Точечные и интервальные оценки истинного

Значения измеряемой величины

Точечные оценки.

В метрологии для оценки параметров случайных величин на основе выборочных значений используют математическое ожидание и СКО. Оценки параметра называют точечными, если они выражаются одним числом. Любые точечные оценки выполняются на основании опытных данных. Они являются функциями случайных величин с распределенными, зависящими от распределения оцениваемых параметров измеряемой величины и числа опытов. По этим причинам точечные оценки должны удовлетворять требованиям состоятельности, несмещенности и эффективности.

Используются несколько методов определения оценок, но наиболее распространен метод наибольшего правдоподобия.

При выполнении многократных измерений истинное значение величины сосредоточено в наблюдении. Х₁...Х_n их можно рассматривать как n независимых случайных величин с одной функцией распространения , но вероятность P_i получения результата х_i будет равна какой-то части общей вероятности.

Вероятность появления всех результатов может быть определена:

(7.11)

Суть этой методики состоит в том, что при изменении характеристик распространения может быть достигнута наибольшая вероятность получения экспериментальных данных.

В соответствии с методом Фишера, те значения, при которых достигнет наибольшего значения и принимаются в качестве точечных оценок истинного значения.

В соответствии с данной методикой доказано, что точечными оценкой результатов измерений распределенных по нормальному закону являются:

; (7.12)

Таким образом, оценкой истинного значения величины является среднее арифметическое значение, а оценкой дисперсии является среднее из квадратов отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического.

Исходя из теории наибольшего правдоподобия, для нормального закона распределения установлены следующие виды оценок:

1. Оценкой истинного значения является среднее арифметическое значение результатов отдельных измерений.

; (7.13)

2. Оценка среднего квадратичного отклонения (СКО) результатов наблюдения

. (7.14)

 

3. Оценка СКО среднего арифметического значения

_x . (7.15)

4. Оценка СКО оценки среднего квадратического отклонения результатов наблюдений.

. (7.16)

 

Интервальные оценки

Сущность оценки параметров измерений с помощью интервалов заключается в нахождении доверительных интервалов, между границами которых с какой-то доверительной вероятностью может находиться истинное значение оцениваемых параметров. Интервальные оценки применяются в сочетании с точечными. Допустим, при обработке результатов изменений получена точечная оценка, отвечающая требованиям состоятельности, несмещенности и эффективности:

. (7.17)

Эта оценка используется вместо истинного значения Х_ист. = Q.

 

ε ε

X_ист

0

Х

доверительный интервал

 

Рисунок 7.8 – Схема доверительного интервала

Истинное значение величины будет с доверительной вероятностью находиться между границами доверительного интервала + ε:

(7.18)

Указанная вероятность может быть представлена в следующем виде

, (7.19)
где - квантиль закона распределения,

Ф – функция Лапласа.

Величина для различных законов распределения составляет следующие значения (Таблица 7.1 – Значения квантилей)

 

Доверительная вероятность, Р закон распределения	0, 90	0, 95	0, 99	0, 999
нормальный	1,645	1,360	2,576	3,290
равномерный	1,55	1,64	1,71	1,73
треугольный	1,67	1,90	2,20	2,37

 

Половина доверительного интервала может быть представлена:

; (7.20)

; (7.21)

(7.22)

Формула доверительного интервала с учетом изложенного может быть представлена в следующем виде:

; (7.23)

Поскольку на практике можно воспользоваться статистическими определенными видами оценок данная формула приводится к следующему виду:

; (7.24)

; (7.25)

где и S_X – точечные оценки по результатам наблюдений

Для точного определения доверительного интервала для случайных величин Х, распространенных по нормальному закону при неизвестной дисперсии рекомендуется применять закон распространения Стьюдента с(n-1) степенями свободы. В этом случае определяется по таблицам Стьюдента для соответствующей вероятности (Р = 0,90... 0,999):

(7.26) Распределения Стьюдента без всяких оснований закон распределения Стьюдента при определении может использоваться в тех случаях, когда распределение случайных величин не является нормальным. На основании закона больших чисел, при достаточно большом количестве измерений (20-50) целесообразно применение формул, основанные на нормальном законе распределения результатов измерения (формула 7.25).