Нескінченно малі і нескінченно великі функції

Означення 2.9. Функція називається нескінченно малою при ( – число або один із символів , , ), якщо для кожного, як завгодно малого наперед заданого додатнього числа можна вказати таке додатне число , що для всіх , які задовольняють нерівність , виконується умова . Тобто, функція є нескінченно малою при , якщо .

Наприклад, , при є нескінченно малою, її значення можуть бути менше будь-якого наперед заданого числа, а при її значення прагнуть до числа 9, у чому легко переконатися підстановкою у функцію окремих частинних значень.

Означення 2.10. Функція називається нескінченно великою при ( – число або один із символів , , ), якщо .

Наприклад, функція при може приймати як завгодно великі значення, отже, у зазначених умовах вона є нескінченно великою.

Нескінченно малі і нескінченно великі функції мають такі властивості.

Властивість 1. Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих при функцій є функцією нескінченно малою.

Нехай і – нескінченно малі при функції.

Це значить, що для кожного, як завгодно малого, наперед заданого додатного числа знайдуться такі додатні і , що при , виконається умова , а при виконається умова . Виберемо менше з чисел і () і оцінимо :

.

А це значить, що функція нескінченно мала при .

Властивість 2. Добуток обмеженої функції на нескінченно малу при є функція нескінченно мала.

Нехай функція обмежена, тобто знайдеться таке додатне число , що , а функція – нескінченно мала при : яке б як завгодно мале не взяли, знайдеться таке додатне число , що для усіх виконається умова . Оцінимо , що і потрібно було довести.

Наприклад, при добуток є функцією нескінченно малою, оскільки функція , обмежена.

Наслідок 1. Добуток сталої на нескінченно малу функцію є функція нескінченно мала.

Наслідок 2. Добуток скінченного числа нескінченно малих при функцій є функцією нескінченно малою.

Дійсно, нескінченно мала при функція в околі точки є обмеженою.

Властивість 3. Сума нескінченно великих при функцій є функцією нескінченно великою.

Відзначимо, що для різниці ця властивість невірна.

Властивість 4. Добуток обмеженої функції на нескінченно велику при є функцією нескінченно великою при . Наприклад, функція є нескінченно великою при , оскільки функція обмежена.

Наслідок. Добуток сталої на нескінченно велику при функцію є функцією нескінченно великою при .

Властивість 5. Функція, обернена за величиною до нескінченно великої при є нескінченно малою при , і навпаки.

Якщо прийняти символом нескінченно малої функції 0, символом нескінченно великої , то усі викладені властивості можна записати так:

Квадратні дужки вказують на символіку представлених записів.