Властивості функцій, неперервних на відрізку

Будемо називати функцію неперервною на відрізку , якщо вона неперервна в кожній точці інтервалу , неперервна справа в точці і неперервна зліва в точці .

Теорема 2.10. Якщо функція неперервна на відрізку , то вона набуває на цьому відрізку найбільшого і найменшого значення, тобто для всіх точок відрізка виконується нерівність: .

Якщо функція монотонна на відрізку , то такі значення збігаються зі значеннями функції на кінцях відрізка (рис. 2.35), якщо не монотонна – чи (чи обидва) можуть знаходитися в деякій внутрішній точці відрізка (рис. 2.36).

Рис. 2.35.	Рис. 2.36.

Свої найбільше і найменше значення функція може приймати і кілька разів. Так, функція на відрізку кілька разів набуває значення і .

Теорема 2.11. Якщо функція неперервна на відрізку , то для будь-якого числа , взятого між найменшим і найбільшим значеннями функції на відрізку, усередині відрізка знайдеться хоча б одна така точка , що значення функції в зазначеній точці буде дорівнювати .

Якщо функція монотонна на відрізку , то така точка єдина, якщо не монотонна – знайдеться кілька точок, значення функції в яких дорівнюватиме заданому числу.

Теорема 2.12. Якщо функція неперервна на відрізку і на кінцях відрізка набуває значення різних знаків, то у середині відрізка знайдеться хоча б одна така точка, значення функції в якій дорівнює нулю (рис. 2.37).

 

Рис. 2.37.

Говорять, якщо функція на кінцях відрізка набуває значення різних знаків, але на цьому відрізку в неї існує хоча б один корінь.

Теорема невірна, якщо функція на відрізку не є неперервною.

Теорема широко застосовується в наближених розв'язках рівнянь, оскільки є ознакою існування кореня функції на зазначеному відрізку.

Наприклад, рівняння має на відрізку хоча б один дійсний корінь, оскільки для , .

Вправи

2.1. Знайти область визначення функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; є) ;

ж) ; з) ;

і) ; к) .

2.2. З'ясувати, які функції є парними, які непарними:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; є) ;

ж) ; з) ;

і) ; к) .

2.3. Знайти область значень функцій:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2.4. Знайти найменший період функцій або довести їх неперіодичність:

а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

2.5. Відомо, що . Знайти .

2.6. Відомо, що . Знайти .

2.7. Відомо, що , . Знайти .

2.8. Знайти функцію, обернену до даної і побудувати графік даної і оберненої до неї функції:

а) ; б) ; в) .

2.9. Побудувати графіки елементарних функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; є) ;

ж) ; з) ;

і) , де – ціла частина ;

к) , де – дробова частина ;

л) ; м) ;

н) ; о) .

2.10. Оптимальну швидкість (м/с) обертання молотильного барабана кукурудзомолотарки визначають за формулою

де x – вологість зерна у відсотках. Знайти і . Знайти область визначення функції. Побудувати графік функції. Як змінюється швидкість барабана зі збільшенням вологості зерна?

2.11. При будівництві ставків необхідно враховувати кількість води, що буде надходити в ставок під час весняного паводка. Вона прямо пропорційна величині , де , , – відповідно відсоток озерності і заболоченості місцевості. Розв’язати нерівність , побудувати відповідну частину графіка (вибрати по осі абсцис масштаб 1:10, а по осі ординат 1:0,1).

2.12. Валова продукція на 1 га сільськогосподарських угідь за чотири роки збільшилася на 24,4%. Скласти рівняння прямої, що відображає зміну валової продукції на 1 га протягом чотирьох років за умови, що валова продукція у відсотках змінюється пропорційно часу.

2.13. Витрати виробництва на 10 одиниць деякого товару складають 1000 грош. од., на 50одиниць товару – 2000 грош. од. Визначити витрати виробництва на 30 одиниць товару за умови, що витрати залежать від об'єму продукції лінійно.

2.14. Перевезення вантажу з даного міста в перший пункт, що знаходиться на відстані 100 км, коштує 200 грош. од., а в інший, що знаходиться на відстані 400 км, – 350 грош. од. Встановити залежність вартості перевезення у від відстані х, якщо вартість є лінійна функція від відстані (якість доріг не враховується).

2.15. Скласти рівняння прямої, що відображає зміну врожайності 1 га протягом сімнадцяти років, якщо в перший рік з 1 га було зібрано 9,1 ц зернових культур, а в останній рік – 21 ц.

2.16. Припускається, що вартість машини, що переноситься на вартість виготовленої з її допомогою продукції, залежить від часу експлуатації t. Нехай первісна вартість у = 25тис. грош. од., а термін роботи до повного зносу – 10 років. Побудувати лінію залежності вартості машини від терміну її служби. Чому буде дорівнювати вартість машини через 8 років?

2.17. Витрати перевезень двома видами транспорту виражаються функціями: у = 50 х + 150, у = 25 х + 250, де х – відстань перевезень, км; у – транспортні витрати, грош. од. При яких відстанях економніше користатися першим видом транспорту?

2.18. Побудувати криві байдужності функції корисності при рівнях корисності, рівних 2 і 3. Знайти їх асимптоти.

2.19. Навести приклад функції, що описує бюджетне обмеження. Знайти її точки перетину з осями координат.

2.20. Навести приклад функції, що описує залежність величини попиту від доходу.

2.21. Навести приклад функції, що описує залежність пропозиції від ціни. Побудувати її графік.

2.22. Залежність рівня потреб у деякого виду товарів від рівня доходу сім’ї виражається формулою: . Знайти рівень потреб товарів при рівні доходу сім’ї 158 грош. од., якщо відомо, що при ; при ; при .

2.23. Побудувати графіки функцій , заданих параметрично, якщо:

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

2.24. Побудувати графіки функцій, заданих неявно:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2.25. Побудувати графіки функцій в полярній системі координат:

а) (спіраль Архімеда); б) (гіперболічна спіраль);

в) (кардіоїда); г) ;

д) (лемніската Бернуллі).

2.26. Довести, користуючись означенням, що послідовність є нескінченно малою:

а) ; б) ; в) ; г) .

2.27. Довести, користуючись означенням, що послідовність є нескінченно великою:

а) ; б) ; в) , .

2.28. Довести рівності:

а) ; б) ;

в) , ; г) , ;

д) , ; є) .

2.29. Знайти найбільший елемент послідовності:

а) ; б) ; в) .

2.30. Знайти найменший елемент послідовності:

а) ; б) .

2.31. Для послідовності знайти , , , , якщо:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

2.32.–2.56. Знайти границі послідовностей:

2.32. ; 2.33. ;

2.34. ; 2.35. ;

2.36. ; 2.37. ;

2.38. ; 2.39. ;

2.40. ; 2.41. ;

2.42. ;

2.43. ;

2.44. ;

2.45. ; 2.46. ;

2.47. ; 2.48. ;

2.49. ;

2.50. ;

2.51. ;

2.52. ;

2.53. ;

2.54. ;

2.55. ;

2.56. .

2.57. Нехай початковий внесок тис. грош. од. вкладено на чотири роки під складні відсотки при ставці 100% річних. Знайти нарощене значення внеску за роками.

2.58. Нехай 3 млн. грош. од. видано в кредит на 6 місяців під прості відсотки за ставкою 10% за місяць. Знайти нарощене значення боргу наприкінці кожного місяця.

2.59. Суму 2000 грош. од. покладено в банк під схему неперервного нарахування відсотків при ставці 10% за рік. Знайти нарощену наприкінці кожного року суму при , 2, 3, 5 і 10.

2.60. При одній і тій же процентній ставці при схемі неперервного нарахування відсотків вкладник С через 2 роки одержує 1000 грош. од., вкладник D через 4 роки одержує 600 грош. од. Знайти процентну ставку q, якщо початковий внесок вкладника С удвічі більше, ніж вкладника D.

2.61. Суму в 5 млн. грош. од. видано в кредит на 10 місяців під прості відсотки за ставкою 15% на місяць. Знайти нарощене значення боргу наприкінці кожного місяця.

2.62. Сума 600 тис. грош. од. інвестується на 5 років під складні відсотки за ставкою 80% річних. Знайти нарощену суму за цей термін.

2.63. Вклад 10 тис. грош. од. покладено в банк під складні відсотки терміном на 5 років. Обчислити кінцеву суму, якщо відсотки нараховуються наприкінці кожного кварталу за нормою .

2.64. Розв’язати задачу 2.63 в припущені, що відсотки нараховуються неперервно. Порівняти результати.

2.65. Знайти складні відсотки за півтора роки, нараховані на 900 тис. грош. од. за ставкою 22% в квартал.

2.66. На терміновий вклад у банку зараховано 200 грош. од. за ставкою 5% річних. Знайти накопичені суми через 2б 3б 4б 5 років за умови:

а) нарахування простих відсотків;

б) нарахування складних відсотків;

в) неперервного нарахування відсотків.

2.67. Знайти початкове значення інвестиції, якщо нарощена сума до кінця п’ятого року становить 10 млн. грош. од. Відсотки нараховуються за такими ставками:

а) 100% наприкінці кожного року;

б) 50% наприкінці кожного півріччя;

в) 25% наприкінці кожного кварталу.

2.68. Довести, користуючись означенням границі функції, що .

2.69.–2.112. Обчислити границі функцій

2.69. . 2.70. .

2.71. . 2.72. .

2.73. . 2.74. .

2.75. . 2.76. .

2.77. . 2.78. .

2.79. . 2.80. .

2.81. . 2.82. .

2.83. . 2.84. .

2.85. . 2.86. .

2.87. . 2.88. .

2.89. . 2.90. .

2.91. . 2.92. .

2.93. . 2.94. .

2.95. . 2.96. .

2.97. . 2.98. .

2.99. . 2.100. .

2.101. . 2.102. .

2.103. . 2.104. .

2.105. . 2.106. .

2.107. . 2.108. .

2.109. . 2.110. .

2.111. . 2.112. .

2.113. Довести, що функції та при є нескінченно малими одного порядку.

2.114. Довести, що нескінченно малі при функції та еквівалентні.

2.115.–2.120. Обчислити границі, використовуючи еквівалентні нескінченно малі.

2.115. . 2 .116. .

2.117. . 2.118. .

2.119. . 2.120. .

2.121. Знайти асимптоти і побудувати наступні криві:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2.122. Нехай . Визначити порядок малості відносно змінної наступних функцій:

а) ; б) ;

в) ; г) .

2.123. Довести неперервність функцій у своїй області визначення:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2.124. Дослідити на неперервність функції і визначити характер точок розриву, побудувати графік функції:

а) ; б) ; в) ;

г) д)

є) ; ж) ; з) ;

і) ; к) ;

л) м)

н) о)

п) р) ;

с) т) .

2.125. Чи може функція на відрізку [1;3] набувати значення, рівне 10?

2.126. Чи має рівняння корені на відрізках:

а) [0;1]; б) [1;2]; в) [2;3].