Теплопередача при наличии внутренних источников теплоты

 

В ряде случаев в середине стенки могут происходить процессы, в результате которых выделяется или поглощается тепло. Примерами таких процессов могут быть: выделение джоулевой теплоты при прохождении электрического тока по проводникам, объемное выделение теплоты в результате протекания экзотермической реакции или поглощения теплоты при протекании эндотермической реакции и т.д.

При исследовании переноса теплоты в таких случаях важно знать интенсивность объемного выделения (поглощения) теплоты, которая количественно определяется мощностью внутреннего источника (стока) теплоты q_n.

В частном случае, когда выделяется джоулево тепло при прохождении электрического тока через проводник цилиндрической формы, мощность внутреннего источника тепла может быть определена из уравнения:

,

где Q – количество теплоты; d – диаметр проводника, l – длина проводника.

Количество теплоты, выделяющейся при прохождении электрического тока по проводнику (джоулево тепло), определяется через параметры электрического тока: силу тока (I), напряжение (U), электрическое сопротивление :

.

 

Теплопроводность плоской стенки (плоский ТВЭЛ)

 

Для стационарного процесса (¶t/¶t=0) одномерного распространения теплоты в плоской стенке (m=0) при наличии внутреннего источника теплоты (q_n) дифференциальное уравнение теплопроводности

принимает вид

.

С учетом того, что , последнее уравнение можно записать в другом виде:

.

Имеем уравнения второго порядка. Для его решения необходимо снизить порядок, введя новую функцию . Тогда данное уравнение примет вид:

.

После разделения переменных и интегрирования имеем:

.

После разделения переменных и интегрирования имеем:

.

После интегрирования окончательно получим:

Постоянные интегрирования С ₁ и С ₂ определяются из граничных условий.

Последнее уравнение описывает в общем виде распределение температуры в плоской стенке при наличии внутренних источников тепла. Из общего решения можно получить уравнения для конкретных задач.

 

Теплопроводность пластины при одинаковой температуре ее поверхностей

 

Дана плоская стенка толщиной 2d. В стенке действует постоянный по объему внутренний источник тепла мощностью q_v. На поверхностях стенки поддерживается постоянная температура t _ст (симметричная задача). Необходимо определить распределение температуры в стенке и количество теплоты, отдаваемое стенкой в окружающую среду.

Поместим начало координат в центре стены. Тогда координаты правой и левой граней стенки будут равны соответственно + d и - d. Исходя из условий задачи, можно составить граничные условия:

при ,

при .

 

 

Второе граничное условие называется условием тепловой симметрии. Действительно, при одинаковой температуре поверхностей стенки тепловые потоки через правую и левую грани должны быть одинаковые, но противоположно направлены. Поэтому в центре стенки тепловой поток будет равен нулю, то есть:

.

Но l¹0, следовательно .

Используя граничные условия, можно определить постоянные интегрирования С ₁ и С ₂ в уравнении .

Поскольку , то С ₁=0.

Из второго граничного условия

,

откуда

.

Подставляя значения С ₁ и С ₂ в уравнение, получим:

.

Имеем параболическое распределение температуры в стенке (см. Рис.). Нетрудно определить максимальную температуру (t _max) в стенке. Очевидно, что максимальная температура в стенке (t _max) будет иметь место при х = 0.

Тогда:

.

Для определения количества тепла, отводимого через левую и правую грани стенки, воспользуемся уравнением Фурье:

.

Количество тепла, отводимого через правую грань стенки при (х=+d), равно:

.

Аналогично можно определить количество тепла, выделяемого через левую грань (х= -d), то есть:

.

Согласно при С ₁=0

.

Тогда имеем:

;

.

Общее количество тепла, выделяемого стенкой толщиной 2 d, равно:

q=|q_лев|+|q_пр|=2d ^. q_n.

 

Однородный цилиндр (ТВЭЛ)

Для бесконечного цилиндрического стержня , при стационарном режиме

 

 

 

Условия теплоотдачи со всех сторон одинаковы (симметричная задача), то есть можно рассматривать только правую половину цилиндра.

Дифференциальное уравнение теплопроводности для стационарного режима имеет вид

 

 

где оператор Лапласа в полярных координатах

 

В бесконечном цилиндре температура изменяется только по радиусу, то есть:

 

после деления на коэффициент температуропроводности

 

 

получим дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра при стационарном режиме:

 

 

Граничные условия:

 

После двойного интегрирования имеем

 

Определив константы интегрирования и подставив их в последнее уравнение, имеем:

 

 

это уравнение параболы.

Температура на оси цилиндра находится при r = 0:

 

Температура стенке цилиндра находится при r = r ₀:

 

Удельный тепловой поток, Вт/м² находится из последнего соотношения и теплота, отданная от цилиндра к окружающей его жидкости, Вт