Еквівалентні множини. Потужність множин

Означення 1.22. Множини і називають еквівалентними, якщо за певним законом можна встановити взаємно-однозначну відповідність елементів. Еквівалентні множини позначають: ~ .

Множина рівнопотужна множині , якщо існує бієктивне відображення на . Відношення рівнопотужності є відношенням еквівалентності і розбиває сукупність всіх множин на класи еквівалентних між собою. Множини одного класу еквівалентності мають однакову кількість елементів, різних – різну.

Означення 1.23. Клас еквівалентних множин, якому належить множина , називають потужністю множини , або кардиналом чи кардинальним числом, позначається або . Якщо ~ , то пишуть, що .

Кажуть, що , якщо рівнопотужна деякій підмножині множини . Множина може бути рівнопотужна своїй підмножині. Можливість для множини бути рівнопотужною своїй частині є характерною ознакою нескінченних множин, яку Дедекінд (R. Dedekind) запропонував вважати означенням нескінченної множини. Множина називається скінченною (по Дедекінду), якщо вона не рівнопотужна ніякій своїй підмножині. В іншому випадку вона нескінченна.

Наведемо основні властивості потужностей:

1) ;

2) – теорема Шредера-Бернштейна (F. Schröder);

3) – теорема Кантора.

Розглянемо множину всіх підмножин множини : . Тоді справедлива теорема Кантора: . Також можна стверджувати, що .

Останнє твердження показує, що якщо нескінченні множини існують, то і „нескінченності” бувають різні.

Потужність скінченної множини дорівнює кількості її елементів. Нескінченні множини, еквівалентні множині , називаються зчисленними множинами, а їх потужність називають зчисленною потужністю і позначають .

Наведемо основні властивості зчисленних множин.

1. Будь-яка нескінченна підмножина зчисленної множини є зчисленною множиною.

2. Якщо від зчисленної множини відкинути скінченну множину елементів, то потужність нескінченної множини, яка залишилась, буде .

3. Зчисленна множина зчисленних множин є зчисленною множиною.

4. Об’єднання скінченної кількості зчисленних множин є зчисленною множиною.

Множина ~ , тобто . Множина ~ , тобто .

 

Потужність континуума

Означення 1.24. Множину називають числовим континуумом, а його потужність – потужністю континуума. Потужність множини дійсних чисел позначають .

Відомо, що (теорема Кантора). Доведення випливає з доведення незчисленності множини точок відрізку . З теореми випливає, що і існують ірраціональні числа. Також відомо, що .

Вже на початку розвитку теорії множин виникло питання, чи існують множини проміжної потужності між зчисленними множинами і множинами потужності континуума, і було зроблено припущення, яке називають гіпотезою континуума, що проміжні потужності відсутні. В 1963 році американець Коен (I. Cohen) довів, що ця і протилежна гіпотези окремо не є протиріччям прийнятій в теорії множин аксіоматиці, а тому гіпотеза континуума не може бути ні доведена, ні заперечена.

 

Вправи

1.1. Нехай , , . З яких елементів складаються множини: , , , , , , , .

1.2. Зобразити на координатній площині множини , де , .

1.3. Довести тотожності:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ;

є) ;

ж) ;

з) ; і) ;

к) ; л) ;

м) ; н) .

1.4. З'ясувати яке з включень виконано або , або , якщо:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) .

1.5. Знайти , , якщо

а) , б) , в) .

1.6. Встановити взаємно-однозначну відповідність між множинами:

а) і ; б) і ;

в) і ;

г) і ;

д) і ;

є) множиною натуральних чисел і множиною парних натуральних чисел;

ж) і ;

з) - множина точок кола радіуса і ;

і) – множина точок круга, – множина точок квадрата.

1.7. Знайти потужності множин:

а) ;

б) множина точок площини з раціональними координатами;

в) множина кіл з раціональними координатами центру (, ) і радіусом ;

г) множина точок відрізка , у яких у десятковому записі відсутня цифра 5;

д) .

1.8. Знайти точну верхню та точну нижню грані множин:

а) ; б) ;

в) - множина раціональних розв’язків нерівності ;

г) .