Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Властивості функцій, неперервних на відрізку
Будемо називати функцію неперервною на відрізку , якщо вона неперервна в кожній точці інтервалу , неперервна справа в точці і неперервна зліва в точці . Теорема 2.10. Якщо функція неперервна на відрізку , то вона набуває на цьому відрізку найбільшого і найменшого значення, тобто для всіх точок відрізка виконується нерівність: . Якщо функція монотонна на відрізку , то такі значення збігаються зі значеннями функції на кінцях відрізка (рис. 2.35), якщо не монотонна – чи (чи обидва) можуть знаходитися в деякій внутрішній точці відрізка (рис. 2.36).
Свої найбільше і найменше значення функція може приймати і кілька разів. Так, функція на відрізку кілька разів набуває значення і . Теорема 2.11. Якщо функція неперервна на відрізку , то для будь-якого числа , взятого між найменшим і найбільшим значеннями функції на відрізку, усередині відрізка знайдеться хоча б одна така точка , що значення функції в зазначеній точці буде дорівнювати . Якщо функція монотонна на відрізку , то така точка єдина, якщо не монотонна – знайдеться кілька точок, значення функції в яких дорівнюватиме заданому числу. Теорема 2.12. Якщо функція неперервна на відрізку і на кінцях відрізка набуває значення різних знаків, то у середині відрізка знайдеться хоча б одна така точка, значення функції в якій дорівнює нулю (рис. 2.37).
Рис. 2.37. Говорять, якщо функція на кінцях відрізка набуває значення різних знаків, але на цьому відрізку в неї існує хоча б один корінь. Теорема невірна, якщо функція на відрізку не є неперервною. Теорема широко застосовується в наближених розв'язках рівнянь, оскільки є ознакою існування кореня функції на зазначеному відрізку. Наприклад, рівняння має на відрізку хоча б один дійсний корінь, оскільки для , . Вправи 2.1. Знайти область визначення функцій: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; є) ; ж) ; з) ; і) ; к) . 2.2. З'ясувати, які функції є парними, які непарними: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; є) ; ж) ; з) ; і) ; к) . 2.3. Знайти область значень функцій: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 2.4. Знайти найменший період функцій або довести їх неперіодичність: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 2.5. Відомо, що . Знайти . 2.6. Відомо, що . Знайти . 2.7. Відомо, що , . Знайти . 2.8. Знайти функцію, обернену до даної і побудувати графік даної і оберненої до неї функції:
а) ; б) ; в) . 2.9. Побудувати графіки елементарних функцій: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; є) ; ж) ; з) ; і) , де – ціла частина ; к) , де – дробова частина ; л) ; м) ; н) ; о) . 2.10. Оптимальну швидкість (м/с) обертання молотильного барабана кукурудзомолотарки визначають за формулою де x – вологість зерна у відсотках. Знайти і . Знайти область визначення функції. Побудувати графік функції. Як змінюється швидкість барабана зі збільшенням вологості зерна? 2.11. При будівництві ставків необхідно враховувати кількість води, що буде надходити в ставок під час весняного паводка. Вона прямо пропорційна величині , де , , – відповідно відсоток озерності і заболоченості місцевості. Розв’язати нерівність , побудувати відповідну частину графіка (вибрати по осі абсцис масштаб 1:10, а по осі ординат 1:0,1). 2.12. Валова продукція на 1 га сільськогосподарських угідь за чотири роки збільшилася на 24,4%. Скласти рівняння прямої, що відображає зміну валової продукції на 1 га протягом чотирьох років за умови, що валова продукція у відсотках змінюється пропорційно часу. 2.13. Витрати виробництва на 10 одиниць деякого товару складають 1000 грош. од., на 50одиниць товару – 2000 грош. од. Визначити витрати виробництва на 30 одиниць товару за умови, що витрати залежать від об'єму продукції лінійно. 2.14. Перевезення вантажу з даного міста в перший пункт, що знаходиться на відстані 100 км, коштує 200 грош. од., а в інший, що знаходиться на відстані 400 км, – 350 грош. од. Встановити залежність вартості перевезення у від відстані х, якщо вартість є лінійна функція від відстані (якість доріг не враховується). 2.15. Скласти рівняння прямої, що відображає зміну врожайності 1 га протягом сімнадцяти років, якщо в перший рік з 1 га було зібрано 9,1 ц зернових культур, а в останній рік – 21 ц. 2.16. Припускається, що вартість машини, що переноситься на вартість виготовленої з її допомогою продукції, залежить від часу експлуатації t. Нехай первісна вартість у = 25тис. грош. од., а термін роботи до повного зносу – 10 років. Побудувати лінію залежності вартості машини від терміну її служби. Чому буде дорівнювати вартість машини через 8 років?
2.17. Витрати перевезень двома видами транспорту виражаються функціями: у = 50 х + 150, у = 25 х + 250, де х – відстань перевезень, км; у – транспортні витрати, грош. од. При яких відстанях економніше користатися першим видом транспорту? 2.18. Побудувати криві байдужності функції корисності при рівнях корисності, рівних 2 і 3. Знайти їх асимптоти. 2.19. Навести приклад функції, що описує бюджетне обмеження. Знайти її точки перетину з осями координат. 2.20. Навести приклад функції, що описує залежність величини попиту від доходу. 2.21. Навести приклад функції, що описує залежність пропозиції від ціни. Побудувати її графік. 2.22. Залежність рівня потреб у деякого виду товарів від рівня доходу сім’ї виражається формулою: . Знайти рівень потреб товарів при рівні доходу сім’ї 158 грош. од., якщо відомо, що при ; при ; при . 2.23. Побудувати графіки функцій , заданих параметрично, якщо: а) , ; б) , ; в) , ; г) , . 2.24. Побудувати графіки функцій, заданих неявно: а) ; б) ; в) ; г) . 2.25. Побудувати графіки функцій в полярній системі координат: а) (спіраль Архімеда); б) (гіперболічна спіраль); в) (кардіоїда); г) ; д) (лемніската Бернуллі). 2.26. Довести, користуючись означенням, що послідовність є нескінченно малою: а) ; б) ; в) ; г) . 2.27. Довести, користуючись означенням, що послідовність є нескінченно великою: а) ; б) ; в) , . 2.28. Довести рівності: а) ; б) ; в) , ; г) , ; д) , ; є) . 2.29. Знайти найбільший елемент послідовності: а) ; б) ; в) . 2.30. Знайти найменший елемент послідовності: а) ; б) . 2.31. Для послідовності знайти , , , , якщо: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 2.32.–2.56. Знайти границі послідовностей: 2.32. ; 2.33. ; 2.34. ; 2.35. ; 2.36. ; 2.37. ; 2.38. ; 2.39. ; 2.40. ; 2.41. ; 2.42. ; 2.43. ; 2.44. ; 2.45. ; 2.46. ; 2.47. ; 2.48. ; 2.49. ; 2.50. ; 2.51. ; 2.52. ; 2.53. ; 2.54. ; 2.55. ; 2.56. . 2.57. Нехай початковий внесок тис. грош. од. вкладено на чотири роки під складні відсотки при ставці 100% річних. Знайти нарощене значення внеску за роками. 2.58. Нехай 3 млн. грош. од. видано в кредит на 6 місяців під прості відсотки за ставкою 10% за місяць. Знайти нарощене значення боргу наприкінці кожного місяця. 2.59. Суму 2000 грош. од. покладено в банк під схему неперервного нарахування відсотків при ставці 10% за рік. Знайти нарощену наприкінці кожного року суму при , 2, 3, 5 і 10. 2.60. При одній і тій же процентній ставці при схемі неперервного нарахування відсотків вкладник С через 2 роки одержує 1000 грош. од., вкладник D через 4 роки одержує 600 грош. од. Знайти процентну ставку q, якщо початковий внесок вкладника С удвічі більше, ніж вкладника D. 2.61. Суму в 5 млн. грош. од. видано в кредит на 10 місяців під прості відсотки за ставкою 15% на місяць. Знайти нарощене значення боргу наприкінці кожного місяця. 2.62. Сума 600 тис. грош. од. інвестується на 5 років під складні відсотки за ставкою 80% річних. Знайти нарощену суму за цей термін. 2.63. Вклад 10 тис. грош. од. покладено в банк під складні відсотки терміном на 5 років. Обчислити кінцеву суму, якщо відсотки нараховуються наприкінці кожного кварталу за нормою . 2.64. Розв’язати задачу 2.63 в припущені, що відсотки нараховуються неперервно. Порівняти результати. 2.65. Знайти складні відсотки за півтора роки, нараховані на 900 тис. грош. од. за ставкою 22% в квартал. 2.66. На терміновий вклад у банку зараховано 200 грош. од. за ставкою 5% річних. Знайти накопичені суми через 2б 3б 4б 5 років за умови:
а) нарахування простих відсотків; б) нарахування складних відсотків; в) неперервного нарахування відсотків. 2.67. Знайти початкове значення інвестиції, якщо нарощена сума до кінця п’ятого року становить 10 млн. грош. од. Відсотки нараховуються за такими ставками: а) 100% наприкінці кожного року; б) 50% наприкінці кожного півріччя; в) 25% наприкінці кожного кварталу. 2.68. Довести, користуючись означенням границі функції, що . 2.69.–2.112. Обчислити границі функцій 2.69. . 2.70. . 2.71. . 2.72. . 2.73. . 2.74. . 2.75. . 2.76. . 2.77. . 2.78. . 2.79. . 2.80. . 2.81. . 2.82. . 2.83. . 2.84. . 2.85. . 2.86. . 2.87. . 2.88. . 2.89. . 2.90. . 2.91. . 2.92. . 2.93. . 2.94. . 2.95. . 2.96. . 2.97. . 2.98. . 2.99. . 2.100. . 2.101. . 2.102. . 2.103. . 2.104. . 2.105. . 2.106. . 2.107. . 2.108. . 2.109. . 2.110. . 2.111. . 2.112. . 2.113. Довести, що функції та при є нескінченно малими одного порядку. 2.114. Довести, що нескінченно малі при функції та еквівалентні. 2.115.–2.120. Обчислити границі, використовуючи еквівалентні нескінченно малі. 2.115. . 2 .116. . 2.117. . 2.118. . 2.119. . 2.120. . 2.121. Знайти асимптоти і побудувати наступні криві: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 2.122. Нехай . Визначити порядок малості відносно змінної наступних функцій: а) ; б) ; в) ; г) . 2.123. Довести неперервність функцій у своїй області визначення: а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 2.124. Дослідити на неперервність функції і визначити характер точок розриву, побудувати графік функції: а) ; б) ; в) ; г) д) є) ; ж) ; з) ; і) ; к) ; л) м) н) о) п) р) ; с) т) . 2.125. Чи може функція на відрізку [1;3] набувати значення, рівне 10? 2.126. Чи має рівняння корені на відрізках: а) [0;1]; б) [1;2]; в) [2;3].
|
|||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; просмотров: 231; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.117.162 (0.097 с.) |