II. Этап учебного мозгового штурма: генерирование идей об оптимальном методе решения уравнений отдельных групп.

Необходимо для каждого типа уравнений найти оптимальный метод решения. Конечно, не всё удастся сделать за одну пару, но ведь и к крупным учёным момент озарения обычно приходит после долгих часов размышлений.

На этом этапе своеобразными “ключами” нам послужат наиболее общие методы решения уравнений. Какие методы вы можете назвать? (Слайд № 7). Возможно, какие-то из этих методов применимы и к показательным уравнениям.

Далее УМШ идёт по следующему алгоритму:

1. Выбор учащимися одного из типов уравнений;

2. 3-5 минутный мозговой штурм в группах (при этом уравнения не решаются до конца, а только генерируются “идеи” решения);

3. Выдвижение и обсуждение идей;

4. “Реализация” идеи – решение у доски (возможно, представителями разных групп одновременно, если идеи решения отличаются); запись решений в тетрадях;

5. Анализ решения, коррекция. Определение преимуществ и недостатков метода, его “тонких мест”, требований к оформлению. Запись решения в тетрадях.

На этом этапе УМШ учителю нужно, не торопя учащихся, не отвергая ни одной идеи, не навязывая им свои методы, а лишь подсказывая направления поиска, поддерживать атмосферу “изобретательства”. При этом каждый “шаг” на пути поиска поощряется, а ошибки – анализируются, но не наказываются.

Предполагается, что на этом уроке учащиеся найдут методы решения для первых четырёх типов (А, Б, В, Г). Методы решения этих уравнений общеизвестны (они сформулированы на слайдах №8 и №9).

При решении уравнений группы В могут быть предложены два пути: традиционный – сведение при помощи замены переменной к дробно-рациональному уравнению, и более удобному - сведению к квадратному уравнению после домножения уравнения на подходящую степень. Например:

№ 4.(Задание из сборника для проведения письменного экзамена за курс средней школы [2]).

Домножим это уравнение на отличный от нуля множитель :

Замена переменной t; t>0 приводит к уравнению типа Б:

или . Второй корень не удовлетворяет условию t>0.

Полезно будет рассмотреть оба способа решения и позволить учащимся сравнить их преимущества и недостатки.

При решении уравнений группы Д (№7, 12, 15) используется монотонность функций. Здесь надо обратить внимание на то, что, применяя этот метод, необходимо записать теоретическое обоснование этого решения. Рассмотрим уравнение №7 из сборника для проведения письменного экзамена [2], которое в некоторых пособиях предлагается решать как однородное уравнение третьей степени. Можно решить его, используя монотонность показательной функции:

. Для применения метода монотонности необходимо, чтобы по одну сторону знака равенства стояла возрастающая функция, а по другую – убывающая функция. Этого можно добиться, если разделить уравнение на отличную от нуля

степень 18^x. При этом получим уравнение Далее необходимо сделать в тетрадях следующую запись: “функция у= - возрастающая; функция у= - убывающая, следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня”. Этот корень находят подбором. В данном случае х=0 – корень. Проверка: Ответ: 0. Надо отметить, что можно делить уравнение и на 27^x. При этом слева от знака равенства получаем убывающую функцию, а справа – число 2. Тогда необходимо записать фразу “функция у= убывает и принимает каждое своё значение ровно один раз, следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня”. Далее – аналогично рассмотренному случаю. Полезно добиться того, чтобы учащиеся “обнаружили” оба способа решения.

Уравнения группы Е (№9, 14, 16) содержат сопряжённые выражения. Обычно такие уравнения решаются умножением уравнения на одно из этих выражений (что проще) или заменой сопряжённых выражений на и . Рассмотрим уравнение №16 из вступительного экзамена в РЭА им. Плеханова:

Умножим это уравнение на

где после замены t= t>0, получим

;

t=4- или t=4+ ;

или
х=3
	x=-3.

Ответ: -3;3.

Уравнения группы Ж (№ 13, 19, 20) можно решить, используя ограниченность функций. В левой части уравнения №19 каждое слагаемое больше нуля, поэтому сумма больше нуля и уравнение корней не имеет. В уравнении №13

1, а 1- , поэтому равенство возможно только при условии то есть, при х=0.

Решая это уравнение, полезно рассмотреть и графическую иллюстрацию.

Ответы ко всем уравнениям Приложения1 содержатся в Приложении2.

Незадолго до конца занятия, вне зависимости от количества рассмотренных типов уравнений, необходимо перейти к III этапу.