Распределение температуры по высоте ребра

 

Бесконечный тонкий стержень

 

Имеется ребро, имеющее несущую плоскую поверхность F, которое имеет круглое сечение с диаметром d. В этом стержне, площадь основания которого равна . Корень стержня контактирует с нагретой несущей поверхностью. Теплообмен вначале происходит теплопроводностью в направлении длины x стержня, а затем путем теплоотдачи от его поверхности к окружающему воздуху. Сток теплоты с поверхности стержня обеспечивается притоком теплоты к поверхности. Поэтому температура у основания цилиндрического тела убывает по длине.

Для удобства выкладок переменную температуру стрежня (t) будем отсчитывать относительно температуры окружающей среды (). Обозначим избыточную температуру как

Если диаметр стержня невелик, а коэффициент теплопроводности имеет большое значение, то в нем не будет градиента в направлении радиуса, а только по его длине, т.е. , и будет зависеть только от коэффициента теплоотдачи с его поверхности к окружающей жидкости.

Если обозначить через количество теплоты, которая входит в левую грань мысленно выбранного элемента стрежня, а через - тепловой поток, который выходит через его правую грань, то можно составить следующее уравнение баланса

где dQ - количество теплоты, отдаваемое элементом dx в окружающую среду.

Количество теплоты, вносимое через левую грань элемента равно

Тепловой поток, выходящий через правую грань элемента, можно записать в виде

Найдем разность

С другой стороны, в соответствии с законом Ньютона-Рихмана

где Π - периметр сечения стержня, α - коэффициент теплоотдачи от поверхности стержня к окружающей среде. В последней формуле - видимая поверхность длиной dx.

Приравняв правые части, получим

Изменение температуры стержня в направлении его длины будет описываться линейным дифференциальным уравнением второго порядка

Вводим обозначение , м^-1. Тогда последнее уравнение запишется как

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Значения постоянных интегрирования определяются из граничных условий. При и будем иметь и , где .

Тогда расчетная температура стержня подчиняется соотношению

(')

Последнее соотношение может быть представлено в виде

где . Из последнего соотношения следует, что материалы для ребер следует выбирать с самым большим коэффициентом теплопроводности, что уменьшает m и приводит к сохранению высоких избыточных температур по длине стержня.

 

 

Поскольку для круглого стержня c диаметром d отношение , то

Количество теплоты, отданное поверхностью в окружающую среду, равняется теплоте, поступающей в его основание.

Тогда

Из формулы (') найдем

Окончательно

 

Стержень конечной длины

 

Сведения из математики ; ; ; ; ; ; . ; ; ; .

 

Для стержня конечной длины (, где h – длина стрежня) дифференциальное уравнение безусловно сохраняет силу при условии, что

Расчет показывает, что в этом случае тепловой поток равен

где - коэффициент теплоотдачи от поверхности торца стержня к окружающей его жидкости.

При низком коэффициенте теплоотдачи с торца и высокой теплопроводности стержня, то есть при , уравнение температурной кривой в стержне конечных размеров имеет вид

 

Ребра сложной геометрии

 

Для более точного расчета теплопередачи через оребренную стенку используют результаты решения задачи о теплопроводности стержня. Обозначим степень (коэффициент) оребрения как . Расчетное соотношение для теплового потока имеет вид:

Обозначения в этой формуле показаны на рисунке ниже:

Для прямых тонких () ребер неизменного сечения, теплоотдачей на торце которых можно пренебречь, коэффициент эффективности

Из последней формулы видно, что коэффициент эффективности E уменьшается с увеличением длины ребра. Рёбра с E <0.6 на практике не используют.

Последнюю формулу можно записать в виде

где - безразмерный комплекс, называемый критерием (числом) Био. Этот комплекс является мерой соотношения между внутренним термическим сопротивлением теплопроводности и внешним термическим сопротивлением теплоотдачи

Практические расчеты коэффициента эффективности рёбер более сложной геометрии сводятся к относительно последней простой формуле, вводя к полученному по ней значению поправочный коэффициент :

Для ребер с трапециидальным и треугольным продольными сечениями величина определяется отношением толщин у основания и у торца а также комплексом . В качестве толщины ребра в расчете используется ее арифметическое значение , где - толщина у торца.

Указанные соотношения применимы и для расчета теплопередачи через оребрённые снаружи трубы, толщина стенки которых гораздо меньше их диаметра. В этом случае полагают, что , где D - наружный диаметр круглого ребра, d - внешний диаметр трубы. Поправочный коэффициент находят по графику в зависимости от отношения D / d и комплекса .