Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Друга достатня умова екстремуму.
Нехай функція визначена і двічі диференційована в точці і її околі і при цьому . Тоді, якщо , функція в точці має мінімум, якщо ж , функція в точці має максимум. Доведемо це твердження, використовуючи означення другої похідної: ( за умовою). Нехай , тоді . При (ліворуч від точки ) різниця , з чого випливає, що . При (праворуч від точки x0) різниця , отже . Як бачимо, при переході через точку перша похідна змінює знак з від'ємного на додатний, значить у точці функція має мінімум. Аналогічно можна показати, що якщо , то функція має в точці максимум. Дана достатня умова дозволяє швидко знаходити гладкі екстремуми функції, якщо обчислення проміжків монотонності необов'язкове. Особливо ця умова полегшує дослідження екстремальних значень у прикладних задачах. Третя достатня умова екстремуму. Нехай і непарне число, функція визначена і разів диференційована в околі точки . Тоді, якщо , то, функція в точці має мінімум при , максимум при . Найбільше і найменше значення функції на відрізку Нехай функція неперервна на відрізку . Тоді на цьому відрізку функція набуває найбільшого і найменшого значень. Будемо припускати, що на даному відрізку функція має скінченну кількість критичних точок. Якщо найбільшого значення функція набуває всередині відрізка , то очевидно, що це значення буде одним з максимумів функції, якщо їх декілька – найбільшим максимумом. Найбільшого значення функція може набувати і на одному з кінців відрізка. Те саме можна сказати і про найменше значення функції: воно досягається або на одному з кінців відрізка, або в деякій внутрішній точці відрізка, що є точкою мінімуму. Звідси випливає алгоритм обчислення найбільшого і найменшого значень функції на відрізку . 1. Перевірити, чи належить відрізок області визначення функції. 2. Знайти всі критичні точки функції і вибрати ті з них, що належать відрізку . 3. Обчислити значення функції в обраних критичних точках і на кінцях відрізку. 4. З усіх отриманих значень функцій вибрати найбільше і найменше. Приклад 3.21. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку . Розв’язання. Дана функція визначена для будь-якого дійсного . Її похідна . Критичні точки визначимо, розв’язавши рівняння . Корені цього рівняння , , . Перший корінь не належить заданому відрізку, тому обчислимо значення функції в точках , і на кінцях відрізка. Одержимо
Порівнюючи ці значення, бачимо, що найменше значення функції , а найбільше значення функції .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-08; просмотров: 420; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.127.232 (0.021 с.) |