Достатні умови точки перегину.

Якщо функція визначена в точці , двічі диференційована в околі точки і при переході через точку друга похідна змінює знак, то точка є точкою перегину.

Дійсно, якщо при і при , то ліворуч точки з абсцисою графік функції є випуклим, а праворуч точки – увігнутим. Отже, точка є точкою перегину графіка функції. Аналогічно описується випадок, коли при і при .

Очевидно, що в точці друга похідна функції дорівнює нулю (рис. 3.17, а) або не існує (рис. 3.17, б).

Можна запропонувати такий алгоритм знаходження проміжків випуклості, увігнутості і точок перегину графіка функції.

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти першу і другу похідні функції.

3. Знайти точки, в яких друга похідна функції дорівнює нулю або не існує.

4. Область визначення знайденими точками розбити на проміжки і дослідити знак другої похідної на кожному з проміжків.

Якщо на проміжку , то це проміжок увігнутості, якщо , то це проміжок випуклості. Точки перегину при цьому розділяють проміжки випуклості й увігнутості.

Зауважимо, що можна при дослідженні розглядати похідні вищих порядків.

Приклад 3.2 2. Знайти проміжки випуклості, увігнутості і точки перегину графіка функції (крива Гауса).

Розв’язання. Відзначимо, що функція визначена на всій числовій прямій. Для неї , . Друга похідна обертається в нуль, якщо , звідки , . Зміна знака другої похідної показана на рис. 3.18.

Рис. 3.18.

Очевидно, що точки з абсцисами і є точками перегину графіка функції. При цьому

 

Асимптоти графіка функції

Поняття асимптоти вже зустрічалося при вивченні гіперболи. Визначимо асимптоту кривої, заданої рівнянням .

Означення 3.8. Асимптотою кривої називається пряма (в загальному випадку крива), відстань до якої від точки даної кривої прямує до нуля при необмеженому віддалені цієї точки по кривій від початку координат (рис. 3.19).

Будемо розрізняти асимптоти вертикальні, горизонтальні і похилі.

Пряма є вертикальною асимптотою графіка функції , якщо .

Рис. 3.19.

Очевидно, що вертикальні асимптоти функція може мати тільки в точках розриву або на границях області визначення.

Наприклад, функція має вертикальну асимптоту , оскільки , . Графік функції зображено на рис. 3. 20.

Нехай крива має похилу асимптоту. Знайдемо її рівняння у вигляді . Обчислимо коефіцієнти і так, щоб відстань довільної точки кривої до асимптоти при її віддалені по кривій до нескінченності прямувала до нуля (рис. 3.21).

Розглянемо різницю ординат графіка функції й асимптоти для одного значення аргументу :

.

Очевидно, якщо при , то і відстань точки графіка до асимптоти . Нехай

. (3.28)

Визначимо з останньої рівності і . Винесемо у виразі, що стоїть під знаком границі, за дужки і одержимо

.

Рис. 3.20.	Рис. 3.21.

Якщо , то очевидно, що . Оскільки , то

. (3.29)

Знаючи , з рівності (3.29) знаходимо

. (3.30)

Отже, якщо для функції пряма є асимптотою, то коефіцієнти і знаходяться за формулами (3.29) і (3.30).

Якщо , то рівняння приймає вигляд і асимптота називається горизонтальною.

Зауважимо, що якщо коефіцієнти і рівняння асимптоти існують і скінченні тільки при , то асимптота називається правою. Відповідно, якщо і існують і скінченні тільки при , асимптота називається лівою. При (або ) графік похилої асимптоти не має.

Приклад 3.23. Знайти асимптоти графіка функції

.

Розв’язання. Відзначимо, що задана функція визначена на всій числовій прямій, крім точки . Отже, якщо графік функції має вертикальну асимптоту, то її рівняння . Обчислимо однобічні границі функції в точці :

, .

Отже, пряма є вертикальною асимптотою графіка функції.

Рис. 3.22.

Рівняння похилої асимптоти знайдемо у вигляді .

Згідно з формулами .

Отже, пряма є асимптотою графіка функції (рис. 3.22).