большое значение, то в нем не будет градиента в направлении радиуса, а только по его длине, т.е. , и будет зависеть только от коэффициента теплоотдачи с его поверхности к окружающей жидкости.

Если обозначить через количество теплоты, которая входит в левую грань мысленно выбранного элемента стрежня, а через - тепловой поток, который выходит через его правую грань, то можно составить следующее уравнение баланса

где dQ - количество теплоты, отдаваемое элементом dx в окружающую среду.

Количество теплоты, вносимое через левую грань элемента равно

Тепловой поток, выходящий через правую грань элемента, можно записать в виде

Найдем разность

С другой стороны, в соответствии с законом Ньютона-Рихмана

где Π - периметр сечения стержня, α - коэффициент теплоотдачи от поверхности стержня к окружающей среде. В последней формуле - видимая поверхность длиной dx.

Приравняв правые части, получим

Изменение температуры стержня в направлении его длины будет описываться линейным дифференциальным уравнением второго порядка

Вводим обозначение , м^-1. Тогда последнее уравнение запишется как

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Значения постоянных интегрирования определяются из граничных условий. При и будем иметь и , где .

Тогда расчетная температура стержня подчиняется соотношению

(')

Последнее соотношение может быть представлено в виде

где . Из последнего соотношения следует, что материалы для ребер следует выбирать с самым большим коэффициентом теплопроводности, что уменьшает m и приводит к сохранению высоких избыточных температур по длине стержня.

 

 

Поскольку для круглого стержня c диаметром d отношение , то

Количество теплоты, отданное поверхностью в окружающую среду, равняется теплоте, поступающей в его основание.

Тогда

Из формулы (') найдем

Окончательно

 

Стержень конечной длины

 

Сведения из математики ; ; ; ; ; ; . ; ; ; .

 

Для стержня конечной длины (, где h – длина стрежня) дифференциальное уравнение безусловно сохраняет силу при условии, что

Расчет показывает, что в этом случае тепловой поток равен

где - коэффициент теплоотдачи от поверхности торца стержня к окружающей его жидкости.

При низком коэффициенте теплоотдачи с торца и высокой теплопроводности стержня, то есть при , уравнение температурной кривой в стержне конечных размеров имеет вид

 

Ребра сложной геометрии

 

Для более точного расчета теплопередачи через оребренную стенку используют результаты решения задачи о теплопроводности стержня. Обозначим степень (коэффициент) оребрения как . Расчетное соотношение для теплового потока имеет вид:

Обозначения в этой формуле показаны на рисунке ниже:

Для прямых тонких () ребер неизменного сечения, теплоотдачей на торце которых можно пренебречь, коэффициент эффективности

Из последней формулы видно, что коэффициент эффективности E уменьшается с увеличением длины ребра. Рёбра с E <0.6 на практике не используют.

Последнюю формулу можно записать в виде

где - безразмерный комплекс, называемый критерием (числом) Био. Этот комплекс является мерой соотношения между внутренним термическим сопротивлением теплопроводности и внешним термическим сопротивлением теплоотдачи

Практические расчеты коэффициента эффективности рёбер более сложной геометрии сводятся к относительно последней простой формуле, вводя к полученному по ней значению поправочный коэффициент :

Для ребер с трапециидальным и треугольным продольными сечениями величина определяется отношением толщин у основания и у торца а также комплексом . В качестве толщины ребра в расчете используется ее арифметическое значение , где - толщина у торца.

Указанные соотношения применимы и для расчета теплопередачи через оребрённые снаружи трубы, толщина стенки которых гораздо меньше их диаметра. В этом случае полагают, что , где D - наружный диаметр круглого ребра, d - внешний диаметр трубы. Поправочный коэффициент находят по графику в зависимости от отношения D / d и комплекса .

 

Классификация процессов

 

В этом разделе рассматриваются процессы переноса теплоты за счет теплопроводности при отсутствии внутренних источников теплоты, когда температура системы изменяется не только от точки к точке, но и с течением времени.

Такие процессы теплопроводности, когда поле температуры в теле изменяется не только в пространстве, но и во времени, называют нестационарными. Они имеют место при нагревании (охлаждении) различных заготовок и изделий, пуске и останове различных теплообменных устройств, энергетических агрегатов и т. д.

Все процессы в нестационарной теплопроводности в зависимости от характера изменения температуры во времени делятся на три вида:

1. Переходные - температура в каждой точке тела изменяется от одного установившегося значения до другого;

2. Непрерывного нагрева (охлаждения) - неограниченное изменение температуры во времени или в пространстве;

3. Периодические - температура колеблется около некоторого значения.

 

Методы и критерии подобия

 

Критерии подобия

 

Многие явления подобны. Например, подобные геометрические фигуры, показанные на рисунке, подобны. Такие фигуры различаются только масштабом.

 

Так же и в физике можно выделить подобные явления (группы явлений), которые будут характеризоваться одинаковыми дифференциальными уравнениями и граничными условиями.

Точное решение уравнений движения и энергии, составляющих систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, возможно лишь в ограниченном числе случаев. Например, аналитическое определение коэффициента конвективной теплоотдачи представляет собой сложную задачу, поскольку в этом случае необходимо решить систему дифференциальных уравнений. Поэтому для расчета используют критериальные уравнения подобия. Безразмерные числа (критерии) подобия позволяют анализировать подобные явления, имея экспериментальные данные лишь по какому-либо одному из подобных явлений. Если систему дифференциальных уравнений и граничные условия привести к безразмерному виду, то число влияющих факторов (неизвестных переменных) формально сократится. В случае экспериментального исследования такой подход позволяет свести к минимуму число величин, которое необходимо варьировать в опытах.

 

Критерии подобия

 

Существуют такие безразмерные соотношения параметров, характеризующих явление, которые у подобных явлений в сходных точках имею одинаковые значения. Эти безразмерные соотношения называют числами подобия. В теории подобия исходные уравнения и их решение, а также результаты экспериментального изучения конвективного теплообмена принято представлять в виде зависимостей между безразмерными комплексами-критериями (или числами) подобия.

Для приведения функциональной зависимости к безразмерному виду пользуются, в частности, методом масштабных преобразований, состоящим из следующих этапов:

1) для каждой группы однородных величин (имеющих одинаковый физический смысл, одинаковую размерность, например, координату x и скорость w), в составе которых имеются постоянные, выбирают одну из них в качестве масштаба и приводят эти величины к безразмерному виду

2) в исходные уравнения вместо размерных параметров представляют их выражения в виде произведения безмерной величины и соответствующего масштаба;

3) оставшиеся в уравнениях размерные величины и появившиеся в них масштабы группируют в безмерные комплексы.

Таким образом, мы получаем совокупность безразмерных критериев, характерных для данного процесса. Эти критерии в общем случае являются мерой относительного влияния действующих сил и процессов переноса (потоков импульса, энергии, массы) на течение жидкости и теплообмен. Критерии подобия позволяют результаты экспериментов проведенных в одних условиях распространить и на другие условия.

 

Критерии подобия в общем теплообмене вместе с конвекцией

 

Если на основе теории подобия объединить физические и геометрические параметры в безразмерные комплексы (критерии подобия), то процесс теплообмена в общем теплообмене вместе с конвекцией можно описать следующими числами (критериями).

Число Нуссельта:

,

где a - коэффициент теплоотдачи; l - характерный размер твердого тела; λ - теплопроводность жидкости или газа, Вт/(м∙К). Величина l / λ называется термическим сопротивлением. Величина 1/ α называется конвективным сопротивлением теплообмена. Число Нуссельта является безразмерным коэффициентом теплоотдачи.

Число Грасгофа:

,

где g - ускорение свободного падения, м/с²; β - коэффициент объемного расширения жидкости, который для идеальных газов равен , К; ν - коэффициент кинематической вязкости жидкости, м²/с, которая обусловлена силами внутреннего трения. Число Грасгофа характеризует соотношение между подъемной силой и силой вязкого трения.

 

Число Прандтля:

, (5.10)

где ν - кинематическая вязкость жидкости, м²/с; a - коэффициент температуропроводности, м²/с. Число Прандтля характеризует связь между вязкостными свойствами жидкости и ее теплопроводностью.

 

Критерий Релея:

Ra=GrPr.

Является критерием возникновения конвекции в слое жидкости.

 

Критерий Рейнольдса:

,

где - модуль характерной скорости среды, м/с. Критерий Рейнольдса характеризует соотношение сил инерции и сил вязкости в потоке жидкости. При превышении некоторого критического значения числа Рейнольдса ламинарное течение жидкости становится неустойчивым и превращается в турбулентное. При больших значениях Рейнольдса силы вязкого трения не играют роли.

 

Число Пекле

,

характеризует соотношение конвективных и молекулярных потоков на границе жидкости и твердого тела и в самом твердом теле.

 

Критерий Стантона также выражает интенсивность теплоотдачи (безразмерный коэффициент теплоотдачи)

.

В числителе этого выражения лежит плотность потока тепла в системе, в знаменателе - количество теплоты, которое переносится единицей объема вещества в результате конвекции.

 

Общие сведения

 

Вынужденной конвекцией называется теплообмен, при котором движение жидкости и газа осуществляется принудительным путем. К внешним побудителям можно отнести дымовые трубы печей, насосы, вентиляторы и др. Как и в случае свободной тепловой конвекции, теплообмен происходит между жидкостью (газам) и твердой поверхностью (вынужденное обтекание пластины, цилиндра, шара, трубных пучков и др.)

По характеру движения жидкости теплообмен подразделяют на два режима: ламинарное течение жидкости; турбулентное течение жидкости. Поскольку четкая граница между указанными режимами зависит от целого ряда факторов, выделяют переходную область движения жидкости.

Характер движения жидкости влияет на интенсивность передачи теплоты. При ламинарном режиме и отсутствии естественной конвекции теплота передается только теплопроводностью. При турбулентном режиме перенос теплоты наряду с теплопроводностью происходит в результате перпендикулярного к поверхности перемещения частиц.

Количественное определение коэффициентов теплоотдачи является одной из основных задач теории конвективного теплообмена. Для увеличения коэффициента теплоотдачи необходимо использовать жидкости с высоким значением коэффициента теплопроводности и принимать меры, приводящие к сокращению толщины теплового пограничного слоя (увеличение скорости течения жидкости, плотности, шероховатости поверхности, внешних возмущений, уменьшение вязкости жидкости).

 

Сложный теплообмен

 

На практике перенос лучистой энергии между газом и поверхностью твердого тела сопровождается как теплопроводностью, так и конвекцией. В этом случае оценочные расчеты можно проводить на основе принципа аддитивности: отдельно и независимо вычислять тепловые потоки вследствие излучения и теплопроводности или конвективного теплообмена и результаты суммировать. Это означает, что в кондуктивно-радиационных задачах

,

в конвекционно-радиационных задача

,

где , , - плотности теплового потока за счет лучистого теплообмена, теплопроводности и конвекционного теплообмена.

Если излучающий газовый объем содержит твердые частицы (например, золы угля), то в объеме газа происходит явление рассеяния излучения. Запыленный поток можно трактовать как "серый газ". Если при этом эффективная длина пробега фотонов 1/ а (где а - коэффициент поглощения "серого газа") оказывается малой по сравнению с характерными размерами излучающего газового объема, то для описания переноса излучения оправдано приближение диффузии излучения:

.

 

Примеры решения задач

 

Условие. Температура нагретой поверхности днища емкости воды размерами (a > b) равна t, а температура воды равна . Требуется определить величину потока теплоты от днища к воде.

Алгоритм решения.

1. Находим характерную температуру .

2. По этой температуре выбираем теплофизические характеристики (из справочника): коэффициент вязкости ν, коэффициент теплопроводности λ, и коэффициент объемного расширения β (для газа β =1/T) и число Прандля Pr.

3. Используя теплофизические характеристики воды, рассчитываем число Гросгофа

,

где x=a - характерный размер из условия задачи.

4. Находим число Релея Ra=GrPr

5. Рассчитываем число Нуссельта. В данном случае оно находится из соотношения

,

где C и n - коэффициенты, зависящие от числа Рэлея.

6. Коэффициент теплоотдачи от днища емкости к воде составит величину:

.

7. Поскольку теплоотдающая поверхность обращена кверху, рассчитанное значение коэффициента теплоотдачи необходимо увеличить на 30%. Окончательно имеем .

8. Величина теплового потока составит:

 

Условие. По медной шине прямоугольного поперечного сечения (a > b) пропускается электрический ток I. Температура воздуха окружающего шину равна t _ж. Удельное электрическое сопротивление равно D. Найти среднюю температуру на поверхности шины .

 

Алгоритм решения.

1. Плотность теплового потока на поверхности шины (в расчете на единицу длины):

2. Рассчитываем среднюю температуру, а затем определяем физические свойства воздуха.

3. Последовательно рассчитываем числа Гросгофа, Релея и Нуссельта.

4. Выделяющаяся в шине теплота отводится путем свободной конвекции и излучением:

,

здесь - температура поверхности шины принимаемая в первом приближении, ε =0.8- степень черноты окисленной меди.

5. Из последнего выражения среднюю температуру на поверхности шины .

 

Теплообмен излучением

 

Законы теплового излучения

 

Тепловое излучение - процесс распространения электромагнитных волн, испускаемых телом. Величины длин волн соответствующие тепловому излучению находятся в промежутке от 0.8∙10^-3 до 0.8 мм.

В системе из нескольких тел испускают как горячие, так и холодные из них. Количество испускаемой телом лучистой энергией зависит только от его температуры.

Потоком энергии излучения (мощностью излучения) называется величина Ф равная энергии испускаемой телом за 1с. Размерность величины [Ф]=Дж/с=Вт.

Энергетическая светимость есть мощность излучения с единицы площади F поверхности:

.

Размерность величины [ R_e ]=Вт/м².

Излучательность есть величина равная:

.

Размерность величины [ ]=Вт/м³.

Из последней формулы видно, что .

Телесный угол (безразмерная величина, измеряемая в ср) находится из соотношения

.

Энергетической яркостью называется величина

.

Размерность величины [B]=Вт/м³.

Источник света называется Ламбертовским, если энергетическая яркость не зависит от угла θ между нормалью к площади и направлением распространения излучения. Можно показать, что для таких источников выполняется соотношение: . Отражение для ламбертовского источника является диффузным.

Поскольку природа теплового и светового лучей одинакова, законы распространения, отражения и преломления для них одинаковы. При падении потока Ф из окружающей среды на поверхность тела в общем случае выполняется соотношение:

Зачастую =0, поэтому последнее равенство записывается в виде:

Коэффициентом поглощения называется следующая безразмерная величина:

.

Коэффициентом отражения называется следующая безразмерная величина:

.

Отражение диффузное в случае когда отраженные лучи равномерно распределены по полупространству. Если луч сохраняет свою форму и угол его падения равен углу отражения, то в этом случае отражение зеркальное.

Для абсолютно черных тел, которые пропускают внутрь себя все падающее излучение без отражения, a =1. Наилучшим приближением к черному телу является замкнутая полость, в стенке которой сделано отверстие, через которое излучение не выходит наружу.

Для абсолютно белого тела a =0.

 

Закон Кирхгофа: отношение есть универсальная функция для частоты и температуры, которая не зависит от природы тела