Застосування послідовностей в економіці

Розглянемо загальноприйняті в ринковій економіці алгоритми нарахування відсотків залежно від терміну позички, типу відсотків, схеми їхнього нарахування.

Нехай спочатку була сума грош. од. Процентна ставка – відсотків річних. Тоді після років одержимо наступні суми грошей.

1. Прості відсотки (у кожен часовий період на відсоток, що додається, нарахування не відбуваються):

.

2. Складні відсотки (відсоток доходу нараховується на всі грошові накопичення):

.

З останньої формули легко одержати:

, , .

Операція знаходження початкового внеску називається дисконтуванням. Значення іноді називають сучасним значенням для . Різниця називається дисконтом.

3. Нехай відсотки нараховуються рівномірно разів на рік. Тоді одержимо:

.

4. Нехай відсотки нараховуються неперервно, тобто . Тоді одержимо границю послідовності:

.

Цю формулу можна використовувати для будь-яких розрахунків з помилковими відсотками.

 

Поняття функції

При вивченні будь-якого процесу (фізичного, хімічного, біологічного, економічного та інших) в оточуючому нас реальному світі нам доводиться зустрічатися з тими чи іншими величинами, які їх характеризують та змінюються.

Залежно від розглянутих умов одні з цих величин приймають сталі значення, інші – змінні.

Величина називається сталою, якщо в процесі дослідження її чисельне значення не змінюється. Наприклад, довжина кола обчислюється за формулою , де число p не залежить від розмірів кола.

Величина, що набуває в даних умовах різні числові значення, називається змінною.

Іноді сталу величину розглядають як змінну, усі значення якої збігаються.

Часто в одному і тому процесі бере участь кілька змінних величин, причому зміна чисельного значення однієї з них приводить до зміни значень інших.

У такому випадку говорять, що між зазначеними величинами існує функціональна залежність.

Означення 2.5. Змінна називається функцією від змінної , якщо кожному значенню з деякої множини за певним законом ставиться у відповідність єдине значення з множини . Тоді записують

, (2.1)

де – закон, за яким кожному ставиться у відповідність значення . Тобто можна казати, що задано функцію , де .

Змінну x називають незалежною змінною, або аргументом функції, множину називають областю визначення функції.

Інакше кажучи, область визначення функції – сукупність усіх значень аргументу, при яких функція існує, тобто можна обчислити її значення. Область визначення функції позначають . Тобто .

Змінну y називають залежною змінною або функцією, множину називають областю значень функції. Множину значень функції позначають . Тобто

Функціональну залежність називають функцією.

Запис означає, що береться частинне значення функції при . Наприклад, для функції при маємо частинне значення функції

Означення 2.6. Графіком функції називається множина точок координатної площини , координати яких задовольняють рівність, що задає функцію. Так, графіком функції є парабола.

 

Способи задання функції

Відповідно до означення, функція вважається заданою, якщо задана область визначення функції і правило (закон), що встановлює відповідність між значеннями незалежної змінної x і залежної змінної y. При цьому не накладається ніяких обмежень на характер цієї відповідності.

Найчастіше функція задається за допомогою формули, що вказує, які дії треба виконати над аргументом, щоб одержати відповідне значення функції. Така формула називається аналітичним виразом, а спосіб задання функції за допомогою формули називається аналітичним способом задання функції.

Наприклад, формула означає, що для того, щоб одержати значення функції , потрібно значення аргументу піднести до квадрату і потім відняти подвійне значення цього аргументу.

Функція, представлена формулою у вигляді називається заданою аналітично явно. Функція іноді задається декількома формулами, що діють на різних ділянках зміни аргументу, наприклад, функція

визначена на проміжку . Кожному значенню з цього проміжку поставлено у відповідність одне значення функції. При цьому , і т.д.

Якщо рівняння, що задає функцію, не розв’язане відносно залежної змінної , тобто представлено у вигляді

, (2.2)

функція називається заданою неявно.

Так, рівняння неявно задає як функцію від . У ряді випадків, розв’язавши рівняння відносно , можна одержати явне задання тієї ж функції. Наприклад, рівняння неявно задає функцію .

Трапляються випадки, коли рівняння (2.2) не задовольняється жодною парою дійсних значень і . Таким є, наприклад, рівняння . Рівняння може задовольнятися лише однією парою дійсних чисел, як наприклад, рівняння задовольняється тільки значеннями , .

Аналітично представлена функціяназиваєтьсязаданою параметрично, якщо її аргумент і функція виражені через деяку третю змінну , яку називають параметром:

, , – дійсні числа.

Якщо дано дві функції і , причому множина значень другої функції входить в область визначення першої, то називається складною функцією змінної .

Наприклад, якщо , , то – складна функція. Складними будуть функції , , і т.д.

Аналітичний спосіб задання функції компактний, легко відтворений і найбільш пристосований до виконання над функціями математичних дій.

Часто при дослідженні будь-яких процесів доводиться зустрічатися зі змінними величинами, залежність між якими встановлюється експериментальним шляхом. У таких випадках на підставі експериментальних даних складають таблиці, що відповідають різним окремим значенням аргументу. Такий спосіб задання функції називається табличним.

Знаючи аналітичний вираз функції, завжди можна представити цю функцію для цікавлячих нас значень аргументу таблицею. Говорять, функцію можна табулювати.

Табулюються в основному функції, що мають складний аналітичний вираз, але часто зустрічаються на практиці.

Помітимо, що від табличного задання функції не завжди можна перейти до її аналітичного виразу, насамперед таблиця дає не всі значення функції, і, потім, проміжні значення функції можуть бути знайдені лише приблизно. Проте, завжди можна знайти формулу, і не одну, котра для значень аргументу, що є в таблиці, з визначеною точністю буде давати відповідні табличні значення функції.

Найбільш наочним способом задання функції є графічний спосіб, коли відповідність між аргументом і функцією установлюється за допомогою графіка (рис. 2.1).

Рис. 2.1.

Щоб для зазначеного значення аргументу знайти відповідне йому значення функції , потрібно на осі абсцис відкласти відрізок, що визначає , а потім побудувати перпендикуляр до перетину з графіком. Довжина цього перпендикуляра з належним знаком і є числом .

Графічне задання функції одержуємо за допомогою багатьох самописних приладів, наприклад, криві на осцилографі, барографі, кардіографі і т.д. З цих графіків для будь-якого моменту часу можна знайти (приблизно) значення функцій.

Зазначені вище три способи задання функцій (аналітичний, табличний, графічний) є найбільш розповсюдженими, але не вичерпують усіх можливих способів завдання функції. Можна задати функцію за допомогою правила, що вказує які значення вона набуває для різних значень аргументу. Прикладом такої функції є функція Діріхле, обумовлена так: дорівнює нулю для всіх ірраціональних значень і дорівнює одиниці для всіх раціональних значень .

Зараз дуже широко застосовується ще один спосіб завдання функції – за допомогою програми для обчислення її значень на електронно-обчислювальних машинах (персональних комп'ютерах).

 

Деякі властивості функцій

Однією з основних задач математичного аналізу є визначення властивостей функції.

Функція , що має область визначення симетричну відносно початку координат, називається парною, якщо :

і непарною, якщо :

.

Прикладами парних функцій можуть бути функції , і т.д. Відповідно непарними функціями є функції , .

Відзначимо, що функція може бути ні парною, ні непарною, наприклад, , , та ін.

Неважко показати, що графіки парних функцій симетричні відносно вісі ординат, а графіки непарних функцій симетричні відносно початку координат.

Функція називається періодичною, якщо існує таке додатне число : . При цьому число називається періодом функції. Відомо, що функції , періодичні з періодом , а функції , періодичні з періодом .

Можна показати, якщо число є періодом функції, число () також є періодом цієї функції. Якщо функція періодична з періодом , функція періодична з періодом . Справді, . Наприклад, функція періодична з періодом , функція періодична з періодом .

Нулями функції називаються абсциси точок перетину графіка функції з віссю абсцис, тобто розв’язки рівняння . Розв’язати рівняння іноді важко, що вимагає наближених методів.

Функція називається зростаючою на проміжку, якщо для будь-яких значень аргументів цього проміжку з умови випливає, що , тобто більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

Відповідно функція називається спадною на проміжку, якщо для будь-яких двох значень цього проміжку з умови випливає, що , тобто більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Функція називається не зростаючою на проміжку, якщо для будь-яких значень аргументів цього проміжку з умови випливає, що .

Відповідно функція називається не спадною на проміжку, якщо для будь-яких двох значень цього проміжку з умови випливає, що .

Зростаючі, спадні, не зростаючі та не спадні функції називаються монотонними.

 

Функція, обернена до даної

Нехай функція визначена і монотонна в деякій області. Задаючи значення , будемо одержувати відповідні значення . Можна, вважаючи аргументом, а функцією, задавати значення і обчислювати відповідні значення . У такому випадку рівняння буде визначати як неявну функцію від .

Припустимо, що задане рівняння розв’язане відносно , тобто, одержимо . Знайдена функція називається оберненою до функції .

Якщо, дотримуючись стандартних позначень, під розуміти незалежну змінну, а під – функцію, тобто залежну змінну, обернену функцію варто писати у вигляді .

Функції і задають тим самим графіком, оскільки визначають ту саму функціональну залежність між x і y.

Рис. 2.2.

Якщо ж умовитися позначати незалежну змінну через , а залежну через , то, щоб із графіка даної функції одержати графік оберненої їй функції , досить перший графік дзеркально відобразити відносно прямої .

Так, щоб знайти функцію обернену до , знайдемо і перемінимо місцями і , одержимо функцію , обернену до функції , графік якої зображено на рис. 2.2.

 

 

Класифікація функцій

Розглянемо деякі класи функцій, що найбільш часто зустрічаються.

1. Многочлени або цілі раціональні функції.

Многочленом називається функція виду:

, (2.3)

де – сталі коефіцієнти многочлена, . Старший степінь змінної , називається степенем многочлена. Якщо , то степінь многочлена (2.3) дорівнює . Область визначення многочлена – усі дійсні значення змінної .

При маємо многочлен нульового степеня , де – число. Графік такої функції – пряма паралельна вісі

При маємо многочлен першого степеня , його називають лінійною функцією. Графіком такого многочлена є пряма.

При маємо многочлен другого степеня , таку функцію називають квадратичною функцією. Графіком квадратичної функції є парабола з вертикальною віссю симетрії.

2. Дробово-раціональні функції.

Дробово-раціональною функцією відносно називається функція, яку можна представити у вигляді відношення двох многочленів, тобто у вигляді:

, (2.4)

де – сталі.

Функція (2.4) визначена для всіх значень , крім тих, для яких знаменник дорівнює нулю. Прикладами дробово-раціональних функцій є функції , та ін.

Функція називається дробово-лінійною функцією від . Така функція визначена для всіх x, крім , графіком її є гіпербола.

3. Алгебраїчні функції.

Алгебраїчною називають функцію, одержану з аргументу і дійсних чисел за допомогою алгебраїчних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня і добування кореня). З означення випливає, що ціла раціональна і дробово-раціональна функція є алгебраїчними.

Алгебраїчні функції, що не є раціональними, називаються ірраціональними, наприклад, , і т.д. Окремим випадком алгебраїчної функції є степенева функція , де – раціональне число ( , ). Графіки деяких степеневих функцій показані на рис. 2.3–2.6.

 

Рис. 2.3.	Рис. 2.4.

 

Рис. 2.5.	Рис. 2.6.

 

4. Трансцендентні функції.

Трансцендентними функціями називаються усі функції, що не є алгебраїчними. До них належать показникові, логарифмічні, тригонометричні, обернені тригонометричні функції та ін.

Показниковою називається функція виду , де , . Функція визначена для всіх значень аргументу .

Графіки показникових функцій для випадку і наведено на рис. 2.7 а, б.

 

Рис. 2.7.

Те значення a, при якому кут a між віссю Ox і дотичною до кривої в точці її перетину з віссю Oy дорівнює .

Логарифмічна функція , де , визначається як функція, обернена до показникової .

Як і показникова функція, найбільш прості властивості має логарифмічна функція з основою , для якої введено символ .

Логарифми чисел з основою називають натуральними. Графіки логарифмічних функцій для випадку і наведено на рис. 2.8 а, б.

 

 

Рис. 2.8.

 

Тригонометричні функції , , , . Тут значенням аргументу є число, що є радіанною мірою деякого кута.

Функції і мають областю визначення всі значення змінної . Множиною значень цих функцій є відрізок . Графіки функцій і зображено на рис. 2.9 і 2.10.

Функція визначена для всіх значень , крім . Множина значень функції . Графік цієї функції наведено на рис. 2.11.

Функція визначена для всіх значень , крім , де . Множина значень функції: . Графік функції наведено на рис. 2.12.

Рис. 2.9.

Рис. 2.10.

Рис. 2.11.

Рис. 2.12.

 

Оберненими тригонометричними функціями є функції , , , .

Функція – це дуга, розташована в межах , синус якої дорівнює : . Функція визначена на відрізку [–1;1].

Якщо відомі всі значення , синус яких дорівнює , одержимо багатозначну функцію, яку будемо позначати . Графіком цієї функції є синусоїда, віднесена до вісі . На підставі властивостей дуг, що мають однаковий синус, випливає формула:

.

Аналогічно функція – це дуга, розташована в межах , косинус якої дорівнює : .

Функція визначена на відрізку [–1;1]. Якщо відомі всі значення y, косинус яких дорівнює , одержимо багатозначну функцію, яку будемо позначати . Графіком такої функції є синусоїда, віднесена до осі , зміщена на вниз.

На підставі властивостей дуг, що мають однаковий косинус, випливає формула:

.

Графіки функцій , зображено на рис. 2.13 і 2.14 штриховою лінією. Графіками функцій , є частина дуги на відповідних рисунках, виділена суцільною лінією.

 

Рис. 2.13.	Рис. 2.14.

 

Функція – це дуга, розташована в межах , тангенс якої дорівнює : . Функція визначена на всій числовій прямій. Якщо вказати всі значення , тангенс яких дорівнює , одержимо багатозначну функцію , причому:

.

Графік функції зображено на рис. 2.15.

Функція – це дуга, розташована в межах , котангенс якої дорівнює : . Функція визначена на всій числовій прямій.

Якщо врахувати всі значення , котангенс яких дорівнює , одержимо багатозначну функцію , причому:

.

Графік функції зображений на рис. 2.16.

 

Рис. 2.15.	Рис. 2.16.

Будемо називати елементарними функціями степеневу, показникову, логарифмічну, тригонометричні і обернені тригонометричні.

Функції, одержані з елементарних за допомогою скінченного числа алгебраїчних дій і скінченного числа операцій обчислення функції від функції, будемо називати елементарними функціями.