Повне дослідження і побудова графіка функції

Повне дослідження функції припускає з'ясування таких її характеристик.

1. Область визначення функції.

2. Парність, непарність функції.

3. Нулі функції.

4. Асимптоти графіка функції (якщо графік не має похилих асимптот – з'ясувати поведінку функції на “кінцях” області визначення).

5. Проміжки монотонності і екстремуми функції.

6. Проміжки випуклості, увігнутості і точки перегину графіка функції.

7. Побудувати графік.

Якщо зазначених пунктів дослідження недостатньо для побудови графіка, є сенс додатково обчислити її значення в декількох точках області визначення.

Приклад 3.24. Дослідити функцію і побудувати її графік.

Розв’язання. Дослідимо функцію відповідно до запропонованої схеми.

1. Функція існує при всіх значеннях , крім , при якому знаменник дробу обертається в нуль. Таким чином, функція визначена в інтервалах .

2. Оскільки , то функція ні парна, ні непарна, графік її не симетричний.

3. Точку перетину з віссю визначимо, поклавши . Тоді , отже, точка належить графіку функції.

Точки перетину з віссю знайдемо, поклавши . Розв’язуючи рівняння , одержуємо .

4. Оскільки вертикальні асимптоти функція може мати тільки в точках розриву, обчислимо однобічні границі функції при :

, .

Тобто, пряма є вертикальною асимптотою графіка. Рівняння похилої асимптоти знайдемо у вигляді .

, .

Отже, пряма є похилою асимптотою графіка функції.

5. Обчислимо похідну: . Похідна дорівнює нулю в точках , . Похідна не існує в точці , але варто пам'ятати, що ця точка не належить області визначення функції.

Розіб'ємо область визначення отриманими точками на проміжки і дослідимо знак першої похідної в кожному проміжку. Результат відобразимо на схемі (рис. 3.23).

Рис. 3.23.

Функція зростає на проміжках і , спадає на проміжку . У точці функція має максимум: .

6. Обчислимо другу похідну: . Визначаємо критичні точки другого роду, поклавши чисельник і знаменник дробу рівними нулю. Одержимо , . Точка не може бути критичною, оскільки вона не належить області визначення.

Розіб'ємо область визначення одержаними точками на проміжки і дослідимо знак другої похідної на кожному проміжку. Результат зобразимо на схемі (рис. 3.24).

Рис. 3.24.

Рис. 3.25.

Графік функції випуклий на проміжках і й увігнутий на проміжку . При друга похідна дорівнює нулю і при переході через цю точку змінює знак. Це означає, що точка є точкою перегину.

Побудову графіка починаємо з зображення його асимптот і всіх точок, одержаних у процесі дослідження.

Графік функції зображено на рис. 3.25.

 

Застосування похідної в економіці